數(shù)學(xué)競賽題 (2)

1、2003年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷第一試（4月13日上午8:309:30）一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）1.等于A. B. C.5 D.1 2.在凸10邊形的所有內(nèi)角中，銳角的個數(shù)最多是A.0 B.1 C.3 D.5 3.若函數(shù)與函數(shù)的圖象相交于A，C兩點，AB垂直x軸于B，則ABC的面積為A.1 B.2 C.k D.4.滿足等式的正整數(shù)對的個數(shù)是A.1 B.2 C.3 D.45.設(shè)ABC的面積為1，D是邊AB上一點，且若在邊AC上取一點E，使四邊形DECB的面積為，則的值為A. B. C. D.6.如圖，在ABCD中，過A，B，C三點的圓交AD于E，且與CD相切若AB=4，BE=5

2、，則DE的長為A.3 B.4 C. D.二、填空題（本題滿分28分，每小題7分）1.拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C若ABC是直角三角形，則ac=_2.設(shè)m是整數(shù)，且方程的兩根都大于而小于，則m=_3.如圖，分別是EAB，DBC的平分線若，則BAC的度數(shù)為_4.已知正整數(shù)a，b之差為120，它們的最小公倍數(shù)是其最大公約數(shù)的105倍，那么a，b中較大的數(shù)是_2003年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷第二試（A）（4月13日上午10:0011:30）考生注意：本試三大題，第一題20分，第二、三題各25分，全卷滿分70分一、（本題滿分20分）試求出這樣的四位數(shù)，它的前兩位數(shù)字與后兩位數(shù)字分別組成的

3、二位數(shù)之和的平方，恰好等于這個四位數(shù)二、（本題滿分25分）在ABC中，D為AB的中點，分別延長CA，CB到點E，F(xiàn)，使DE=DF；過E，F(xiàn)分別作CA，CB的垂線，相交于P設(shè)線段PA，PB的中點分別為M，N求證：DEMDFN；PAE=PBF三、（本題滿分25分）已知實數(shù)a，b，c，d互不相等，且，試求x的值2003年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷第二試（B）（4月13日上午10:0011:30）考生注意：本試三大題，第一題20分，第二、三題各25分，全卷滿分70分一、（本題滿分20分）試求出這樣的四位數(shù)，它的前兩位數(shù)字與后兩位數(shù)字分別組成的二位數(shù)之和的平方，恰好等于這個四位數(shù)二、（本題滿分25分）在A

4、BC中，D為AB的中點，分別延長CA，CB到點E，F(xiàn)，使DE=DF；過E，F(xiàn)分別作CA，CB的垂線，相交于P求證：PAE=PBF三、（本題滿分25分）已知四邊形ABCD的面積為32，AB，CD，AC的長都是整數(shù)，且它們的和為16這樣的四邊形有幾個？求這樣的四邊形邊長的平方和的最小值2003年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷第二試（C）（4月13日上午10:0011:30）考生注意：本試三大題，第一題20分，第二、三題各25分，全卷滿分70分一、（本題滿分20分）已知實數(shù)a，b，c，d互不相等，且，試求x的值二、（本題滿分25分）在ABC中，D為AB的中點，分別延長AC，BC到點E，F(xiàn)，使DE=DF；過

5、E，F(xiàn)分別作AC，BC的垂線，相交于P求證：PAE=PBF三、（本題滿分25分）已知四邊形ABCD的面積為32，AB，CD，AC的長都是整數(shù)，且它們的和為16這樣的四邊形有幾個？求這樣的四邊形邊長的平方和的最小值2004年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題第一試一選擇題1已知abc0，且a+b+c=0, 則代數(shù)式的值是（ ）(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 02已知p,q均為質(zhì)數(shù)，且滿足5p2+3q=59，則以p+3,1-p+q,2p+q-4為邊長的三角形是（ ）(A) 銳角三角形 (B) 直角三角形 (C) 鈍角三角形 (D) 等腰三角形3 一個三角形的邊長分別為a,a,b，另一個三角形的邊

6、長分別為b,b,a，其中ab，若兩個三角形的最小內(nèi)角相等，則的值等于（ ）(A) (B) (C) (D) 4過點P(-1,3)作直線，使它與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為5，這樣的直線可以作（ ）(A) 4條 (B) 3條 (C) 2條 (D) 1條5已知b2-4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的一個實數(shù)根，則ab的取值范圍為（ ）(A) (B) (C) (D) 6如圖，在23矩形方格紙上，各個小正方形的頂點稱為格點，則以格點為頂點的等腰直角三角形的個數(shù)為（ ）(A) 24 (B) 38 (C) 46 (D) 50二填空題1計算= .2如圖ABCD是邊長為a的正方形，以D為圓心，DA

