高中物理競(jìng)賽教程：3.6《萬(wàn)有引力天體的運(yùn)動(dòng)》

1、為A，則面積速度為“，由圖3-6-1可知,圖3-6-1萬(wàn)有引力天體的運(yùn)動(dòng)3.6.1萬(wàn)有引力任何兩個(gè)物體間存在一種稱為萬(wàn)有引力的相互作用力。萬(wàn)有引力是自然界中已發(fā)現(xiàn)的四種相互作用（萬(wàn)有引力相互作用、電磁相互作用、弱相互作用和強(qiáng)相互作用）之一。兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的萬(wàn)有引力，其大小與兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量乘積成正比，與兩質(zhì)點(diǎn)距離的平方成反比，方向沿兩質(zhì)點(diǎn)的連線方向，其表示式為為A，則面積速度為“，由圖3-6-1可知,圖3-6-1式中G稱為萬(wàn)有引力常量，其值為|-萬(wàn)有引力公式只適用于質(zhì)點(diǎn)，當(dāng)物體的幾何線度不能忽略時(shí)，可以把它們分割成線度可略的小部分，兩物體間每一小部分之間的萬(wàn)有引力的合力便就是兩物體間的萬(wàn)有引力?？梢宰C

2、明兩個(gè)質(zhì)量均勻的球體之間的引力?？梢杂萌f(wàn)有引力定律計(jì)算，只是計(jì)算式中的r為兩球心間的距離。質(zhì)量為m的均勻分布的球殼對(duì)球殼外任一質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力,等于質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)處于球心處與該質(zhì)點(diǎn)間的萬(wàn)有引力，它對(duì)球殼內(nèi)的任一質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力則為零。測(cè)得的地球表面上物體所受到的重力，是地球?qū)ξ矬w引力的一個(gè)分量，由于地球并不嚴(yán)格是個(gè)球體，質(zhì)量分布也不均勻，加之地球的自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，使得同一物體，在地球表面不同位置處受到的重力略有不同。萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用天體表面的重力加速度g：設(shè)天體質(zhì)量為M且均勻分布，天體為圓球體且半徑為R,物體質(zhì)量為m則Mm關(guān)于天體質(zhì)量和平均密度的計(jì)算：設(shè)質(zhì)量為m的行星繞質(zhì)量為M的恒星作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的公

3、轉(zhuǎn)，公轉(zhuǎn)的半徑為r，周期為T,由牛頓定律，恒星對(duì)行星的萬(wàn)有引力就是行星繞恒星作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，故有嚴(yán)Mm4托由此可得恒星的質(zhì)量為GT2為A，則面積速度為“，由圖3-6-1可知,圖3-6-1為A，則面積速度為“，由圖3-6-1可知,圖3-6-1設(shè)恒星的球半徑為R,則它的平均密度為MGV3丹GTIV為A，則面積速度為“，由圖3-6-1可知,圖3-6-1為A，則面積速度為“，由圖3-6-1可知,圖3-6-1這個(gè)公式也適用于衛(wèi)星繞行星作圓周運(yùn)動(dòng)的情況。如設(shè)近地人造衛(wèi)星的周期為T,因有-：，上式就可以寫成3托這就很容易求出地球的平均密度了。3.6.2、天體的運(yùn)動(dòng)開普勒根據(jù)前人積累的行星運(yùn)動(dòng)觀察資料

4、?？偨Y(jié)出關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)的三定律一一開普勒三定律。第一定律：行星圍繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)軌道為橢圓，太陽(yáng)在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上第二定律：行星與太陽(yáng)的連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積。下面舉一個(gè)例子詳加說(shuō)明：為用數(shù)學(xué)式子表述第二定律，設(shè)徑矢r在時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積A/f-/:Vsin/7故面積速度為=rsin0=rvsin0-,M2Ar2常量式中v為行星運(yùn)動(dòng)的線速度，為徑矢r與速度v方向之間的夾角。當(dāng)行星位于橢圓軌道的近日點(diǎn)或遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)，速度v的方向與徑矢r的方向垂直，即=90o,故AJI1第三定律：各行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的周期平方與軌道半長(zhǎng)軸立方的比值相同，即嚴(yán).r=Aa開普勒定律不僅適用于行星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)。也適用于衛(wèi)星繞行

