基于購存銷的線性規(guī)劃模型論文

1、數(shù)學(xué)建模一周論文論文題目：基于購存銷的線性規(guī)劃模型摘要本文建立了關(guān)于購存銷的最優(yōu)方案模型，購存銷的最優(yōu)方案模型問題是一類線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解的問題，其意義在于要在有限的投資資源里獲得最大的收益，這就要求我們要明確目標(biāo)，牢牢把握住各個方面的信息，深入分析各個變量之間的關(guān)系，確定自變量和因變量的相互制約關(guān)系，從而列出目標(biāo)函數(shù)及約束條件基于此類模型的特點(diǎn)，我們用數(shù)學(xué)中的線性規(guī)劃的方法，利用分步建模法分別建立了該公司冬，春，夏，秋各個季度的購存銷模型，然后，根據(jù)各個季度之間的聯(lián)系再列出總目標(biāo)并整合出其中相關(guān)的約束條件。最后利用Lindo數(shù)學(xué)建模軟件進(jìn)展編程求解，得出以下結(jié)果：季度購進(jìn)庫存銷售季度代

2、號110001002143.2558143.2558141403196.744186020041600160統(tǒng)計(jì)6003.255814600該公司每年的最大利潤為4797.674萬元結(jié)果還給我們顯示了在各類變量在此最大利潤的情況下，改變其中一種變量的值就會一個單位時效益的增量，同時還給出在最大收益不變的情況下各類變量的變動圍，也就是說在最正確方案不變的情況下，可以有適當(dāng)調(diào)度各類資源的圍。即結(jié)果還給出了靈敏度分析。關(guān)鍵詞：購存銷；分步建模法；線性規(guī)劃模型；Lindo；靈敏度分析目錄問題重述3相關(guān)背景3 TOC o 1-5 h z 具體數(shù)據(jù)要求3需要解決的問題4問題的分析5目標(biāo)細(xì)化法5購進(jìn)的方案分

3、析6庫存問題分析6銷售方案的分析6模型的假設(shè)7名詞解釋和符號說明7模型的建立與求解9冬季情況：9春季情況10夏季情況11秋季情況12總體情況13模型的求解14模型結(jié)果的顯示和靈敏度分析14結(jié)果顯示14靈敏度分析15模型的評價與推廣15模型的優(yōu)缺點(diǎn)15模型的推廣16參考文獻(xiàn)16附錄16問題重述相關(guān)背景現(xiàn)一個木材儲運(yùn)公司有很大的倉庫用以儲運(yùn)出售木材。由于木材季度價格的變化，該公司于每季度初購進(jìn)木材，一局部于本季度出售，一局部儲存起來以后再銷售。然而，庫存起來的木材需要額外的存儲費(fèi)用，如果存儲過多的話就會有額外的經(jīng)濟(jì)支出，并且在每年秋末還不一定能銷售完。但如果不庫存的話，預(yù)計(jì)多少銷售量就購進(jìn)多少木材

4、也不行，因?yàn)橘I進(jìn)賣出的價格均不一樣，如果單純采取這樣的方法會與公司利潤最大化相矛盾，而且風(fēng)險很大?；谶@種情況，我們需要找出一個合理的購進(jìn)和庫存方案來保證在滿足各個條件的根底上實(shí)現(xiàn)公司的利潤最大化，因此，我們建立了這個問題的線性規(guī)劃模型。具體數(shù)據(jù)要求該公司倉庫的最大儲存量為20萬m3,儲存費(fèi)用為abu元/m3,式中a70，b100，u為儲存時間季度數(shù)。每季度的買進(jìn)賣出價及預(yù)計(jì)的銷售量如下表1所示。季度買進(jìn)價/元/m3賣出價/元/m3預(yù)計(jì)銷售量/萬m3冬410425100春430440140更460465200秋450455160從以上各數(shù)據(jù)中，我們可以得到三組數(shù)據(jù)信息：1、儲存費(fèi)用的變化儲存費(fèi)