7、為半徑的圓弧與以BC為直徑的半圓交于另一點P，延長AP交BC于點N，則= .3實數(shù)a,b滿足a3+b3+3ab=1,，則a+b= .4設(shè)m是不能表示為三個合數(shù)之和的最大整數(shù)，則m= .第二試一 已知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整數(shù)，求整數(shù)n的值。二（A） 已知如圖，梯形ABCD中，ADBC, 以兩腰AB,CD為一邊分別向兩邊作正方形ABGE和DCHF，設(shè)線段AD的垂直平分線l交線段EF于點M，EPl于P，F(xiàn)Ql于Q。求證：EP=FQ二（B） 已知如圖，梯形ABCD中，ADBC, 以兩腰AB,CD為一邊分別向兩邊作正方形ABGE和DCHF，設(shè)線段AD的垂直平分線l交線段EF于點M。

8、求證：M為EF的中點。二 （C）已知如圖，梯形ABCD中，ADBC, 以兩腰AB,CD為一邊分別向兩邊作正方形ABGE和DCHF， 連接EF，設(shè)線段EF的中點為M。求證：MA=MD。三 已知點A(0,3)，B(-2,-1)，C(2,-1) P(t,t2)為拋物線yx2上位于三角形ABC內(nèi)（包括邊界）的一動點，BP所在的直線交AC于E， CP所在的直線交AB于F。將表示為自變量t的函數(shù)。參考答案：一試 一 二1 2 31或-2 417二試 一 -18，-8，0，10 二（略）三2005年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試卷3月25日下午2：304:30或3月26日上午9：0011：30學(xué)校_ 考生姓名_題

9、號一二三四五合 計得 分評卷人復(fù)核人一、選擇題（每小題7分，共計42分）1、若a、b為實數(shù)，則下列命題中正確的是（ ）（A）aba2b2 (B)aba2b2 (C)|a|ba2b2 (D)a|b|a2b22、已知：a+b+c=3,a2+b2+c2=3,則a2005+b2005+c2005的值是（ ）（A） 0 (B) 3 (C) 22005 (D)3220053、有一種足球是由若干塊黑白相間的牛皮縫制而成，黑皮為正五邊形，白皮為正六邊形，（如圖），如果縫制好的這種足球黑皮有12塊，則白皮有（ ）塊。 (A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 224、在RtABC中，斜邊AB=5，而直角

10、邊BC、AC之長是一元二次方程x2(2m1)x+4(m1)=0的兩根，則m的值是（ ）（A）4 （B）1 （C）4或1 （D）4或15、在直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點稱為整點，設(shè)k為整數(shù)，當(dāng)直線y=x3與y=kx+k的交點為整數(shù)時，k的值可以?。?）（A）2個 （B）4個 （C）6個 （D）8個6、如圖，直線x=1是二次函數(shù) y=ax2+bx+c的圖像的對稱軸，則有（ ）（A）a+b+c=0 （B）ba+c （C）c2b （D）abc0二、填空題 （每小題7分，共計28分）1、已知：x為非零實數(shù)，且 = a, 則 =_。2、已知a為實數(shù)，且使關(guān)于x的二次方程x2+a2x+a = 0有實根，

11、則該方程的根x所能取到的最大值是_.3、p是o的直徑AB的延長線上一點，PC與o相切于點C，APC的角平分線交AC于Q，則則PQC = _.4、對于一個自然數(shù)n，如果能找到自然數(shù)a和b，使n=a+b+ab,則稱n為一個“好數(shù)”，例如：3=1+1+11，則3是一個“好數(shù)”，在120這20個自然數(shù)中，“好數(shù)”共有_個。三、（本題滿分20分）設(shè)A、B是拋物線y=2x2+4x2上的點，原點位于線段AB的中點處。試求A、B兩點的坐標(biāo)。BAOEDC四、（本題滿分25分）如圖，AB是o的直徑，AB=d，過A作o的切線并在其上取一點C，使AC=AB，連結(jié)OC叫o于點D，BD的延長線交AC于E，求AE的長。五、

12、（本題滿分25分）設(shè)x = a+bc ,y = a+cb ,z = b+ca ,其中a、b、c是待定的質(zhì)數(shù)，如果x2 = y ,= 2,試求積abc的所有可能的值。2005年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試題參考解答及評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（每小題7分，共計42分）1、D 2、B 3、C 4、A 5、C 6、C二、填空題 （每小題7分，共計28分）1、 a22 2、 3、 45 4、 12三、解：原點是線段AB的中點點A和點B關(guān)于原點對稱設(shè)點A的坐標(biāo)為（a，b），則點B的坐標(biāo)為（a，b）5分又 A、B是拋物線上的點，分別將它們的坐標(biāo)代入拋物線解析式，得：b = 2a2+4a2 10分b = 2a24a2解之

13、得： a = 1 , b = 4 或者a = 1 ,b = 415分故 A為（1，4），B為（1，4） 或者 A（1，4），B（1，4）.20分BAOEDC4321四、解：如圖連結(jié)AD，則1=2=3=4CDECAD 5分又ADEBDA 10分由、及AB=AC，可得AE=CD 15分又由CDECAD可得，即AE2=CD2=CECA 20分設(shè)AE=x，則CE=dx ，于是 x2=d(dx)即有AE = x = （負(fù)值已舍去） 25分五、解：a+bc=x, a+cb=y, b + ca =z ,a=, b=, c= 5分又 y=x2 , 故 a=-(1); b=-(2) c=-(3)x= -(4)x

