山西省太原市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽解題策略幾何分冊(cè)第26章帕斯卡定理

1、第26章帕斯卡定理帕斯卡()定理設(shè)內(nèi)接于圓（與頂點(diǎn)次序無關(guān)，即無需為凸六邊形），直線與交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，則、三點(diǎn)共線證法l設(shè)直線與交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)直線與交于點(diǎn)對(duì)及截線、分別應(yīng)用梅涅勞斯定理，有，將上述三式相乘，并運(yùn)用圓冪定理，有，從而，其中、分別在直線、上對(duì)應(yīng)用梅涅勞斯定理的逆定理，知、三點(diǎn)共線證法2設(shè)過、的圓交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)連接、，則與相補(bǔ)（或相等）又與相等，從而與相補(bǔ)或相等，即知飄理，于是，與為位似圖形由于位似三角形三對(duì)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線共點(diǎn)（共點(diǎn)于位似中點(diǎn)），這里，直線與交于點(diǎn)，則另一對(duì)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)、的連線也應(yīng)過點(diǎn)，故，、三點(diǎn)共線證法3連、，過分別作上于，作于，作于，

2、過分別作于，作于則同理，注意到，所以，即，于是有連、，則、及、分別四點(diǎn)共圓，從而，亦即有，故、三點(diǎn)共線證法4如圖，連、在圓內(nèi)接四邊形中，有與相等；在圓內(nèi)接四邊形中，有與相等或相補(bǔ)；在圓內(nèi)接四邊形中，與相補(bǔ)或相補(bǔ)故可以在的邊上或其延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，使，從而，設(shè)與相交于另一點(diǎn)，則，所以與相等或相補(bǔ)故、三點(diǎn)共線又于是，知、四點(diǎn)共圓所以， (或 (或)從而、三點(diǎn)共線故、三點(diǎn)共線注：此定理中，當(dāng)內(nèi)接于圓的六邊形的六頂點(diǎn)改變其宇序，兩兩取對(duì)邊、共有60種不同情形，相應(yīng)有60條帕斯卡直線六個(gè)取定的點(diǎn)，有15條連線，相交產(chǎn)生另外45個(gè)點(diǎn)，這些點(diǎn)中每一點(diǎn)有4條帕斯卡線這些帕斯卡線，每3條共點(diǎn)，產(chǎn)生20個(gè)其他的點(diǎn)，

3、稱為斯坦納點(diǎn)，每條線上一個(gè)，而且這些帕斯卡線，每3條共點(diǎn)，還產(chǎn)生其他60個(gè)點(diǎn)，稱為寇克曼點(diǎn)，每3個(gè)在一條直線上20個(gè)斯坦納點(diǎn)在15條其他直線上，每條線上4個(gè)點(diǎn)60個(gè)寇克曼點(diǎn)在20條其他直線上，每條線上3個(gè) 單墫譯美約翰遜近代歐式幾何學(xué)上海：上海教育出版社，2000；208當(dāng)六邊形中有兩頂點(diǎn)重合，即對(duì)于內(nèi)接于圓的五邊形，亦有結(jié)論成立；圓內(nèi)接五邊形中（與重合）處的切線與的交點(diǎn)、與的交點(diǎn)、與的交點(diǎn)三點(diǎn)共線，如圖 (1)當(dāng)六邊形變?yōu)樗倪呅位虻葧r(shí)，如圖 (2)、(3)，結(jié)論仍成立當(dāng)六邊形變?yōu)槿切螘r(shí)，三組邊、變?yōu)辄c(diǎn)，如圖 (4)，仍有結(jié)論成立此時(shí)三點(diǎn)所共的線也稱為萊莫恩線（參見第10章性質(zhì)19）下面從四

4、個(gè)方面看一些應(yīng)用的例子1指出在圓上的六點(diǎn)應(yīng)用帕斯卡定理例1如圖，過的頂點(diǎn)、各作一直線使之交于一點(diǎn)而交外接圓于、又在外接圓上任取一點(diǎn)，則、與、對(duì)應(yīng)的交點(diǎn)、三點(diǎn)共線證明在圓內(nèi)接六邊形中，其三雙對(duì)邊與、與、與的交點(diǎn)分別為、，由帕斯卡定理知、三點(diǎn)共線在圓內(nèi)接六邊形中，其三雙對(duì)邊與、與、與的交點(diǎn)務(wù)別為、，由帕斯卡定理知、三點(diǎn)共線故、三點(diǎn)共線例2（預(yù)選題）已知為確定的三角形，分別為邊、的中點(diǎn)為外接圓上的動(dòng)點(diǎn)，、分別與的外接圓交于另外的點(diǎn)、若、是不同的點(diǎn)，則直線、交出一個(gè)三角形證明：這個(gè)三角形的面積不依賴于點(diǎn)證明如圖，設(shè)、是直線、交出的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)下面，我們證明有，這便可說明的面積不依賴于點(diǎn)的選取注意到

5、圖中的圓內(nèi)接六邊形，由帕斯卡定理，知三雙對(duì)邊與、與、與的交點(diǎn)、三點(diǎn)共線，即知點(diǎn)在的中位線上類似地，可證點(diǎn)、分別在直線、上由，得，有同理，由，有從而，于是故2作出一些點(diǎn)構(gòu)成圓上六點(diǎn)應(yīng)用帕斯卡定理例3（2004年國(guó)家隊(duì)培訓(xùn)題）設(shè)與的外接圓內(nèi)切并與邊、相切的圓為，記為圓的半徑，類似地定義、，是的內(nèi)切圓半徑，證明： 證明如圖，設(shè)圓與、的外接圓分別切于點(diǎn)、，設(shè)、分別為、中點(diǎn)，為的內(nèi)心這時(shí)，為圓與的位似中心，且過的切線平行于，因而、為一雙對(duì)應(yīng)點(diǎn)，于是、三點(diǎn)共線（也可設(shè)直線交于，則證得為的中點(diǎn)）同理，、三點(diǎn)共線而、分別為、的平分線，則知其交點(diǎn)為注意到圓內(nèi)接六邊形，由帕斯卡定理知、三點(diǎn)共線記圓的圓心為，由，有