5、用的計(jì)算中要考慮儲存時間的變化，也就是說，儲存的時間越長，需要維護(hù)的費(fèi)用總和就越多，這就要求在銷售時要注意分配銷售。2、購進(jìn)價格的變化由于市場的價格波動以及供求關(guān)系的影響，每個季度木材的進(jìn)價各不一樣，這就要求在進(jìn)貨時要綜合考慮各方面的因素，確定一個合理的木材購進(jìn)方案，這將是一組重要的約束條件。3、銷售情況從表1中，我們可以得到每個季度的木材出售價格以及相應(yīng)的預(yù)計(jì)銷售量，這是銷售的原始數(shù)據(jù)。需要解決的問題據(jù)給定的原始數(shù)據(jù)，公司要做出最優(yōu)的購進(jìn)、庫存以及銷售方案，就要充分考慮到各個方面的條件和約束。利用給定的數(shù)據(jù)建立線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型，然后，用一系列約束條件來求得使公司利潤最大，同時又使購進(jìn)、庫存

6、、銷售各個方面均協(xié)調(diào)的經(jīng)營模式。問題的分析木材的購存銷問題是一類利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解的問題，面對此類問題，我們先要深入分析各個變量之間的關(guān)系，確定自變量和因變量的相互制約關(guān)系，從而列出目標(biāo)函數(shù)及約束條件，建立基于線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型，然后求解出目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，在這個最優(yōu)解的情況下，我們就可以得出我們要的方案。具體分析如下：目標(biāo)細(xì)化法我們要建立購存銷平衡的方案，無非是想要在條件約束圍到達(dá)公司利潤最大化的目標(biāo)，而單純考慮這個目標(biāo)比擬困難。因此，我們考慮將公司一年的利潤目標(biāo)分設(shè)冬、春、夏、秋四個分目標(biāo)，這樣我們可以根據(jù)各個季度的不同情況分別立項(xiàng)建立模型，然后，根據(jù)各個季度之間的聯(lián)系再求解出總

7、目標(biāo)。這里的聯(lián)系主要包括庫存的多少和銷售的分配。購進(jìn)的方案分析每個季度的購進(jìn)價格各不一樣且還有庫存的木材，所以在每個季度購進(jìn)木材時要分析庫存的多少及銷售情況，將公司擁有的總木材量控制在一定的圍，這樣可以有充足的木材可以銷售同時也不會有過多的木材用于存儲，可以節(jié)省支出。庫存問題分析這里講的庫存并不是像每季度都清倉的那種情況一樣，也就是說這里的庫存并不一定是上個季度庫存下來的木材，也有可能是再上次購進(jìn)的木材，這樣根據(jù)庫存時間的長短而庫存費(fèi)用不同，就不能用簡單的數(shù)學(xué)算術(shù)來進(jìn)展運(yùn)算。例如：冬季購進(jìn)的木材，除了供銷售的木材外，其余的庫存起來，到春季降臨之時，考慮到等到夏秋季節(jié)時的木材進(jìn)價較高或者是春季銷

8、量有限，于是有局部冬季購進(jìn)的木材在春季并沒有完全賣出而是留在了夏季才賣出。這樣，那局部木材在冬季庫存的一個季度，在春季同樣庫存了一個季度。這種情況要計(jì)算庫存花費(fèi)就要分開來討論。銷售方案的分析根據(jù)預(yù)計(jì)的銷售量一定的情況下，每個季度要銷售出去的木材分兩種情況：一是本季度新購進(jìn)的木材；二是從倉庫中拿出來銷售的木材。銷售方案的不同會影響到上面庫存分析的問題，這里第二種用于銷售的木材就有上面第三點(diǎn)所提到的情況。因此，我們需要對各個季度作不同的討論，將各種可能的情況都考慮進(jìn)去，分別制定方案，然后綜合起來考慮，聯(lián)合購進(jìn)方案以及庫存方案進(jìn)展求解最后得到一組滿意的解。3模型的假設(shè)1、假設(shè)木材市場穩(wěn)定，即不會對木

9、材購進(jìn)造成影響。2、本季度庫存的費(fèi)用不包括本季度要銷售的木材，而只算存儲起來備以后銷售的局部。3、不會出現(xiàn)市場需求過大而中途購進(jìn)木材的情況4、預(yù)計(jì)銷售量準(zhǔn)確，不考慮預(yù)計(jì)更改的情況5、所有的數(shù)據(jù)均為原始數(shù)據(jù)，來源真實(shí)可靠4名詞解釋和符號說明符號iXi符號說明表示第ii=1,2,3,4季度冬、春、夏、秋的代號yjkijminiPiqi表示第i季度購進(jìn)的木材在第j季度賣出的木材量表小第i季度購進(jìn)在第j季度庫存的木材的庫存量表示第i季度公司的利潤表示第i季度花費(fèi)在庫存上的費(fèi)用表示第i季度購進(jìn)木材的價格表示第i季度購進(jìn)的木材量表示第i季度銷售木材的價格5模型的建立與求解經(jīng)過上面問題的分析和模型的假設(shè)，接