14、是整數(shù)，得1+8a=T2，其中T是正奇數(shù)。 10分于是，2a= ，其中a是質(zhì)數(shù)，故有=2，=aT=5 ，a=3 15分將a=3代入（4） 得 x=2或3.當(dāng)x=2時，y=x2=4, 因而2=2， z=16 ，代入（2）、（3）可得b=9 ，c=10，與b、c是質(zhì)數(shù)矛盾，當(dāng)舍去。 20分當(dāng)x=3時，y=9 . 3=2,z=25代入（2）、（3）可得 b=11，c=17abc=31117=561 25分2005年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽決賽試卷一、選擇題：(每題7分，共42分)1、化簡：的結(jié)果是。A、無理數(shù)B、真分?jǐn)?shù)C、奇數(shù)D、偶數(shù)2、圓內(nèi)接四條邊長順次為5、10、11、14；則這個四邊形的面積為。A、7

15、8.5B、97.5C、90D、1023、設(shè)r4，a，b，c，則下列各式一定成立的是。A、abc B、bcaC、cabD、cba4、圖中的三塊陰影部分由兩個半徑為1的圓及其外公切線分割而成，如果中間一塊陰影的面積等于上下兩塊面積之和，則這兩圓的公共弦長是。A、B、C、D、5、已知二次函數(shù)f(x)ax2bxc的圖象如圖所示， y記p|abc|2ab|，q|abc|2ab|，則。A、pq B、pq C、pq D、p、q大小關(guān)系不能確定 0 1 x6、若x1，x2，x3，x4，x5為互不相等的正奇數(shù)，滿足(2005x1)(2005x2)(2005x3)(2005x4)(2005x5)242，則的未位數(shù)

16、字是。A、1B、3C、5D、7二、填空題(共28分)1、不超過100的自然數(shù)中，將凡是3或5的倍數(shù)的數(shù)相加，其和為。2、x。3、若實數(shù)x、y滿足則xy。4、已知銳角三角形ABC的三個內(nèi)角A、B、C滿足：ABC，用a表示AB，BC以及90A中的最小者，則a的最大值為。三、解答題(第1題20分，第2、3題各25分)1、a、b、c為實數(shù)，ac0，且，證明：一元二次方程ax2bxc0有大于而小于1的根。2、銳角ABC中，ABAC，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，過D作BC的垂線交BE于F，交CA的延長線于P，過E作BC的垂線，交CD于G，交BA的延長線于Q，證明：BC、DE、FG、PQ四條直線相交

17、于一點。3、a、b、c為整數(shù)，且a2b3c4，求c的最小值。參考答案：一、1、D2、C3、D4、D5、C6、A二、1、24182、3、xy334353634324、15三、1、略2、略3、c的最小值為6。年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽決賽試題及答案 答案：年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽決賽試題及答案答案：年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試試題及答案答案：年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽二試試題及答案答案：2009年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案第一試一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）1. 設(shè)，則 （ ）A.24. B. 25. C. . D. .2在ABC中，最大角A是最小角C的兩倍，且AB7，AC8，則BC （ ）A

18、. B. . C. . D. .3用表示不大于的最大整數(shù)，則方程的解的個數(shù)為 （ ）A.1. B. 2. C. 3. D. 4.4設(shè)正方形ABCD的中心為點O，在以五個點A、B、C、D、O為頂點所構(gòu)成的所有三角形中任意取出兩個，它們的面積相等的概率為 （ ）A. B. . C. . D. .5如圖，在矩形ABCD中，AB3，BC2，以BC為直徑在矩形內(nèi)作半圓，自點A作半圓的切線AE，則CBE （ ）A. B. . C. . D. .6設(shè)是大于1909的正整數(shù)，使得為完全平方數(shù)的的個數(shù)是 （ ）A.3. B. 4. C. 5. D. 6.二、填空題（本題滿分28分，每小題7分）1已知是實數(shù)，若是

19、關(guān)于的一元二次方程的兩個非負(fù)實根，則的最小值是_.2 設(shè)D是ABC的邊AB上的一點，作DE/BC交AC于點E，作DF/AC交BC于點F，已知ADE、DBF的面積分別為和，則四邊形DECF的面積為_.3如果實數(shù)滿足條件，則_.4已知是正整數(shù)，且滿足是整數(shù)，則這樣的有序數(shù)對共有_對.第二試 一（本題滿分20分）已知二次函數(shù)的圖象與軸的交點分別為A、B，與軸的交點為C.設(shè)ABC的外接圓的圓心為點P.（1）證明：P與軸的另一個交點為定點.（2）如果AB恰好為P的直徑且，求和的值.解 （1）易求得點的坐標(biāo)為，設(shè)，則，.設(shè)P與軸的另一個交點為D，由于AB、CD是P的兩條相交弦，它們的交點為點O，所以O(shè)AO

