彈塑性力學(xué)-05

1、 第五章 彈塑性力學(xué)問(wèn)題的提法應(yīng)用(yngyng)彈塑性力學(xué) 1共三十九頁(yè)第五章彈塑性力學(xué)(l xu)問(wèn)題的提法基本方程問(wèn)題的提法彈性力學(xué)(l xu)問(wèn)題的基本解法 解的惟一性 圣維南原理 疊加原理塑性力學(xué)問(wèn)題的提法簡(jiǎn) 例 第五章 彈塑性力學(xué)問(wèn)題的提法 2共三十九頁(yè)基本(jbn)方程第五章彈塑性力學(xué)(l xu)問(wèn)題的提法由以前幾章的討論，我們得出了在三維情況下彈塑性力學(xué)的下列基本方程：平衡方程或者3共三十九頁(yè)第五章彈塑性力學(xué)問(wèn)題(wnt)的提法幾何(j h)方程應(yīng)變位移關(guān)系導(dǎo)出的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程4共三十九頁(yè)第五章彈塑性力學(xué)問(wèn)題(wnt)的提法本構(gòu)方程(fngchng)彈性階段，應(yīng)力滿(mǎn)足屈服不等式

2、在此條件下本構(gòu)關(guān)系為廣義胡克定律。 5共三十九頁(yè)第五章彈塑性力學(xué)(l xu)問(wèn)題的提法如用應(yīng)變表示(biosh)應(yīng)力，則有 其中 6共三十九頁(yè)第五章彈塑性力學(xué)(l xu)問(wèn)題的提法塑性階段，應(yīng)力滿(mǎn)足屈服函數(shù) ，在此條件下，根據(jù)增量理論有 其中(qzhng) 7共三十九頁(yè)第五章彈塑性力學(xué)問(wèn)題(wnt)的提法如果采用(ciyng)全量理論，則應(yīng)變偏量為8共三十九頁(yè)第五章彈塑性力學(xué)問(wèn)題(wnt)的提法總括起來(lái)，當(dāng)物體處于(chy)彈性狀態(tài)時(shí)，我們有3個(gè)平衡方程，6個(gè)幾何方程，6個(gè)本構(gòu)方程，共15個(gè)方程（統(tǒng)稱(chēng)為泛定方程）。 其中包括6個(gè)應(yīng)力方程，6個(gè)應(yīng)變分量，3個(gè)位移分量，共15個(gè)未知函數(shù)，因而在給定

3、邊界條件時(shí)，問(wèn)題是可以求解的。 當(dāng)物體處于彈塑性狀態(tài)時(shí)，我們同樣有3個(gè)平衡方程，6個(gè)幾何方程以及6個(gè)本構(gòu)方程。此外，在此情況下多引進(jìn)了一個(gè)參數(shù) ，不過(guò)也增加了一個(gè)屈服條件 ，只有在應(yīng)力滿(mǎn)足屈服條件時(shí)， 才不等于零。 應(yīng)當(dāng)指出，加載過(guò)程的彈塑性問(wèn)題可作為非線性彈性力學(xué)問(wèn)題來(lái)處理。這時(shí)，要注意的是卸載問(wèn)題，卸載時(shí)要遵守卸載定律。如上所述，在一定的邊界條件下，原則上，問(wèn)題是可以求解的。彈塑性靜力學(xué)的這種問(wèn)題上在數(shù)學(xué)上稱(chēng)為求解邊值問(wèn)題。 9共三十九頁(yè)第五章彈塑性力學(xué)問(wèn)題(wnt)的提法在研究彈塑性小變形平衡問(wèn)題(wnt)的范圍內(nèi)，上述彈塑性力學(xué)問(wèn)題(wnt)的解，必須滿(mǎn)足邊界上給定的應(yīng)力邊界條件 位移