10、下來我們要建立基于線性規(guī)劃的木材購存銷模型，從上面的分析我們知道，要對各個季度分別進(jìn)展考慮，即分部建模法，分別建立各個分目標(biāo)，然后綜合考慮求解總目標(biāo)。這樣當(dāng)我們確定了總目標(biāo)的最優(yōu)解時，我們也就分別確定了購進(jìn)、庫存、銷售的最優(yōu)方案了。具體如下：冬季情況：由于每年的秋季都將所有庫存的木材都售完，因此每年的冬季是一個周期的開場，倉庫里并沒有多余的木材。此時在冬季初購進(jìn)的木材分兩種情況處理：一是用于本季度賣出，根據(jù)假設(shè)此局部不在庫存花費(fèi)之外；二是庫存起來備以后銷售，同樣，第一季度的銷售情況也簡單，只考慮本季度剛購進(jìn)的木材局部而不用考慮從庫存拿出來的情況。下面根據(jù)購進(jìn)，庫存，銷售的關(guān)聯(lián)分別列出關(guān)系等式，

11、并給出相應(yīng)的說明。木材數(shù)量平衡關(guān)系：x1=y11+k11庫存費(fèi)用：n1=(a+b)*k11冬季公司利潤：m1=q1*y11-p1*x1-n1變量說明：X1代表第1季度冬季購進(jìn)的木材量，yii表示第1季度購進(jìn)的木材在第1季度賣出的木材量，k11表示第1季度購進(jìn)在第1季度庫存的木材的庫存量，n1表示第1季度花費(fèi)在庫存上的費(fèi)用，m1表示第1季度公司的利潤，p1表示第1季度購進(jìn)木材的價格，q1表示第1季度銷售木材的價格，a,b分別是庫存費(fèi)用公式abu中的兩個常量，在這里為第一季度，故u=1。春季情況春季除了新購進(jìn)的木材外，還有冬季庫存留下來的那局部木材，這兩局部木材都可以作兩種處理，一種是用于銷售，另

12、一種是庫存起來。這樣，庫存方面既有本季度剛剛購進(jìn)的木材，也有上個季度庫存的木材仍沒有賣出的局部，這樣在計(jì)算庫存費(fèi)用時就要分兩局部計(jì)算，即u分別為1和2的情況。銷售也是由本季度剛剛購進(jìn)的局部和前一季度留下來的木材兩局部構(gòu)成，只不過銷售是以統(tǒng)一價格銷售。下面根據(jù)購進(jìn)、庫存、銷售的關(guān)聯(lián)分別列出關(guān)系等式，并給出相應(yīng)的說明。木材數(shù)量平衡關(guān)系：x2+k11=y22+y12+k22+k1庫存費(fèi)用：n2=(a+b)*k22+(a+2b)*k12春季公司利潤：變量說明：X2代表第1季度冬季購進(jìn)的木材量，丫22表示第2季度購進(jìn)的木材在第2季度賣出的木材量，y12表示第1季度購進(jìn)的木材在第2季度賣出的木材量，k11

13、表示第1季度購進(jìn)在第1季度庫存的木材的庫存量，k12表示第1季度購進(jìn)在第2季度庫存的木材的庫存量，k22表示第2季度購進(jìn)在第2季度庫存的木材的庫存量，n2表示第2季度花費(fèi)在庫存上的費(fèi)用，m2表示第2季度公司的利潤，p2表示第2季度購進(jìn)木材的價格，q2表示第2季度銷售木材的價格，a,b分別是庫存費(fèi)用公式abu中的兩個常量，在這里為第二季度，故u=1和u=2。夏季情況夏季除了新購進(jìn)的木材外，還可能有冬季、春季庫存留下來的那局部木材，這兩局部木材都可以作兩種處理，一種是用于銷售，另一種是庫存起來。這樣，庫存方面既有本季度剛剛購進(jìn)的木材，也有上兩季度庫存的木材仍沒有賣出的局部，這樣在計(jì)算庫存費(fèi)用時就要