20、BOCOD，則.因為，所以點在軸的負(fù)半軸上，從而點D在軸的正半軸上，所以點D為定點，它的坐標(biāo)為(0,1). （2）因為ABCD，如果AB恰好為P的直徑，則C、D關(guān)于點O對稱，所以點的坐標(biāo)為，即. 又，所以，解得. 二 （本題滿分25分） 已知ABC中，ACB90，AB邊上的高線CH與ABC的兩條內(nèi)角平分線 AM、BN分別交于P、Q兩點.PM、QN的中點分別為E、F.求證：EFAB. 解 因為BN是ABC的平分線，所以.又因為CHAB，所以，因此. 又F是QN的中點，所以CFQN，所以，因此C、F、H、B四點共圓. 又，所以FCFH，故點F在CH的中垂線上. 同理可證，點E在CH的中垂線上.因此

21、EFCH.又ABCH，所以EFAB. 三（本題滿分25分）已知為正數(shù)，滿足如下兩個條件： 是否存在以為三邊長的三角形？如果存在，求出三角形的最大內(nèi)角.解法1 將兩式相乘，得，即， 即，即， 即，即，即，即，即， 所以或或，即或或.因此，以為三邊長可構(gòu)成一個直角三角形，它的最大內(nèi)角為90. 解法2 結(jié)合式，由式可得，變形，得 又由式得，即，代入式，得，即. ， 所以或或.結(jié)合式可得或或.因此，以為三邊長可構(gòu)成一個直角三角形，它的最大內(nèi)角為90.D A C C B B 72010年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案第一試一、選擇題：（本題滿分42分，每小題7分）1. 若均為整數(shù)且滿足，則 （ ）A1

22、. B2. C3. D4.2若實數(shù)滿足等式，則可能取的最大值為 （ ）A0. B1. C2. D3.3若是兩個正數(shù)，且 則 （ ）A. B. C. D.4若方程的兩根也是方程的根，則的值為 （ ）A13. B9. C6. D 0.5在中，已知，D，E分別是邊AB，AC上的點，且，,則 ( )A15. B20. C25. D30.6對于自然數(shù)，將其各位數(shù)字之和記為，如，則 （ ）A28062. B28065. C28067. D28068.二、填空題：（本題滿分28分，每小題7分）1已知實數(shù)滿足方程組則 .2二次函數(shù)的圖象與軸正方向交于A，B兩點，與軸正方向交于點C已知，則 3在等腰直角ABC中

23、，ABBC5，P是ABC內(nèi)一點，且PA，PC5，則PB_4將若干個紅、黑兩種顏色的球擺成一行，要求兩種顏色的球都要出現(xiàn)，且任意中間夾有5個或10個球的兩個球必為同一種顏色的球.按這種要求擺放，最多可以擺放_個球.第二試 （A）一（本題滿分20分）設(shè)整數(shù)（）為三角形的三邊長，滿足，求符合條件且周長不超過30的三角形的個數(shù).解 由已知等式可得 令，則，其中均為自然數(shù).于是，等式變?yōu)?，?由于均為自然數(shù)，判斷易知，使得等式成立的只有兩組：和 （1）當(dāng)時，.又為三角形的三邊長，所以，即，解得.又因為三角形的周長不超過30，即，解得.因此，所以可以取值4，5，6，7，8，對應(yīng)可得到5個符合條件的三角形.

24、 （2）當(dāng)時，.又為三角形的三邊長，所以，即，解得.又因為三角形的周長不超過30，即，解得.因此，所以可以取值2，3，4，5，6，7，對應(yīng)可得到6個符合條件的三角形.綜合可知：符合條件且周長不超過30的三角形的個數(shù)為5611. 二（本題滿分25分）已知等腰三角形ABC中，ABAC，C的平分線與AB邊交于點P，M為ABC的內(nèi)切圓I與BC邊的切點，作MD/AC，交I于點D.證明：PD是I的切線. 證明 過點P作I的切線PQ（切點為Q）并延長，交BC于點N.因為CP為ACB的平分線，所以ACPBCP.又因為PA、PQ均為I的切線，所以APCNPC.又CP公共，所以ACPNCP，所以PACPNC.由N

25、MQN，BABC，所以QNMBAC，故NMQACB，所以MQ/AC.又因為MD/AC，所以MD和MQ為同一條直線.又點Q、D均在I上，所以點Q和點D重合，故PD是I的切線. 三（本題滿分25分）已知二次函數(shù) QUOTE 的圖象經(jīng)過兩點P，Q.（1）如果都是整數(shù)，且，求的值.（2）設(shè)二次函數(shù) QUOTE 的圖象與軸的交點為A、B，與軸的交點為C. QUOTE 如果關(guān)于的方程的兩個根都是整數(shù)，求ABC的面積.解 點P、Q在二次函數(shù) QUOTE 的圖象上，故，解得，. （1）由知解得.又為整數(shù)，所以，.(2) 設(shè) QUOTE 是方程的兩個整數(shù)根，且.由根與系數(shù)的關(guān)系可得，消去，得，兩邊同時乘以9，得

