5數(shù)字信號處理課件

1、利用通用計算機實現(xiàn)的線性非移變系統(tǒng)的特定軟件，或特別的專用硬件芯片組成的線性非移變系統(tǒng)，都可以定義為數(shù)字濾波器。實現(xiàn)數(shù)字濾波器時，必須把輸入輸出關(guān)系轉(zhuǎn)變成計算機上可執(zhí)行的算法。算法實際是由一組基本運算單元組成的?；具\算單元有加法器、乘法器、延時器等。第5章 數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法對基本運算單元用框圖或信號流圖的方法表示，就可以把數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的運算結(jié)構(gòu)表示出來，可以一目了然的看到系統(tǒng)運算的步驟、加法、乘法的次數(shù)、存儲單元的多少。當(dāng)然相同的輸入輸出關(guān)系可以用若干不同的運算結(jié)構(gòu)實現(xiàn)。1、差分方程2、時域一般輸入x(n)與輸出y(n)可以有幾種表示方法：y(n)=Tx(n) h(n)=T(n)

2、式中H (z)是系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) ，且3、復(fù)頻域y(n)= Z-1Y(z )=Z-1X(z)H(z)頻域的離散傅里葉變換式中H(k)是系統(tǒng)的頻域采樣函數(shù) 。不同的算法就有不同的表示方法，但都要用到基本運算單元。y(n)=IDFTY(k)= IDFTX(k)H(k) 最常用描述離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)形式是給定系統(tǒng)函數(shù) H(z)例如以下系統(tǒng)函數(shù)函數(shù)表示，相應(yīng)有不同的運算結(jié)構(gòu)。 上面的H1(z)、H2(z)、H3(z)是同一系統(tǒng)不同的傳輸 不同的算法直接影響系統(tǒng)運算誤差、運算速度以及系統(tǒng)的復(fù)雜程度與成本等，因此有必要研究實現(xiàn)信號處理的算法。本章用系統(tǒng)結(jié)構(gòu)表示具體的算法，所以討論系統(tǒng)結(jié)構(gòu)實際討論的是運算算法。本

3、章除了討論數(shù)字濾波器的基本系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，還將討論系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析法。本書只討論離散系統(tǒng)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與信號流圖。首先介5.1離散系統(tǒng)的流圖表示與系統(tǒng)分類5.1.1用信號流圖表示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)信號流圖是用節(jié)點與有向支路描述連續(xù)或離散系統(tǒng)。紹與流圖的有關(guān)術(shù)語。對流圖中所有節(jié)點編號：1，2，；節(jié)點變量等于該節(jié)點節(jié)點是支路的匯合點，節(jié)點上的物理量稱為節(jié)點變量。節(jié)點所有輸入支路之和，節(jié)點變量表示為w1(n), w2(n),。支路、基本支路支路：起始于節(jié)點j而終止于節(jié)點k的一條有向通路，稱為支路 jk 。 基本支路：支路的增益是常數(shù)或z-1的是基本支路。輸入節(jié)點（源節(jié)點）輸出節(jié)點（阱節(jié)點）輸出y(n)的節(jié)點，是只有輸

4、入無輸出的節(jié)點，也稱為吸收節(jié)點。輸入x(n)的節(jié)點，是只有輸出無輸入的節(jié)點。所以本節(jié)介紹用信號流圖表示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的方法。離散時由流圖可以表示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，直觀的看到系統(tǒng)的運算。間系統(tǒng)的基本運算單元是延時器、加法器標(biāo)量乘法器。離散系統(tǒng)的基本運算單元框圖與流圖表示如圖5.1-1所示。1、基本運算單元加法器乘法器y(n)x1(n)x2(n)x(n)ax1(n)加法器y(n)x1(n)x2(n) ax(n)ax1(n) a延時器x(n)x(n-1) z-1x(n)x(n-1) z-1各種系統(tǒng)流圖雖然算法各異，但都要用到基本運算單元。首先給出基本信號流圖定義。2、基本信號流圖滿足以下條件的是基本信號流圖(1

5、)、信號流圖中所有支路的增益是常數(shù)或 z-1；(2)、流圖的環(huán)路中必須存在延遲支路；(3)、節(jié)點與支路的數(shù)目有限。由基本信號流圖，經(jīng)過一定的運算我們可以得到系統(tǒng)函數(shù)。滿足上述條件是基本流圖。圖5.1.2 (a)如圖5.1.2 (a)所示的信號流圖。z-1x(n)y(n)b0b1b2-a1-a2z-1w2w1的算法，所以它不是基本流圖。如圖5.1.2 (b)所示的信號流圖。圖5.1.2 （b）x(n)y(n)H1(z)H2(z)圖(b) 支路增益不是常數(shù)或z-1 ，不能得出一種具體 例5.1-1 求如圖5.1.2 (a)所示信號流圖的系統(tǒng)函數(shù) 解：由圖5.1-2 (a)可列出其節(jié)點方程對(5.1

