階躍響應、沖激響應

1、第9章 階躍響應、沖激響應 和卷積積分的應用 9.1 階躍函數(shù)和沖激函數(shù) 本章重點 9.4 電路在任意激勵作用下的零狀態(tài)響應卷積積分9.5 電容電壓和電感電流的躍變 9.2 階躍響應 9.3 沖激響應 1 階躍響應和沖激響應 本章重點 階躍函數(shù)和沖激函數(shù) 卷積積分 返回目錄 電容電壓和電感電流的躍變 29.1 階躍函數(shù)和沖激函數(shù) 一、單位階躍函數(shù)（unit step function） 1. 定義 t(t)10用可描述開關的動作。 +uCUS(t)RCUSS+uCRC開關在t =0 時閉合 32. 延遲的單位階躍函數(shù) t(t-t0)t003. 由單位階躍函數(shù)可組成復雜的信號 USS+uCRC開

2、關在t =t0 時閉合 4t0t-(t-t0)(t)0f(t)1解所示矩形脈沖可分解為階躍函數(shù)和延遲階躍函數(shù)相加。 例11t0tf(t)0試用階躍函數(shù)表示上圖所示的矩形脈沖。 511t001t1f(t)例2 試用階躍函數(shù)表示圖示的波形。 解 f(t) 分成兩段表示。 1t101t1+(0 t 1)(10時，可用三要素法得到其解。15t0若激勵在 t = t0 時加入，則響應從 t = t0開始。 t- t0( t - t0 )iCt0注意 t( t - t0 )不要寫為 f (t )f(t )(t)f(t )(t-t0)t0f(t-t0 )(t-t0) (t -t0)C+uCRt0t0f(t

3、)(t)16解 10k10k+-iC1100FuC(0-)=010k10k+-iC2100FuC(0-)=0由疊加定理有 例 求圖示電路中電流 iC(t) 10k10kuS+-iC100FuC(0-)=00.510t/suS/V017等效 5k+-iC2100FuC(0-)=010k10k+-iC1100FuC(0-)=0由線性、齊次和時不變性質(zhì)，得 10k10k+-iC100FuC(0-)=018分段表示為 t/si/mA01-0.6320.5波形 0.368也可用時間分段形式表示 19二、二階電路的階躍響應已知 uC(0-)=0 ， i (0-)=0以uC為變量微分方程為RLC+-uCi+

4、-以RLC串聯(lián)電路為例討論。二階常系數(shù)非齊次微分方程。上述微分方程等價于：20特征根為 按特征根的不同情況，通解（自由分量）有三種不同形式，uC解答可表示為過阻尼情況臨界阻尼情況欠阻尼情況返回目錄219.3 沖激響應 零狀態(tài) h(t) 沖激響應（impulse response）：電路在沖激激勵作用下的的零狀態(tài)響應。 方法一 ： 分兩個時間段來考慮 （1） t 在 0- 0+；（2） t 0+。 分析沖激響應時，時間范圍為 0 到 t 。 t022（1） t 在 0- 0+ 間 （2） t 0+ 零輸入響應。 iCiSRC+uC例1已知：求： iS(t)為單位沖激時電路的響應uC(t)和 iC

5、 (t)。定性分析 uC(0)=0，電容相當于短路 23（2） t 0+ RC放電 iCRC+uC（1） t 在 0- 0+ 間 解uC不是沖激，僅是有限的跳變。 =1=024t/suC/V0沖激響應為t/siC /A025（1） t 在 0- 0+間定性分析 例2已知求 uS 為單位沖激時的電路響應iL(t)和uL(t)。 解 =1=0i不是沖激，僅是有限的跳變 RL+-iLuS+-uL26（2） t 0+ RL放電 tiL0tuL0LiLR+-uL沖激響應為 27（1） t 在 0- 0+間（2） t 0+ RC放電 例3已知： 求： uS 為單位沖激時電路響應iC(t)和uC(t)。iC