26、，分解因式，得.所以或或或解得或或或又是整數(shù)，所以后面三組解舍去，故.因此，二次函數(shù)的解析式為.易求得點A、B的坐標(biāo)為（1,0）和（2,0），點C的坐標(biāo)為（0,2），所以ABC的面積為.第二試 （B）一（本題滿分20分）設(shè)整數(shù)為三角形的三邊長，滿足，求符合條件且周長不超過30的三角形的個數(shù)（全等的三角形只計算1次）.解 不妨設(shè)，由已知等式可得 令，則，其中均為自然數(shù).于是，等式變?yōu)?，?由于均為自然數(shù)，判斷易知，使得等式成立的只有兩組：和 （1）當(dāng)時，.又為三角形的三邊長，所以，即，解得.又因為三角形的周長不超過30，即，解得.因此，所以可以取值4，5，6，7，8，對應(yīng)可得到5個符合條件的三角

27、形. （2）當(dāng)時，.又為三角形的三邊長，所以，即，解得.又因為三角形的周長不超過30，即，解得.因此，所以可以取值2，3，4，5，6，7，對應(yīng)可得到6個符合條件的三角形.綜合可知：符合條件且周長不超過30的三角形的個數(shù)為5611. 二（本題滿分25分）題目和解答與（A）卷第二題相同. 三（本題滿分25分）題目和解答與（A）卷第三題相同. 第二試 （C）一（本題滿分20分）題目和解答與（B）卷第一題相同. 二（本題滿分25分）題目和解答與（A）卷第二題相同. 三（本題滿分25分）設(shè)是大于2的質(zhì)數(shù)，k為正整數(shù)若函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)至少有一個為整數(shù)，求k的值解 由題意知，方程的兩根中至

28、少有一個為整數(shù)由根與系數(shù)的關(guān)系可得，從而有 （1）若，則方程為，它有兩個整數(shù)根和 （2）若，則.因為為整數(shù)，如果中至少有一個為整數(shù)，則都是整數(shù).又因為為質(zhì)數(shù)，由式知或不妨設(shè)，則可設(shè)（其中m為非零整數(shù)），則由式可得，故，即又，所以，即 如果m為正整數(shù)，則，從而，與式矛盾.如果m為負(fù)整數(shù)，則，從而，與式矛盾.因此，時，方程不可能有整數(shù)根 綜上所述， BCCABD 13 152011年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題說明：評閱試卷時，請依據(jù)本評分標(biāo)準(zhǔn).第一試，選擇題和填空題只設(shè)7分和0分兩檔；第二試各題，請按照本評分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的評分檔次給分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評卷時請參

29、照本評分標(biāo)準(zhǔn)劃分的檔次，給予相應(yīng)的分?jǐn)?shù).第一試一、選擇題：（本題滿分42分，每小題7分）1已知，則的值為 （ ）A1. B. C. D.【答】B.由可得，即，即，即，所以2已知的兩條高線的長分別為5和20,若第三條高線的長也是整數(shù)，則第三條高線長的最大值為 （ ）A5. B6. C7. D8.【答】B.設(shè)的面積為S，所求的第三條高線的長為h，則三邊長分別為顯然，于是由三邊關(guān)系，得 解得所以的最大整數(shù)值為6,即第三條高線的長的最大值為6.3方程的解的個數(shù)為 （ ）A1個 B2個 C3個 D4個【答】C.當(dāng)時，方程為，即，解得，均滿足當(dāng)時，方程為，即，解得，滿足2011年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參

30、考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 第1頁（共8頁）綜上，原方程有3個解.4今有長度分別為1，2，9的線段各一條，現(xiàn)從中選出若干條線段組成“線段組”，由這一組線段恰好可以拼接成一個正方形，則這樣的“線段組”的組數(shù)有 （ ）A5組. B7組. C9組. D11組.【答】C.顯然用這些線段去拼接成正方形，至少要7條當(dāng)用7條線段去拼接成正方形時，有3條邊每邊都用2條線段連接，而另一條邊只用1條線段，其長度恰好等于其它3條邊中每兩條線段的長度之和當(dāng)用8條線段去拼接成正方形時，則每邊用兩條線段相接，其長度和相等又因為，所以正方形的邊長不大于由于； ； ； ； 所以，組成邊長為7、8、10、11的正方形，各有一種方法；組成

31、邊長為9的正方形，有5種方法。故滿足條件的“線段組”的組數(shù)為14595如圖，菱形ABCD中，則（ ）A. B. C. D.【答】 D.過F作AB的垂線，垂足為H，又，從而FHE是等腰直角三角形，所以HEFH， 6已知，則的值為 （ ）A1. B. C2. D.【答】C.由已知等式得，所以于是，所以 ，即。代入，得，解得2011年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 第2頁（共8頁）所以 二、填空題：（本題滿分28分，每小題7分）1在ABC中，已知，則 【答】 。延長AB到D，使BDBC，連線段CD，則，所以CACD。作于點E，則E為AD的中點，故，.在RtBCE中，所以，故 2二次函數(shù)的