4、邊界條件 以上這些方程的解是唯一的 10共三十九頁(yè)第五章彈塑性力學(xué)(l xu)問(wèn)題的提法問(wèn)題(wnt)的提法彈塑性力學(xué)問(wèn)題的提法必須使定解問(wèn)題是適定的，即：（1）有解；（2）解是唯一的；（3）解是穩(wěn)定的。就是說(shuō)，如定解條件（邊界條件和初始條件）有微小變化，只引起解作微小變化。我們這里只限于討論前兩個(gè)問(wèn)題。 求解彈塑性力學(xué)問(wèn)題的目的，在于求出問(wèn)題內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力和位移，即應(yīng)力場(chǎng)、位移場(chǎng)。因而，問(wèn)題的提法是，給定作用在物體全部邊界或內(nèi)部的外界作用（包括溫度影響，外力等），求解物體內(nèi)因此產(chǎn)生的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)。 具體地說(shuō)。對(duì)物體內(nèi)每一點(diǎn)，當(dāng)它處在彈性階段，其應(yīng)力分量、應(yīng)變分量、位移分量等15個(gè)未知函數(shù)要滿(mǎn)

5、足平衡方程、幾何方程、本構(gòu)方程這15個(gè)方程（泛定方程），并要在邊界上滿(mǎn)足給定的全部邊界條件。 11共三十九頁(yè)第五章彈塑性力學(xué)問(wèn)題(wnt)的提法當(dāng)處在塑性階段，則16個(gè)未知函數(shù) 及 要滿(mǎn)足平衡方程、幾何方程、本構(gòu)方程及屈服條件等16個(gè)方程，同樣，在邊界上要滿(mǎn)足全部邊界條件。彈性力學(xué)的15個(gè)基本方程（泛定方程）含有15個(gè)未知函數(shù)，是一個(gè)封閉(fngb)的方程組，但只有這組方程組并不能解決具體問(wèn)題。在所有滿(mǎn)足泛定方程的應(yīng)力、應(yīng)變和位移分布的函數(shù)中，只有與定解條件（邊界條件）相符合的解，才是我們需要的解答。因而，邊界條件的重要性是不容忽視的。 邊界條件分為應(yīng)力邊界條件、位移邊界條件和混合邊界條件三種

6、。應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)指出，這些邊界條件的個(gè)數(shù)必須給得不多也不少，才能得出正確的解答。例如對(duì)于空間問(wèn)題的應(yīng)力邊界，必須在邊界的每一點(diǎn)上有三個(gè)應(yīng)力邊界條件，如果條件給多了，就找不到滿(mǎn)足全部條件的解；如果給少了，就會(huì)有許多的解滿(mǎn)足所給的條件，因而也就無(wú)法判斷哪些是正確的解。 12共三十九頁(yè)第五章彈塑性力學(xué)(l xu)問(wèn)題的提法由此可見(jiàn)，彈塑性力學(xué)的基本方程組一般地控制了物體內(nèi)部應(yīng)力、應(yīng)變和位移之間相互關(guān)系的普遍規(guī)律，而定解條件則具體地給出了每一個(gè)邊值問(wèn)題的特定規(guī)律，每一個(gè)具體的問(wèn)題反映在各自的邊界條件上。于是，彈塑性力學(xué)的基本方程組和邊界條件一起(yq)構(gòu)成了彈塑性力學(xué)邊值問(wèn)題的嚴(yán)格完整的提法。 根據(jù)具體問(wèn)題

7、邊界條件類(lèi)型的不同，常把邊值問(wèn)題分為以下三類(lèi)： 第一類(lèi)邊值問(wèn)題：給定物體的體力和面力，求在平衡狀態(tài)下的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)，即所謂邊界應(yīng)力已知的問(wèn)題。 第二類(lèi)邊值問(wèn)題：給定物體的體力和物體表面各點(diǎn)的位移，求在平衡狀態(tài)下的應(yīng)力場(chǎng)和物體內(nèi)部的位移場(chǎng)，即所謂的邊界位移已知的問(wèn)題。第三類(lèi)邊值問(wèn)題：在物體表面上，一部分給定面力，其余部分給定位移（或在部分表面上給定外力和位移關(guān)系）的條件下求解上述問(wèn)題，即所謂混合邊值問(wèn)題。13共三十九頁(yè)第五章彈塑性力學(xué)(l xu)問(wèn)題的提法在求解以上邊值問(wèn)題時(shí)有三種(sn zhn)不同的處理方法，即（1）位移法，用位移作為基本未知量，來(lái)求解邊值問(wèn)題，叫位移法。此時(shí)將一切未知量和