6、-1)式取z變換，得(5.1-1) w1(n)=w2(n-1) 由W1(z)=W2(z)z-1以及W1(z)=W2(z)z-1得到X(z) = zW2(z) + a1 W2(z) + a2 W2(z)z-1zW2(z)=X(z) - a1 W2(z) - a2 W2(z)z-1當(dāng)流圖結(jié)構(gòu)復(fù)雜時，可以用梅森公式（參考有關(guān)教材）求系統(tǒng)函數(shù) 。Y(z) = b2 W2(z)z-1 + b1 W2(z) + b0 zW2(z) 應(yīng)系統(tǒng)，分別用英文縮寫IIR與FIR表示。 一般可以從 5.1.2、系統(tǒng)分類數(shù)字系統(tǒng)可以分為無限沖激響應(yīng)系統(tǒng)，與有限沖激響以下幾個方面區(qū)分這兩類系統(tǒng)。IIR系統(tǒng)函數(shù)為，系統(tǒng)只有

7、零點。 系統(tǒng)有極點；而FIR系統(tǒng)函數(shù)為IIR系統(tǒng)的差分方程為除了與當(dāng)前及以往的激勵有關(guān)，還與以前的輸出有關(guān)；FIR系統(tǒng)差分方程為只與當(dāng)前及以往的激勵有關(guān)，與過去的輸出無關(guān)。IIR系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)有無窮多項；而FIR系統(tǒng)對應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)只有有限項。IIR系統(tǒng)因為與過去的輸出有關(guān)，所以網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)有反饋支路也稱為遞歸結(jié)構(gòu)；而FIR系統(tǒng)只與激勵有關(guān)，因此沒有反饋支路，也稱為非遞歸結(jié)構(gòu)。例5.1-2 已知某離散系統(tǒng)的差分方程式y(tǒng)(n)= ay(n-1) +x(n) ，判斷是IIR系統(tǒng)還是FIR系統(tǒng)。解 系統(tǒng)響應(yīng)y(n)除了與當(dāng)前激勵x(n)有關(guān)，還與以前的輸出 y(n-1) 有關(guān)。其單

8、位脈沖響應(yīng)h(n)=anu(n) 有無窮多項。有一個z =a 的極點，是IIR系統(tǒng)。系統(tǒng)函數(shù)為下面分別討論兩類系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。5.2 IIR系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的差分方程 一個線性非移變系統(tǒng)可以有多種網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。不同的網(wǎng)絡(luò)5.2.1、IIR系統(tǒng)的直接形式1、實現(xiàn)方法結(jié)構(gòu)使系統(tǒng)實現(xiàn)的成本、運算速度、穩(wěn)定性等不同。系統(tǒng)傳遞函數(shù) 式中 (5.2-1)先實現(xiàn)零點，再實現(xiàn)極點。 先實現(xiàn)極點，再實現(xiàn)零點。 (5.2-2)x(n)y(n)b0y2 (n)z-1b1b2aN-1z-1z-1z-1z-1z-1a1a2aNbM-1bM先實現(xiàn)零點，再實現(xiàn)極點。 x(n)y(n)y2 (n) H1(z) H2(z)x(n

9、)y(n)b0y2 (n)z-1aN-1z-1z-1a1a2aNb1b2z-1z-1z-1bM-1bM先實現(xiàn)極點，再實現(xiàn)零點。 兩個支路的輸入相同，可合并為直接型。 x(n)y(n)y2 (n) H1(z) H2(z)x(n)y(n)b0aN-1a1a2aNb1b2z-1z-1z-1bM-1bMM=N 直接型最少延遲網(wǎng)絡(luò)，也稱典范形式，正準(zhǔn)型。圖5.2-3還有不同的最小延遲網(wǎng)絡(luò)M=N 與圖5.2-3不同的最小延遲網(wǎng)絡(luò) 2、最小延遲網(wǎng)絡(luò)特點(2) 受有限字長影響大。(1) 具有最小延遲數(shù)（需要）；(3) 系統(tǒng)調(diào)整不方便。例5.2-1：已知數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)畫出該濾波器的直接型結(jié)構(gòu)。解：直接型結(jié)