32、圖象的頂點為D，與x軸正方向從左至右依次交于A，B兩點，與y軸正方向交于C點，若ABD和OBC均為等腰直角三角形（O為坐標(biāo)原點），則 【答】 2由已知，得，過D作于點E，則，即，得，所以或又，所以又，即，得3能使是完全平方數(shù)的正整數(shù)n的值為 【答】 11.當(dāng)時，若它是完全平方數(shù)，則n必為偶數(shù)若，則；若，則；若，則；若，則。所以，當(dāng)時，都不是完全平方數(shù)當(dāng)時，若它是完全平方數(shù)，則為一奇數(shù)的平方。設(shè)（k為自然數(shù)），則由于和一奇一偶，所以，于是，故2011年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 第3頁（共8頁）4如圖，已知AB是O的直徑，弦CD與AB交于點E，過點A作圓的切線與CD的延長線交于點

33、F，如果，D為EF的中點，則AB 【答】 24. 設(shè)，則連AD，BC因為AB為O的直徑，AF為O的切線，所以又因為D為RtAEF的斜邊EF的中點， ， ， ， 在RtAEF中，由勾股定理得 ，即 設(shè)，由相交弦定理得 ，即， = 1 * GB3 又 ， 又， ，從而在RtACB中，由勾股定理得 ，即， 聯(lián)立，解得所以第二試 （A）一、（本題滿分20分）已知三個不同的實數(shù)滿足，方程和有一個相同的實根，方程和也有一個相同的實根求的值解 依次將題設(shè)中所給的四個方程編號為，設(shè)是方程和方程的一個相同的實根，則 兩式相減，可解得5分設(shè)是方程和方程的一個相同的實根，則兩式相減，可解得。2011年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)

34、合競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 第4頁（共8頁）所以 10分又方程的兩根之積等于1，于是也是方程的根，則。又 ，兩式相減，得 15分若，則方程無實根，所以，故于是 又，解得 20分二（本題滿分25分）如圖，在四邊形ABCD中，已知，對角線交于點，且，為的中點求證：（1）；（2）證明 （1）由已知得 ，從而四點共圓，為直徑，為該圓的圓心 5分作于點，知為的中點，所以，從而 10分（2）作于點，則又， ， 15分 RtRt， ，又，所以，故，所以 25分三（本題滿分25分）已知為正整數(shù)，設(shè)，O為坐標(biāo)原點若，且（1）證明：；（2）求圖象經(jīng)過三點的二次函數(shù)的解析式解 （1）因為，所以，即由，得5分又20

35、11年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 第5頁（共8頁），從而有，即 10分（2）由，知是關(guān)于x的一元二次方程 = 1 * GB3 的兩個不相等的正整數(shù)根，從而，解得。又為正整數(shù)，故或 15分當(dāng)時，方程 = 1 * GB3 為，沒有整數(shù)解當(dāng)時，方程 = 1 * GB3 為，兩根為綜合知： 20分設(shè)圖象經(jīng)過三點的二次函數(shù)的解析式為，將點的坐標(biāo)代入得 ，解得所以，圖象經(jīng)過三點的二次函數(shù)的解析式為25分第二試 （B）一（本題滿分20分）題目和解答與（A）卷第一題相同. 二（本題滿分25分）如圖，在四邊形ABCD中，已知，對角線交于點，且求證：證明 由已知得 ，從而四點共圓，為直徑設(shè)為AC的

36、中點，則為四邊形ABCD的外接圓的圓心5分作于點，則M為BD的中點,所以，從而 10分作于點，則又， ， 15分 RtRt，又，所以，所以，所以2011年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 第6頁（共8頁）25分三（本題滿分25分）已知為正整數(shù)，設(shè)，O為坐標(biāo)原點若，且）求圖象經(jīng)過三點的二次函數(shù)的解析式解 因為，所以 ，即由，得5分又，從而有，即 10分又，故是關(guān)于x的一元二次方程 = 1 * GB3 的兩個不相等的正整數(shù)根，從而，解得。又為正整數(shù)，故或 15分當(dāng)時，方程 = 1 * GB3 為，沒有整數(shù)解當(dāng)時，方程 = 1 * GB3 為，兩根為綜合知： 20分設(shè)圖象經(jīng)過三點的二次函數(shù)

37、的解析式為，將點的坐標(biāo)代入得 ，解得所以，圖象經(jīng)過三點的二次函數(shù)的解析式為 25分第二試 （C）一（本題滿分20分）題目和解答與（A）卷第一題相同. 二（本題滿分25分）如圖，已知為銳角內(nèi)一點，過分別作的垂線，垂足分別為，為的平分線，的延長線交于點如果，求證：是的平分線2011年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 第7頁（共8頁）證明 如圖1，作于點，于點，于點，于點設(shè)， ， 5分若，如圖2，作，分別交于點，則， ， 若，則若，同理可證 15分， ， ， 20分又， 又因為是的平分線，所以， 顯然，即， ，是的平分線 25分三（本題滿分25分）題目和解答與（B）卷第三題相同.2011年