8、基本方程都轉(zhuǎn)換為用位移表示。通常，給定位移邊界條件（第二類(lèi)邊值問(wèn)題）時(shí)，宜用位移法。（2）應(yīng)力法，用應(yīng)力作為基本未知量來(lái)求解邊值問(wèn)題，叫應(yīng)力法。此時(shí)將一切未知量和基本方程都轉(zhuǎn)換為用應(yīng)力表示。顯然，當(dāng)給定應(yīng)力邊界條件（第一類(lèi)邊值問(wèn)題）時(shí)，宜用應(yīng)力法。 （3）混合法，對(duì)第三類(lèi)邊值問(wèn)題則宜以各點(diǎn)的一部分位移分量和一部分應(yīng)力分量作為基本未知量，混合求解。這種方法叫混合法。對(duì)于塑性力學(xué)問(wèn)題，還有一些特有的問(wèn)題需要專(zhuān)門(mén)進(jìn)行討論。一下專(zhuān)門(mén)討論彈性力學(xué)問(wèn)題的解法。14共三十九頁(yè)第五章彈塑性力學(xué)問(wèn)題(wnt)的提法彈性力學(xué)問(wèn)題的基本(jbn)解法 解的惟一性位移法-位移作為基本未知量，必須將泛定方程改用位移來(lái)表

9、示 代入平衡方程 余類(lèi)推。15共三十九頁(yè)第五章彈塑性力學(xué)(l xu)問(wèn)題的提法上式稱(chēng)為(chn wi)拉梅-納維方程 16共三十九頁(yè)第五章彈塑性力學(xué)問(wèn)題(wnt)的提法方程組是基本方程的綜合（包括平衡方程、幾何方程及本構(gòu)方程）、方程組含有三個(gè)未知函數(shù)。此外，邊界條件也要用位移表示，當(dāng)給定位移邊界條件時(shí)，問(wèn)題自然簡(jiǎn)單。如給定應(yīng)力邊界條件，則需將邊界條件加以(jiy)變換，改用位移表示。17共三十九頁(yè)第五章彈塑性力學(xué)問(wèn)題(wnt)的提法應(yīng)力法應(yīng)力作為基本未知量，需將泛定方程改用應(yīng)力分量表示，并求出6個(gè)應(yīng)力分量所滿(mǎn)足的6個(gè)方程。由此所求得的解，應(yīng)滿(mǎn)足應(yīng)變協(xié)調(diào)(xitio)條件和邊界條件，為此應(yīng)將應(yīng)變

10、協(xié)調(diào)(xitio)方程改用應(yīng)力表示。 18共三十九頁(yè)第五章彈塑性力學(xué)問(wèn)題(wnt)的提法19共三十九頁(yè)第五章彈塑性力學(xué)問(wèn)題(wnt)的提法20共三十九頁(yè)第五章彈塑性力學(xué)問(wèn)題(wnt)的提法于是得到(d do)利用應(yīng)力表示的6個(gè)協(xié)調(diào)方程 21共三十九頁(yè)第五章彈塑性力學(xué)(l xu)問(wèn)題的提法當(dāng)體力(tl)不計(jì)時(shí) 因三個(gè)平衡方程中含有6個(gè)未知量，在給定邊界條件下，尚需增加協(xié)調(diào)方程，使6個(gè)應(yīng)力分量對(duì)9個(gè)方程同時(shí)滿(mǎn)足。 用應(yīng)力法解彈性力學(xué)問(wèn)題，就歸結(jié)為求滿(mǎn)足平衡方程，協(xié)調(diào)方程及邊界條件的應(yīng)力分量的數(shù)學(xué)問(wèn)題 22共三十九頁(yè)第五章彈塑性力學(xué)(l xu)問(wèn)題的提法逆解法(ji f)與半逆解法(ji f)由以上