6、同理，由有因此故例4（2007年國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)測(cè)試題）凸四邊形內(nèi)接于圓，與邊相交的一個(gè)圓與圓內(nèi)切，且分別與、相切于點(diǎn)，求證：的內(nèi)心與的內(nèi)心皆在直線上證明如圖，設(shè)圓的圓心為，與相交且與相內(nèi)切的圓的圓心為，切點(diǎn)為，顯然、三點(diǎn)共線設(shè)與交于點(diǎn)，直線交于，直線交于，交于，直線交于這時(shí)，存在一個(gè)以點(diǎn)為位似中心的位似變換使得變?yōu)?，因此，直線變?yōu)檫^點(diǎn)且平行于的的切線，所以為的中點(diǎn)由，有，即又及截線應(yīng)用梅涅勞斯定理，有，即又又、知，即知是弧的中點(diǎn)顯然，的內(nèi)心為與的交點(diǎn)注意到圓內(nèi)接六邊形，由帕斯卡定理，知、三點(diǎn)共線所以的內(nèi)心在上同理，的內(nèi)心也在上3證明六點(diǎn)共圓應(yīng)用帕斯卡定理例5（2005年國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)測(cè)試題）如圖，點(diǎn)在

7、內(nèi)部，點(diǎn)在邊、上的射影分別為、，過點(diǎn)分別作直線、的蠶線，垂足分別為、求證：、三線共點(diǎn)證明由題設(shè)，有，從而，、六點(diǎn)都在以為直徑的圓上于是，對(duì)于圓內(nèi)接六邊形，它的三組對(duì)邊與、與、與的交點(diǎn)分別為、，由帕斯卡定理，知、三點(diǎn)共線，從而點(diǎn)在上故、三線共點(diǎn)例6（2002年澳大利亞國(guó)家數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）已知為銳角三角形，以為直徑的分別交、于點(diǎn)、分別過和作的兩條切線交于點(diǎn)，分別過和作的兩條切線交于點(diǎn)證明：點(diǎn)在線段上證明如圖，設(shè)與、與、與分別交于、，連接、則，由此知、四點(diǎn)共圓又是的切線，于是同理，因此，、在以為直徑的圓上，即、六點(diǎn)共圓在這個(gè)圓內(nèi)接六邊形中，應(yīng)用帕斯卡定理，三雙對(duì)邊與、與、與的交點(diǎn)、共線故點(diǎn)在線段上4注意

8、特殊情形時(shí)帕斯卡定理的應(yīng)用例7（2005年第18屆韓國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克題）在中，是的外接圓的圓心，、是的兩條切線，切點(diǎn)分別為、設(shè)，又設(shè)是上的點(diǎn)，且使得，是與的交點(diǎn)，是與的交點(diǎn)，令證明證明如圖，設(shè)的延長(zhǎng)線與過點(diǎn)的的切線交于點(diǎn)，對(duì)應(yīng)用帕斯卡定理，知、三點(diǎn)共線，從而與重合因此，點(diǎn)、的位置如圖所示由切割線定理，有，即設(shè)與交于點(diǎn)，對(duì)及截線、分別應(yīng)用梅涅勞斯定理，有，由上述三式并注意相交弦定理：，則有練習(xí)題二十六1點(diǎn)在的外接圓上，是任意一點(diǎn)，直線，分別交外接圓于點(diǎn)，證明：直線和，和，和的交點(diǎn)在過點(diǎn)的一條直線上2已知和某個(gè)點(diǎn)，設(shè)和是由點(diǎn)分別向直線和引垂線的垂足，而和是由點(diǎn)分別向直線和引垂線的垂足證明：直線和的交

9、點(diǎn)在直線上3四邊形內(nèi)接于圓中，是任意一點(diǎn)，和是直線和與圓的第二個(gè)交點(diǎn)直線和，和相交于點(diǎn)和證明：直線和的交點(diǎn)在直線上4四邊形內(nèi)接于，點(diǎn)使得證明：四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)在直線上5點(diǎn)和在的內(nèi)部，且關(guān)于對(duì)稱，射線和共線，射線和也共線（其中點(diǎn)，均在上）證明：直線和的交點(diǎn)在直線上6點(diǎn)，在圓上，而點(diǎn)，分別在直線，上，且滿足，證明：7（試題，去掉了條件）設(shè)在中，有一圓內(nèi)切于的外接圓，且與和分別切于點(diǎn)和證明：點(diǎn)和連線的中點(diǎn)是的內(nèi)切圓圓心8（2005年捷克波蘭斯洛伐克競(jìng)賽題）設(shè)凸四邊形的外接圓和內(nèi)切圓的圓心分別為、，對(duì)角線、相交于點(diǎn)證明：、三點(diǎn)共線9(2006年第9屆香港數(shù)學(xué)奧林匹克題)凸四邊形的外接圓的圓心為，已知，與交于點(diǎn)若為四邊形內(nèi)部一點(diǎn)，使得，求證：、三點(diǎn)共線10（2003年國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)培訓(xùn)題）在等腰直角中，為的中點(diǎn)，、為上另兩點(diǎn)，為的外接圓和的外接圓的另