38、全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 第8頁（共8頁）2011年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽決賽試卷（4月10日 上午8：4511：15）考生注意：1本試卷共三大題（13個小題），全卷滿分140分2用圓珠筆、簽字筆或鋼筆作答3解題書寫不要超出裝訂線4不能使用計算器一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）1一個凸多邊形的每一個內(nèi)角都等于150，則這個凸多邊形所有對角線的條數(shù)總共有（ ）A42條 B54條 C66條 D78條2如圖，矩形ABCD的對角線相交于O，AE平分BAD交BC于E若CAE15，則BOE（ ）A30 B45 C60 D753設(shè)方程的兩根是c，d，則方程的根分別是（ ）Aa，b Ba，

39、b Cc，d Dc，d4若不等式有解，則實數(shù)a的最小值是（ ）A1 B2 C4 D65若一個三角形的任意兩條邊都不相等，則稱它為“不規(guī)則三角形”用一個正方體上的任意三個頂點構(gòu)成的所有三角形中，“不規(guī)則三角形”的個數(shù)是（ ）A18 B24 C30 D366不定方程的正整數(shù)解（x，y）的組數(shù)是（ ）A0組 B2組 C4組 D無窮多組二、填空題（本大題滿分28分，每小題7分）本題共有4小題，要求直接將答案寫在橫線上1二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，則y的最小值是_2已知，則的值為_3已知ABC中，AB，BC6，CA，點M是BC的中點，過點B作AM延長線的垂線，垂足為D，則線段BD的長度是_4一次棋

40、賽，有n個女選手和9n個男選手參賽，每位選手都與其余10n1個選手各對局一次計分方式為：勝者得2分，負(fù)者得0分，平局各得1分比賽結(jié)束后統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，所有男選手的得分總和是所有女選手得分總和的4倍則n的所有可能值是_三、解答題（本題共三小題，第1題20分，第2、3題各25分）1（本題滿分20分）已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根，使得成立求實數(shù)a的所有可能值2（本題滿分25分）拋物線的圖象與x軸有兩個交點M（x1，0），N（x2，0），且經(jīng)過點A（0，1），其中0 x1AC）的角平分線、高線，M是AD的中點MDH的外接圓交CM于E求證：AEB902011年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答

41、案說明：評閱試卷時，請依據(jù)本評分標(biāo)準(zhǔn)：選擇題和填空題只設(shè)7分和0分兩檔；其余各題,請嚴(yán)格按照本評分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的評分檔次給分,不要再增加其他中間檔次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步驟正確,在評卷時請參照本評分標(biāo)準(zhǔn)劃分的檔次,給予相應(yīng)的分?jǐn)?shù).一、選擇題(本題滿分42分，每小題7分)1、B 凸多邊形的每一個外角都等于30,則n=12,這個凸多邊形所有對角線的條數(shù)總共有2、D AB=AO=BO=BE3、A 故4、C 設(shè)，討論當(dāng)，得出當(dāng)x=3時y的最小值為4.5、B 如圖，當(dāng)選定一個面的一條對角線后，對應(yīng)了兩個“不規(guī)則三角形”，而每個面有2條，一共有8個面，故有228=246、A二、填空

42、題（本題滿分28分，每小題7分） 1、1 2、0 3、 4、1三、解答題（本題共三小題，第1題20分，第2、3題各25分）1、（本題滿分20分） 已知是關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根，使得成立。求實數(shù)的所有可能值。解：由條件知，解得或 （5分）又由根與系數(shù)的關(guān)系知， 于是， （10分）由，解得（舍去）或 （15分）于是綜上所述，所求的實數(shù) （ 20分 ）2、（本題滿分25分）拋物線的圖象與軸有兩個交點，且經(jīng)過點，其中過點的直線與軸交于點，與拋物線交于點（異于點），滿足是等腰直角三角形，且求該拋物線的解析式解：由條件知該拋物線開口向上，與的兩個交點在軸的右側(cè)由于是等腰直角三角形，故點在軸的左側(cè)，

43、且故，從而， （5分）于是直線的方程為：設(shè)，由知， （10分）從而，即 （15分）綜上可知，該拋物線通過點，于是， （20分）解得所以所求拋物線的解析式為 （25分）3、（本題滿分25分）如圖，、分別是（其中）的角平分線、高線，是的中點的外接圓交于求證：證明：如圖，連結(jié),是斜邊的中點 （5分）四點共圓 （10分）,即 （15分）,又, （20分）四點共圓，. （25分）2012年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)說明：評閱試卷時，請依據(jù)本評分標(biāo)準(zhǔn).第一試，選擇題和填空題只設(shè)7分和0分兩檔；第二試各題，請按照本評分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的評分檔次給分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步驟