11、討論可以看出，對(duì)于彈性力學(xué)問(wèn)題需要在嚴(yán)格的邊界條件下解復(fù)雜的微分方程組。在一般情況下，這是一件很不容易的事，因?yàn)橥y以克服數(shù)學(xué)上的困難。因而，人們研究了各種解題方法，如逆解法、半逆解法等。 所謂逆解法，就是選取一組位移或應(yīng)力的函數(shù)，由此求出應(yīng)變與應(yīng)力，然后驗(yàn)證是否滿(mǎn)足基本方程。若滿(mǎn)足，則求出與之對(duì)應(yīng)的邊界條件上的位移或面力，再與實(shí)際邊界條件比較。如果相同或可認(rèn)為相近，就可把所選取的解作為所要求的解。 所謂半逆解法又叫湊合解法，就是在未知量中，先根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)假設(shè)一部分為已知，然后在基本方程和邊界條件中，求另一部分，這樣便得到了全部未知量。此外，尚有近似解法、數(shù)值解法等。 解的存在定理證明過(guò)程

12、冗長(zhǎng)，不擬介紹，解的唯一性自修。 23共三十九頁(yè)第五章彈塑性力學(xué)問(wèn)題(wnt)的提法圣維南原理(yunl)圣維南原理 如作用在彈性體表面上某一不大的局部面積上的力系，為作用在同一局部面積上的另一靜力等效力系所代替，則載荷的這種重新分布，只在離載荷作用處很近的地方，才使應(yīng)力的分部發(fā)生顯著的變化，在離載荷較遠(yuǎn)處只有極小的影響。 如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對(duì)于同一點(diǎn)的主矩也相同），那么，近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但是遠(yuǎn)處所受的影響可以不計(jì)24共三十九頁(yè)第五章彈塑性力學(xué)(l xu)問(wèn)題的提法圖2-9(a)(b)(c)(d)(e) 在上述四種情況下

13、，離開(kāi)兩端(lin dun)較遠(yuǎn)的部分的應(yīng)力分布，并沒(méi)有顯著的差別。注意： 應(yīng)用圣維南原理，絕不能離開(kāi)“靜力等效”的條件。25共三十九頁(yè)第五章彈塑性力學(xué)問(wèn)題(wnt)的提法疊加原理(yunl)疊加原理成立的條件為：小變形、線性彈性本構(gòu)方程。對(duì)于大變形情況，物體的變形將影響外力的作用，如受縱向和橫向外力作用的梁，就必須考慮變形的影響，此時(shí)， 26共三十九頁(yè)第五章彈塑性力學(xué)(l xu)問(wèn)題的提法塑性力學(xué)問(wèn)題(wnt)的提法塑性力學(xué)邊值問(wèn)題的提法與彈性力學(xué)問(wèn)題相同，也必須使定解問(wèn)題是適用的，即要求所提問(wèn)題：有解；解是惟一的；解是穩(wěn)定的。就是說(shuō)，如定解條件（邊界條件和初始條件）有微小變化，只引起解作微

14、小變化 彈塑性力學(xué)邊值問(wèn)題的基本方程為平衡方程對(duì)增量理論為對(duì)全量理論為或者27共三十九頁(yè)第五章彈塑性力學(xué)(l xu)問(wèn)題的提法幾何(j h)方程對(duì)增量理論為對(duì)全量理論為 本構(gòu)關(guān)系對(duì)彈塑性材料的增量理論為應(yīng)力空間的屈服面或加載面 對(duì)全量理論為 是材料常數(shù) 28共三十九頁(yè)第五章彈塑性力學(xué)問(wèn)題(wnt)的提法邊界條件對(duì)增量(zn lin)理論為對(duì)全量理論為29共三十九頁(yè)第五章彈塑性力學(xué)(l xu)問(wèn)題的提法(1)解的唯一性在線性彈性(tnxng)力學(xué)問(wèn)題中,解的唯一位定理是成立的。而在彈塑性力學(xué)問(wèn)題中,本構(gòu)方程為非線性,且應(yīng)力與應(yīng)變不存在單值對(duì)應(yīng)關(guān)系,因而問(wèn)題就比較復(fù)雜。如果結(jié)構(gòu)是簡(jiǎn)單加載并全量理論