10、構(gòu)如圖5.2-4所示。x(n)y(n)z-1z-1z-15/4-3/41/8-411-285.2. 2、IIR系統(tǒng)的級聯(lián)形式1、實現(xiàn)方法IIR系統(tǒng)的級聯(lián)形式實現(xiàn)方法是將H (z)分解為零、極點形式ck是零點；dk是極點。 二階節(jié)。這樣把每對共軛因子合并，可構(gòu)成一個實系數(shù)的二階節(jié)。實系數(shù)單根也可以看成是復(fù)數(shù)的特例，也兩兩合并為系統(tǒng)的零、極點有可能是復(fù)數(shù)，由于ak、bk均是實數(shù)，所以如果H(z)有復(fù)數(shù)的零、極點，一定是共軛成對的。表示對取整數(shù)(5.2-3)級聯(lián)的一般形式(5.2-3)式中每個二階節(jié)都用前面的最少延遲結(jié)構(gòu)實現(xiàn)，得到具有最少延遲的級聯(lián)結(jié)構(gòu)，如圖5.2-5所示。圖5.2-511211k2

11、k11211k 2kx(n)y(n)z-1z-1z-1z-1例：已知系統(tǒng)傳遞函數(shù) 畫出系統(tǒng)的級聯(lián)結(jié)構(gòu)。 解x(n)y(n)z-1z-1z-1z-11.2-0.8-1.4-0.80.5-0.93或系統(tǒng)的另一種級聯(lián)結(jié)構(gòu)如圖5.2-7所示。x(n)y(n)z-1z-1z-1z-11.2-0.8-1.4-0.80.5-0.93例5.2-3 已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)解：畫出系統(tǒng)的級聯(lián)結(jié)構(gòu)。 級聯(lián)結(jié)構(gòu)如圖5.2-8所示。圖5.2-8 例5.2-3級聯(lián)結(jié)構(gòu)x(n)y(n)z-1z-1z-11.136-0.310.25-0.19-0.581 可用不同的搭配關(guān)系，基本節(jié)順序還可以改變經(jīng)過優(yōu)選可選出有限字長影響小的結(jié)構(gòu)。

12、2、改變第k節(jié)系數(shù)可以調(diào)整第k對的零、極點，系統(tǒng)特點調(diào)整方便。單極點M N時沒有5.2.3、IIR系統(tǒng)的并聯(lián)形式1、實現(xiàn)方法與級聯(lián)情況相同，把每對共軛因子合并，可構(gòu)成一個實系數(shù)的二階節(jié)。實系數(shù)單根是復(fù)數(shù)的特例，也兩兩合并為基本二階節(jié)。這樣IIR系統(tǒng)的并聯(lián)形式實現(xiàn)對應(yīng)的是H (z)部分分式形式，即M = N時的結(jié)構(gòu)如圖5.2-9所示C0 x(n)y(n)z-1z-1z-1z-111211k2k11010k1k 例5.2-4 已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)解：畫出系統(tǒng)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)。系統(tǒng)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)如圖5.2-10所示。x(n)y(n)z-1z-1z-1160.25-0.520-1682 每節(jié)的字長效應(yīng)不會互相影響，

13、有限字長影響小。（零點不可調(diào)）。1、調(diào)整比較方便，可以單獨調(diào)整第k節(jié)的極點。特點轉(zhuǎn)置形式置定理得到新的流圖，即新的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。轉(zhuǎn)置定理：對單輸入輸出的流圖，所有有向支路變向，輸入輸出位置互換，所得到的新的流圖與原流圖完全等效。因此，以上所有的直接、級聯(lián)、并聯(lián)形式都可以由轉(zhuǎn)圖的轉(zhuǎn)置形式：-0.90.5-0.81.2-0.83-1.4例題第二種形式的轉(zhuǎn)置形式： 5.2.4、全通系統(tǒng)系統(tǒng)的頻響函數(shù)為上式中k 通常取1，表明通過全通系統(tǒng)后，不會改變信號幅度譜相對關(guān)系，改變的僅是信號的相位譜。定義幅頻特性為常數(shù) k 的系統(tǒng)為全通系統(tǒng)，即全通(5.2-5)H(ej) =k e j() 全通系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)一般

14、形式為（5.2-6）式(5.2-6)中a0=1，a1, a2, aN為實數(shù)。 還可以表示為二階節(jié)級聯(lián)形式：(5.2-7)由式(5.2-6)可見全通系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)的分子、分母多項式系數(shù)相同，排列次序相反。這樣的系統(tǒng)函數(shù)其幅頻特性必為1，因為式中 ，因為ak均為實數(shù)，所以 全通系統(tǒng)的零、極點互為倒易關(guān)系，即若即若zk是H (z)（5.2-8）當(dāng) H (z)分子、分母多項式系數(shù)均為實數(shù)時， H (z)若有復(fù)數(shù)零、極點一定是共軛成對的，使得復(fù)數(shù)零、極點必為四個一組出現(xiàn)。的實零點，則1/zk必為H (z)的實極點pk，滿足如下關(guān)系zk pk =1全通系統(tǒng)零、極點分布示意圖如圖5.2-11所示。 圖5.2-