6、RC+uC-+-iCRuS+uC-解電容短路沖激響應為28方法二: 利用階躍響應求沖激響應。 零狀態(tài)h(t)零狀態(tài)s(t)f(t)t029求沖激響應。 已知單位階躍響應 例+-iCRuS+uC-解 返回目錄309.4 電路在任意激勵作用下的零狀態(tài)響應 卷積積分一、卷積積分（convolution）定義 設 f1(t) , f2(t)在 t 0時均為零 性質(zhì)1 應用：求任意波形激勵下的零狀態(tài)響應。 e(t)r(t)零狀態(tài)線性網(wǎng)絡h(t)31證明 令 = t - ：0 t : t 0性質(zhì)2 篩分性 = f ( t )二、卷積積分的物理解釋 e (0)將e(t)在作用時間0 t 內(nèi)劃分為n等分，每個

7、間隔為32單位脈沖函數(shù)的延時 e (0)2k(k+1)33第1個矩形脈沖 若單位脈沖函數(shù) p ( t ) 的響應為 h p ( t )第k個矩形脈沖 激勵 響應 34脈沖響應響應 脈沖函數(shù)激勵 沖激函數(shù) 沖激響應 積分卷積積分-疊加積分 35被積函數(shù) 積分變量 參變量 三、卷積積分的圖解說明 f2(-)10f1(t)201tf2(t)10tf1()201361ttt卷 移 乘 積 f2()10f2(t-)10t1f1() f2(t-)02f2(-)10f1()201ttf1(t)* f2(t)0t1t37由圖解過程確定積分上下限 1 201e-(-)t01ttt-1t0102 -11e-法二

8、e-(t-)tttt法一 38解 先求該電路的沖激響應 h(t)uC()=0例1.已知：R=500 k , C=1 F , uC(0)=0求： uC(t)。iCRiSC+uC四、應用舉例 39再由卷積積分計算當 iS=2et (t) mA 時的響應 uC ( t ):40r(t)=iS*h(t)=h(t)*iS 此卷積積分需分段進行 例2 已知線性網(wǎng)絡沖激響應為h(t)， 求此網(wǎng)絡激勵為圖示iS時的零狀態(tài)響應。 h(t)23t0tiS042is(t)零狀態(tài)線性網(wǎng)絡h(t)iS04232410 t 2 2 t 3 3 t 5 r(t)=0043-2 思考 如何劃分時間段？確定積分上下限。 204

9、2 3 46t02tt-3返回目錄439.5 電容電壓和電感電流的躍變在換路瞬間，若電容中流過沖激電流時，電容電壓可能發(fā)生躍變，此時電容的瞬時充電（或放電）功率為無窮大。在換路瞬間，若電感兩端出現(xiàn)沖激電壓時，電感中的電流可能發(fā)生躍變，此時電感的瞬時充電（或放電）功率為無窮大。44一、電容電壓的躍變例1 理想電壓源瞬間加在純電容C兩端。 則電容電壓可以表示為 SuCC+US+iCuC , iCtoUSuC iC 電容中電流為 45例2 電路如圖所示。S+R1uC2C1+US+C2uC1iC1iC2AR2以uC1為變量，可列些出方程如下：由上述方程可知，電容電壓uC1應為有限值。再根據(jù)KVL， u

10、C2也應為有限值。46節(jié)點A的KCL方程：在0-0區(qū)間對上式積分，并整理得式(1)表明節(jié)點A滿足電荷守恒。其中uC1(0+)、 uC2(0+)待求。再根據(jù)KVL，有當uC1(0)0、 uC2(0)0時，聯(lián)立求解式（1）和式（2）可求得47由此可用三要素法得到此一階電路的解：其時間常數(shù)為換路后達穩(wěn)態(tài)時有所以電容電壓分別為48對電容電壓的全時間域表達式求導，可得電容電流為小結(jié)： 一般情況下，當換路后電路中出現(xiàn)由理想電壓源和電容（或全部由電容）構成的回路時，則電容電壓可能發(fā)生躍變。 分析方法是：首先根據(jù)KVL，列寫換路后瞬間電容電壓與電壓源電壓的約束方程；然后再根據(jù)節(jié)點電荷守恒寫出有關電壓的方程；最后根據(jù)上述所列方程便可求出待求電壓的值，從而可知電容電壓是否躍變。49二、電感電流的躍變電感電流可能發(fā)生躍變的情況，與電容的情況是對偶的。結(jié)論如下： 一般情況下，當換路后電路中出現(xiàn)由理想電流源和電感（或全部由電感）構成的割集時，則電感電流可能發(fā)生躍變。 分析方法是：首先根據(jù)KCL，列寫換路后瞬間電感電流與電流源電流的約束方程；然后再根據(jù)回路磁