15、求解,則解是唯一的。在必須采用增量理論求解的問(wèn)題中,對(duì)于硬化材料,當(dāng)應(yīng)力確定時(shí),對(duì)應(yīng)的應(yīng)變?cè)隽恳彩俏ㄒ淮_定的;對(duì)于理想塑性材料,就給定的應(yīng)力值,不能唯一地確定應(yīng)變?cè)隽?即應(yīng)變?cè)隽靠梢圆晃ㄒ弧?2)求解的方法彈塑性力學(xué)問(wèn)題的基本求解方法仍然是位移法和應(yīng)力法。由于涉及到復(fù)雜的非線性本構(gòu)方程,通常情況下解析解是無(wú)法得到的,只能采用數(shù)值方法求近似解。如果材料是理想彈塑性的或線性硬化彈塑性的,則對(duì)于某些簡(jiǎn)單彈塑性問(wèn)題,可以得到解析解。梁的彈塑性彎曲，見(jiàn)薛守義彈塑性力學(xué)P22530共三十九頁(yè)第五章彈塑性力學(xué)(l xu)問(wèn)題的提法如圖所示的曲桿（四分之一圓環(huán)）上端承受水平力的作用(zuyng)，求曲桿的應(yīng)力

16、。解:如本題圖所示,曲桿任一橫截面上的彎矩與 成正比，因此應(yīng)力函數(shù)也應(yīng)與 成正比，設(shè)應(yīng)力函數(shù)為： 把應(yīng)力函數(shù)代入相容方程：解該常微分方程得到31共三十九頁(yè)第五章彈塑性力學(xué)(l xu)問(wèn)題的提法于是，由應(yīng)力(yngl)函數(shù)得到應(yīng)力(yngl)分量為積分常數(shù)由邊界條件確定 因?yàn)槿サ?對(duì)應(yīng)力沒(méi)有影響，所以，只要確定A、B、D三個(gè)常數(shù)即可 32共三十九頁(yè)第五章彈塑性力學(xué)(l xu)問(wèn)題的提法所求的應(yīng)力(yngl)分量為：33共三十九頁(yè)第五章彈塑性力學(xué)(l xu)問(wèn)題的提法如圖所示的楔形體其側(cè)面承受均布剪力的作用，求楔形體的應(yīng)力(yngl)。設(shè)應(yīng)力(yngl)函數(shù)解：把應(yīng)力函數(shù)代入相容方程可以求得f的解

17、,最后得到應(yīng)力函數(shù)的表達(dá)式為:對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量為:邊界條件:34共三十九頁(yè)第五章彈塑性力學(xué)(l xu)問(wèn)題的提法求出常數(shù)(chngsh):楔形體中的應(yīng)力35共三十九頁(yè)第五章彈塑性力學(xué)(l xu)問(wèn)題的提法分析下列應(yīng)力函數(shù)能解決(jiju)什么樣的平面應(yīng)力問(wèn)題解：應(yīng)力函數(shù)顯然滿(mǎn)足下面的相容方程不計(jì)體積力時(shí)，應(yīng)力分量36共三十九頁(yè)第五章彈塑性力學(xué)問(wèn)題(wnt)的提法考慮(kol)深度（高度）為2c的懸臂梁受均勻拉伸，同時(shí)受到剪切作用，本題目給出的應(yīng)力函數(shù)能解決深度（高度）為2c的懸臂梁受均勻拉伸，同時(shí)自由端受到集中力F的作用的問(wèn)題37共三十九頁(yè)第五章彈塑性力學(xué)(l xu)問(wèn)題的提法本章(bn zhn)結(jié)束38共三十九頁(yè)內(nèi)容摘要第五章。應(yīng)變位移關(guān)系導(dǎo)出的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。應(yīng)當(dāng)指出，加載過(guò)程的彈塑性問(wèn)題可作為非線性彈性力學(xué)問(wèn)題來(lái)處理。彈