15、11zk pk RezjImzooo式中N為全通系統(tǒng)的階，當(dāng)N為奇數(shù)時，至少有一對全通系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)另一種常用表示形式為 （5.2-9）實數(shù)零、極點。N階全通系統(tǒng)的相位函數(shù)為（5.2-10）() =N 利用相位函數(shù)的變化，全通系統(tǒng)可作相位校正或相位均衡。例如一個衰減特性良好，相位特性較差的IIR濾波器可以與全通系統(tǒng)級聯(lián)，使得所實現(xiàn)的系統(tǒng)幅度與相位均滿足設(shè)計要求。全通系統(tǒng)可與其它系統(tǒng)組合實現(xiàn)不同功能的系統(tǒng)，例如帶阻系統(tǒng)就可由全通系統(tǒng)與帶通系統(tǒng)組合。在IIR系統(tǒng)設(shè)計的原型變換中，也要用到全通系統(tǒng)。所有極點在單位圓內(nèi)的因果穩(wěn)定系統(tǒng)，若所有零點也在5. 2. 5、最小相位系統(tǒng)單位圓內(nèi)則稱之為最小相位系

16、統(tǒng)，記為Hmin(z) ；而所有零點在單位圓外的則為最大相位系統(tǒng)，記為Hmax(z) 零點在單位圓內(nèi)、外的則為“混合相位”系統(tǒng)。 一個非最小相位系統(tǒng)可由一個最小相位系統(tǒng)與一個全通系統(tǒng)級聯(lián)組合，即 （5.2-11）的零、極點分布。最小相位系統(tǒng)與全通系統(tǒng)組成的非最小相位系統(tǒng)的零、極點分布示意圖如圖5.2-12所示。圖a是非最小相位系統(tǒng)的零、極點圖，圖b是最小相位系統(tǒng)，圖c全通系統(tǒng)H(z)= Hmin(z) Hap(z) 式中Hap(z)為全通系統(tǒng)函數(shù)。a非最小相位系統(tǒng)的零、極點圖C 全通系統(tǒng)的零、極點圖圖5.2-12非最小相位系統(tǒng)、最小相位系統(tǒng)、全通系統(tǒng)的零、極點分布b最小相位系統(tǒng)的零、極點圖jI

17、mzRezjImzRezjImzRezoooH(z)為只有一個零點（多個零點類推）在單位圓外的證明乘，即（5.2-12）可表示為一個最小相位系統(tǒng)H1min (z)與該零點因子相非最小相位系統(tǒng)，設(shè)該零點為1/z0 ， |z0 | 1 ， H (z)H (z)= H1min (z) (z-1-z0 )亦為最小相位系統(tǒng)，由式（5.2-9）可知非最小相位系統(tǒng)的模頻特性與最小相位系統(tǒng)的模頻特是全通系統(tǒng)，所以H(z)= Hmin(z) Hap(z) 。不難得到（5.2-13）性相等，即|H (ej)| =|Hmin (ej)| 因為H1min(z)是最小相位系統(tǒng)，故濾波器最優(yōu)化設(shè)計中，如果將非最小相位系統(tǒng)所有單位同的最小相位系統(tǒng)。類似的，若將系統(tǒng)所有單位圓外又不會改變系統(tǒng)幅頻特性的相對關(guān)系。式（5.2-13）的結(jié)論在實際應(yīng)用中非常有用。在后續(xù)的代替時，可以得到幅頻特性相代替時，可以確保系統(tǒng)穩(wěn)定，而圓外的零點 zk 用的極點 zk 用特性相同的所有因果穩(wěn)定系統(tǒng)，最小相位系統(tǒng)的響應(yīng)因為利用上述相關(guān)關(guān)系及z變換的初值定理可以證明，幅頻延遲與能量延遲最小。由初值定理 H(z)= Hmin(z) Hap(z) 由于因果穩(wěn)定系統(tǒng)的|zk|1 ，所以（5.2-14）式(5.2-14)表明，幅頻特性相同的所有因果穩(wěn)定系統(tǒng)，最小相位系統(tǒng)對單位脈沖 (n)的響應(yīng)延遲最小。 |h(0)| |hmi