5、星的運(yùn)動(dòng)。當(dāng)半長(zhǎng)軸a與半短軸b相等時(shí)，橢圓成為圓。由開普勒第二定律可知，圓軌道運(yùn)動(dòng)必為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力。對(duì)于繞地球作半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星，由牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律可得GMmv:一=mrr根據(jù)地球表面物體重力與引力的關(guān)系R為地球半徑衛(wèi)星速率為對(duì)于貼著地球表面運(yùn)行的衛(wèi)星。rRv=1km/s這就是第一宇宙速度，也就是發(fā)射衛(wèi)星必須具有的最小速度利用能量關(guān)系，可求出從地球表面發(fā)射的宇宙飛般，為能掙脫地球引力的束縛，其發(fā)射速度必須滿足G財(cái)用川F面舉一個(gè)例子詳加說(shuō)明:0新發(fā)現(xiàn)一行星，其星球半徑為6400km，且由通常的水形成的海洋覆蓋著它的所有表面，海洋的深度為10km。學(xué)者們對(duì)

6、該行星進(jìn)行探查時(shí)發(fā)現(xiàn)。當(dāng)把試驗(yàn)用的樣品浸入行星海洋的不同深度時(shí)，各處的自由落體加速度以相當(dāng)高的精確度保持不變，試求這個(gè)行星表面處的自由落體加速度。已知萬(wàn)有引力常數(shù)為G=6,67x1Q*ll/V。解1:如圖3-6-2以R表示此星球（包括水層）的半徑，M表示其質(zhì)量，h表示其表層海洋的深度，r表示海洋內(nèi)任一點(diǎn)A到星球中心O的距離，表示除表層海洋外星球內(nèi)層的半徑。則有-八，且-；，；，以一表示水的密度，則此星球表層海洋中水的總質(zhì)量為TOC o 1-5 h z44、$叔-三鳳仇23丿叩小3Fh-3R”23-由于，故式可略去其中h的高次項(xiàng)面是近似寫為密一*:f根據(jù)均勻球體表面處重力加速度的公式，可得此星球

7、表層海洋的底面和表面處的重力加速度分別為依題述有,即GM整理上式可解得由于Rh，故近似取2Rh-則式可寫為由和式得此星球表面的重力加速度為以亦/如、心二畑/亦、尺二仕“I爐桝代入式，得Sa=2.7m/s1解2：設(shè)行星的內(nèi)層（即半徑為R。的球體部分）的平均密度為，則可將該半徑為Ro的球體視為由一個(gè)均勻的水球（密度為水、半徑為Ro）和一個(gè)密度為一半徑為Ro的球疊加而成。則在水球殼層內(nèi)的重力加速度應(yīng)由這兩個(gè)球分別產(chǎn)生的加速度疊加而成。如圖3-6-2，對(duì)于水球殼層中的任一點(diǎn)人，以，表示上述水球在該處形成的重力加速度，則有扌戚巾水八4g】=p=亍加“沁由上式可見，gl隨r的增加而增加，當(dāng)r增加為葉r時(shí)，

8、gl的增加量為TOC o 1-5 h z444=-+A/）-r=-333又以-表示上述的密度為0的球在A點(diǎn)產(chǎn)生的重力加速度，則有由上式可見，go隨r的增加而減少，當(dāng)r增加為葉厶r時(shí)，go的增加量（為一負(fù)值,表明其實(shí)際上是減少）為(r+Ar)23(廠+/V)r上式演算中利用了近似關(guān)系Emsi.乞叮-。由于要求在水層內(nèi)重力加速度g為恒量，即二；不隨r變化而變化，故應(yīng)有丁加P歡4=-y33丿近似取r=R0，乃得則行星內(nèi)層密度為由上可得此行星內(nèi)外兩層分界面處的重力加速度（亦即行星表面處的重力加速度）=2.7m/s內(nèi)容總結(jié)萬(wàn)有引力天體的運(yùn)動(dòng)3.6.1、萬(wàn)有引力任何兩個(gè)物體間存在一種稱為萬(wàn)有引力的相互作用力質(zhì)量為m的