44、正確，在評卷時請參照本評分標(biāo)準(zhǔn)劃分的檔次，給予相應(yīng)的分?jǐn)?shù).第一試一、選擇題：（本題滿分42分，每小題7分）1已知，那么的大小關(guān)系是 （ ）A. B. C. D.【答】C.因為，所以，故.又 ，而，所以，故.因此.2方程的整數(shù)解的組數(shù)為 （ ）A3. B4. C5. D6.【答】B.方程即，顯然必須是偶數(shù)，所以可設(shè)，則原方程變?yōu)?，它的整?shù)解為從而可求得原方程的整數(shù)解為，共4組.3已知正方形ABCD的邊長為1，E為BC邊的延長線上一點，CE1，連接AE，與CD交于點F，連接BF并延長與線段DE交于點G，則BG的長為 （ ）A B C D【答】D.過點C作CP/BG，交DE于點P.因為BCCE1，所

45、以CP是BEG的中位線，所以P為EG的中點.又因為ADCE1，AD/CE，所以ADFECF，所以CFDF，又CP/FG，所以FG是DCP的中位線，所以G為DP的中點.因此DGGPPEDE.連接BD，易知BDCEDC45，所以BDE90.又BD，所以BG.4已知實數(shù)滿足，則的最小值為 （ ）A. B0. C1. D.【答】B.因為，所以，從而，故，因此，即.因此的最小值為0，當(dāng)或時取得.5若方程的兩個不相等的實數(shù)根滿足，則實數(shù)的所有可能的值之和為 （ ）A0. B. C. D.【答】 B.由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得，所以，.又由得，所以，所以，所以.代入檢驗可知：均滿足題意，不滿足題意.

46、因此，實數(shù)的所有可能的值之和為.6由1，2，3，4這四個數(shù)字組成四位數(shù)（數(shù)字可重復(fù)使用），要求滿足.這樣的四位數(shù)共有 （ ）A36個. B40個. C44個. D48個.【答】C.根據(jù)使用的不同數(shù)字的個數(shù)分類考慮：（1）只用1個數(shù)字，組成的四位數(shù)可以是1111，2222，3333，4444，共有4個.（2）使用2個不同的數(shù)字，使用的數(shù)字有6種可能（1、2，1、3，1、4，2、3，2、4，3、4）.如果使用的數(shù)字是1、2，組成的四位數(shù)可以是1122，1221，2112，2211，共有4個；同樣地，如果使用的數(shù)字是另外5種情況，組成的四位數(shù)也各有4個.因此，這樣的四位數(shù)共有6424個.（3）使用3

47、個不同的數(shù)字，只能是1、2、2、3或2、3、3、4，組成的四位數(shù)可以是1232，2123，2321，3212，2343，3234，3432，4323，共有8個.（4）使用4個不同的數(shù)字1，2，3，4，組成的四位數(shù)可以是1243，1342，2134，2431，3124，3421，4213，4312，共有8個.因此，滿足要求的四位數(shù)共有4248844個.二、填空題：（本題滿分28分，每小題7分）1已知互不相等的實數(shù)滿足，則_【答】 .由得，代入得，整理得 又由可得，代入式得，即，又，所以，所以.驗證可知：時；時.因此，.2使得是完全平方數(shù)的整數(shù)的個數(shù)為 【答】 1設(shè)（其中為正整數(shù)），則，顯然為奇數(shù)

48、，設(shè)（其中是正整數(shù)），則，即.顯然，此時和互質(zhì)，所以或或解得.因此，滿足要求的整數(shù)只有1個.3在ABC中，已知ABAC，A40，P為AB上一點，ACP20，則 【答】 .設(shè)D為BC的中點，在ABC外作CAE20，則BAE60.作CEAE，PFAE，則易證ACEACD，所以CECDBC.又PFPABAEPA60AP，PFCE，所以APBC，因此.4已知實數(shù)滿足，則 【答】 . 因為，所以.同理可得，.結(jié)合可得，所以.結(jié)合，可得.因此，.實際上，滿足條件的可以分別為. 第二試 （A)一、（本題滿分20分）已知直角三角形的邊長均為整數(shù)，周長為30，求它的外接圓的面積.解 設(shè)直角三角形的三邊長分別為（

49、），則.顯然，三角形的外接圓的直徑即為斜邊長，下面先求的值.由及得，所以.由及得，所以.又因為為整數(shù)，所以. 5分根據(jù)勾股定理可得，把代入，化簡得，所以， 10分因為均為整數(shù)且，所以只可能是解得15分所以，直角三角形的斜邊長，三角形的外接圓的面積為. 20分二（本題滿分25分）如圖，PA為O的切線，PBC為O的割線，ADOP于點D.證明：.2012年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 第1頁（共4頁）證明：連接OA，OB，OC. OAAP，ADOP，由射影定理可得，. 5分2012年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 第4頁（共7頁）又由切割線定理可得，D、B、C、O四點共圓，10分PDBPCOOBCODC，PBDCOD，PBDCOD， 20分，. 25分三（本題滿分25分）已知拋物線的頂點為P，與軸的正半軸交于A、B（）兩點，與軸交于點C，PA是ABC的外接圓的切線.設(shè)M，若AM/BC，求拋物線的解析式.解 易求得點P，點C.設(shè)ABC的外接圓的圓心為D，則點P和點D都在線段AB的垂直平分線上，設(shè)