14、分三局部計(jì)算，即u分別為1、2和3的情況。銷售也是由本季度剛剛購進(jìn)的局部和前兩季度留下來的木材兩局部構(gòu)成，只不過銷售是以統(tǒng)一價格銷售。下面根據(jù)購進(jìn)，庫存，銷售的關(guān)聯(lián)分別列出關(guān)系等式，并給出相應(yīng)的說明。木材數(shù)量平衡關(guān)系：x3+k22+k12=y33+y23+y13+k33+k23k13庫存費(fèi)用：n3=ab*k13+a2b*k23+a3b*k13夏季公司利潤：m3=q3*(y33+y23+y13)-p3*x3-n3變量說明：x3代表第1季度冬季購進(jìn)的木材量，y13表示第1季度購進(jìn)的木材在第3季度賣出的木材量，y23表本第2季度購進(jìn)的木材在第3季度賣出的木材量，y33表示第3季度購進(jìn)的木材在第3季度

15、賣出的木材量，k13表示第1季度購進(jìn)在第3季度庫存的木材的庫存量，k23表示第2季度購進(jìn)在第3季度庫存的木材的庫存量，k33表示第3季度購進(jìn)在第3季度庫存的木材的庫存量，n3表示第3季度花費(fèi)在庫存上的費(fèi)用，m3表示第3季度公司的利潤，p3表示第3季度購進(jìn)木材的價格，q3表示第3季度銷售木材的價格，a,b分別是庫存費(fèi)用公式abu中的兩個常量，在這里為第三季度，故u=1，n=2和n=3。秋季情況秋季除了新購進(jìn)的木材外，還有前面庫存留下來的那局部木材，這兩局部木材都作同種處理，即全部用于銷售。這樣，倉庫清空就不要計(jì)算存儲那局部費(fèi)用，只要考慮銷售方面的情況。下面根據(jù)購進(jìn)，銷售的關(guān)聯(lián)分別列出關(guān)系等式，并

16、給出相應(yīng)的說明。木材數(shù)量平衡關(guān)系：x4+k33+k23k13=y44+y34+y24+y14秋季公司利潤：m4=q4*(y44+y34+y24+y14)-p4*x4變量說明：M代表第4季度冬季購進(jìn)的木材量，必，表示第1季度購進(jìn)的木材在第4季度賣出的木材量，y24表示第2季度購進(jìn)的木材在第4季度賣出的木材量，y34表示第3季度購進(jìn)的木材在第4季度賣出的木材量，y44表示第4季度購進(jìn)的木材在第4季度賣出的木材量，k13表示第1季度購進(jìn)在第3季度庫存的木材的庫存量，k23表示第2季度購進(jìn)在第3季度庫存的木材的庫存量，k33表示第3季度購進(jìn)在第3季度庫存的木材的庫存量，m4表示第4季度公司的利潤，p4

17、表示第4季度購進(jìn)木材的價格，q4表示第4季度銷售木材的價格。5.5總體情況F面我們聯(lián)系四個季度的情況，從總體的角度尋找他們之間的聯(lián)系,然后列出目標(biāo)表達(dá)式?？傮w購進(jìn)量與銷售量的平衡關(guān)系444xi=yiji1i1j1約束條件：kj20ki3ki2kiik23k22目標(biāo)表達(dá)式:公司一年的總收益等于各個季度的收益之和，即公司的年總利潤為:m=ml+m2+mh+mu5.6模型的求解將模型中的相關(guān)約束條件和目標(biāo)函數(shù)進(jìn)展適當(dāng)?shù)恼砗?，然后，將上述模型利用Lindo軟件編程求得其結(jié)果詳見附錄26模型結(jié)果的顯示和靈敏度分析結(jié)果顯示經(jīng)過求解，得出如下表的最優(yōu)方案：季度購進(jìn)庫存銷售季度代號110001002143.

18、2558143.2558141403196.744186020041600160統(tǒng)計(jì)6003.255814600從而得出公司每年最大收益為4797.674?元靈敏度分析從運(yùn)行結(jié)果可以看出，當(dāng)夠進(jìn)量，庫存量以及銷售量其中之一細(xì)微變化是就會引起其他變量的變動，具體的如附錄二所示7模型的評價與推廣7.1模型的優(yōu)缺點(diǎn)1優(yōu)點(diǎn)：1利用Lindo軟件對數(shù)據(jù)進(jìn)展處理并求解，簡便，直觀、快捷,并且，快速給出了各個變量的情況和變量變化時給結(jié)果帶來直接影響的羅列，即直接給出了敏感性分析；2本文建立的模型與實(shí)際嚴(yán)密聯(lián)系，并且可以直接移植在與此模型相關(guān)的最優(yōu)化問題上。3本模型簡單直觀，采用分步建模法，思路清晰，容易理解

19、。2缺點(diǎn)：1本模型只考慮市場穩(wěn)定的情況下運(yùn)作，將一些復(fù)雜的因素簡化了，即不能處理相對較復(fù)雜的問題上。2利用Lindo處理數(shù)據(jù)不能用圖形化的方法來描述各個變量的變動情況，不大直觀。7.2模型的推廣可以利用事先預(yù)測市場的變動，進(jìn)而可以把此模型推廣為求整個周期運(yùn)作期間市場變動情況下改變購進(jìn)量和銷售量的模型，這樣就需要考慮根據(jù)實(shí)際情況作出各個階段的最優(yōu)方案。參考文獻(xiàn)東彥，數(shù)學(xué)建模，：科學(xué)，2007.12第一版；徐全智，晉浩，數(shù)學(xué)建模入門，電子科技大學(xué)，2003附錄附錄1(A)一個木材儲運(yùn)公司有很大的倉庫用以儲運(yùn)出售木材。由于木材季度價格的變化，該公司于每季度初購進(jìn)木材，一局部于本季度出售，一局部儲存起

20、來以后。該公司倉庫的最大儲存量為20萬m3,儲存費(fèi)用為abu元/m3，式中a70,b100,u為儲存時間季度數(shù)。每季度的買進(jìn)賣出價及預(yù)計(jì)的銷售量如下表所示。季度買進(jìn)價/元/m3賣出價/元/m3預(yù)計(jì)銷售量/元/m3冬410425100春430440140更460465200秋450455160由于木材不宜久貯，所有庫存木材應(yīng)于每年秋末售完，試建立這個問題的線性規(guī)劃模型。附錄2源程序：maxm1+m2+m3+m4stx1-k11=100n1-170k11=0m1+410 x1+n1=42500 x2+k11-k22-k12=140n2/k22-270k12/k22=170m2+430 x2+n2=

21、61600 x3+k22+k12-k33-k23-k13=200n3-270k23-370k13-170k33=0m3+460 x3+n3=93000 x4+k33+k23+k13=160m4+450 x4=72800 x1+x2+x3+x4=600k12-k110k13-k120k23-k220k22+k1220k33+k23+k1320k1120k1220k2220k1320k2320k3320end運(yùn)行結(jié)果:LPOPTIMUMFOUNDATSTEP1OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)4797.674VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTM11500.0000000

22、.000000M20.0000000.069767M32497.6743160.000000M4800.0000000.000000X1100.0000000.000000K110.0000000.000000N10.0000000.705882X2143.2558140.000000K223.2558140.000000K120.0000000.000000N2/K22170.0000000.000000K12/K220.0000000.000000N20.0000001.069767X3196.7441860.000000K330.000000180.000000K230.00000028

23、0.000000K130.000000380.000000N30.0000000.000000X4160.0000000.000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.0000000.0000003)0.000000-0.2941184)0.0000001.0000005)0.000000-50.0000006)0.0000000.0000007)0.0000001.0697678)0.000000-50.0000009)0.000000-1.00000010)0.0000001.00000011)0.000000-40.00000012)0.0000001.000

24、00013)0.000000-410.00000014)0.0000000.00000015)0.0000000.00000016)3.2558140.00000017)16.7441860.00000018)20.0000000.00000019)20.0000000.00000020)20.0000000.00000021)16.7441860.00000022)20.0000000.00000023)20.0000000.00000024)20.0000000.000000NO.ITERATIONS=1RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:OBJCOEFFIC

25、IENTRANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEM11.000000INFINITY0.206897M21.0000000.069767INFINITYM31.0000000.2608700.065217M41.0000000.400000INFINITYX10.000000119.999992INFINITYK110.000000119.999992INFINITYN10.0000000.705882INFINITYX20.000000INFINITY30.000015K220.0000000.00000030.000015K120.000000119.9999920.000000N2/K220.0000000.000000INFINITYK12/K220.0000000.000000INFINITYN20.0000001.069767INFINITYX30.00000030.000015119.999992K330.000000