第2章導熱理論基礎以及穩(wěn)態(tài)導熱

1、第2章導熱理論基礎以及穩(wěn)態(tài)導熱第2章 導熱基本定律及穩(wěn)態(tài)導熱2-1 導熱基本定律傅里葉定律2-2 導熱問題的數(shù)學描寫2-3 典型一維穩(wěn)態(tài)導熱問題的分析解2-4 通過肋片的導熱1 、重點內(nèi)容： 傅立葉定律及其應用； 導熱系數(shù)及其影響因素； 導熱問題的數(shù)學模型。2 、掌握內(nèi)容：一維穩(wěn)態(tài)導熱問題的分析解法3 、了解內(nèi)容：一維有內(nèi)熱源的導熱問題 氣體：導熱是氣體分子不規(guī)則熱運動時相互碰撞的結(jié)果，溫度升高，動能增大，不同能量水平的分子相互碰撞，使熱能從高溫傳到低溫處2.1 導熱基本定律傅里葉定律2.1.1 導熱機理導電固體：其中有許多自由電子，它們在晶格之間像氣體分子那樣運動。自由電子的運動在導電固體的

2、導熱中起主導作用。 非導電固體：導熱是通過晶格結(jié)構的振動所產(chǎn)生的彈性波來實現(xiàn)的，即原子、分子在其平衡位置附近的振動來實現(xiàn)的。液體的導熱機理：存在兩種不同的觀點第一種觀點類似于氣體，只是復雜些，因液體分子的間距較近，分子間的作用力對碰撞的影響比氣體大；第二種觀點類似于非導電固體，主要依靠彈性波（晶格的振動，原子、分子在其平衡位置附近的振動產(chǎn)生的）的作用。 說明：只研究導熱現(xiàn)象的宏觀規(guī)律。 1 、概念 溫度場是指在各個時刻物體內(nèi)各點溫度分布的總稱。 一般地講，物體的溫度分布是坐標和時間的函數(shù)： 其中 為空間坐標， 為時間坐標。 、溫度場 （Temperature field）2、溫度場分類 1）按

3、照時間坐標分類穩(wěn)態(tài)溫度場（定常溫度場） （Steady-state conduction） 是指在穩(wěn)態(tài)條件下物體各點的溫度分布不隨時間的改變而變化的溫度場稱穩(wěn)態(tài)溫度場，其表達式：非穩(wěn)態(tài)溫度場（非定常溫度場） （Transient conduction） 是指在變動工作條件下，物體中各點的溫度分布隨時間而變化的溫度場稱非穩(wěn)態(tài)溫度場，其表達式：2）按照空間坐標分類 一維溫度場若物體溫度僅一個方向有變化，這種情況下的溫度場稱一維溫度場。 二維溫度場 三維溫度場根據(jù)溫度場表達式，可分析出導熱過程是幾維、穩(wěn)態(tài)或非穩(wěn)態(tài)的現(xiàn)象，溫度場是幾維的、穩(wěn)態(tài)的或非穩(wěn)態(tài)的。二維，穩(wěn)態(tài)一維，非穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài)溫度場 穩(wěn)態(tài)導熱（S

4、teady-state conduction）非穩(wěn)態(tài)溫度場 非穩(wěn)態(tài)導熱（Transient conduction）三維穩(wěn)態(tài)溫度場： 一維穩(wěn)態(tài)溫度場: 3、等溫面與等溫線等溫線（isotherms） 用一個平面與各等溫面相交，在這個平面上得到一個等溫線簇等溫面（isothermal surface） 同一時刻、溫度場中所有溫度相同的點連接起來所構成的面物體的溫度場通常用等溫面或等溫線表示等溫面與等溫線的特點：溫度不同的等溫面或等溫線彼此不能相交在連續(xù)的溫度場中，等溫面或等溫線不會中斷，它們或者是物體中完全封閉的曲面（曲線），或者就終止與物體的邊界上沿等溫面（線）無熱量傳遞 等溫線圖的物理意義：

5、若每條等溫線間的溫度間隔相等時，等溫線的疏密可反映出不同區(qū)域?qū)釤崃髅芏鹊拇笮?。tt-tt+t2.1.3 導熱基本定律在導熱現(xiàn)象中，單位時間內(nèi)通過給定截面所傳遞的熱量，正比例于垂直于該截面方向上的溫度變化率，而熱量傳遞的方向與溫度升高的方向相反，即 數(shù)學表達式： （負號表示熱量傳遞方向與溫度升高方向相反） 用熱流密度表示： 其中 熱流密度(單位時間內(nèi)通過單位面積的熱流量) 物體溫度沿 x 軸方向的變化率 當物體的溫度是三個坐標的函數(shù)時，其形式為:是空間某點的溫度梯度； 是通過該點等溫線上的法向單位矢量，指向溫度升高的方向； 是該處的熱流密度矢量。 t1 t2 0 x n dt dn t t+d

6、t t1 t2 0 x n dt dn t t+dt負號是因為熱流密度與溫度梯度的方向不一致而加上 傅里葉定律可表述為:系統(tǒng)中任一點的熱流密度與該點的溫度梯度成正比而方向相反 注：傅里葉定律只適用于各向同性材料各向同性材料：熱導率在各個方向是相同的傅立葉定律的一般形式的數(shù)學表達式 溫度梯度和熱流密度的方向都是在等溫面的法線方向。由于熱流是從高溫處流向低溫處，因而溫度梯度和熱流密度的方向正好相反。 t+ttt-t、導熱系數(shù)1、定義傅利葉定律給出了導熱系數(shù)的定義 :w/m 導熱系數(shù)在數(shù)值上等于單位溫度梯度作用下單位時間內(nèi)單位面積的熱量。導熱系數(shù)是物性參數(shù)，它與物質(zhì)結(jié)構和狀態(tài)密切相關，例如物質(zhì)的種類

7、、材料成分、溫度、 濕度、壓力、密度等，與物質(zhì)幾何形狀無關。它反映了物質(zhì)微觀粒子傳遞熱量的特性。 不同物質(zhì)的導熱性能不同：0C時：同一種物質(zhì)的導熱系數(shù)也會因其狀態(tài)參數(shù)的不同而改變，因而導熱系數(shù)是物質(zhì)溫度和壓力的函數(shù)。 一般把導熱系數(shù)僅僅視為溫度的函數(shù)，而且在一定溫度范圍還可以用一種線性關系來描述 273K時物質(zhì)的導熱系數(shù)導熱系數(shù)的確定工程計算采用的各種物質(zhì)的導熱系數(shù)的數(shù)值都是用專門實驗測定出來的。測量方法包括穩(wěn)態(tài)測量方法和非穩(wěn)態(tài)測量方法。物質(zhì)的導熱系數(shù)值可以查閱相關文獻。2 、保溫材料（隔熱、絕熱材料） 把導熱系數(shù)小的材料稱保溫材料。我國規(guī)定：t350時， 保溫材料導熱系數(shù)界定值的大小反映了一

8、個國家保溫材料的生產(chǎn)及節(jié)能的水平。越小，生產(chǎn)及節(jié)能的水平越高。 我國50年代 80年代 90年代 保溫材料熱量轉(zhuǎn)移機理 ( 高效保溫材料 ) 高溫時：（ 1 ）蜂窩固體結(jié)構的導熱 （ 2 ）穿過微小氣孔的導熱 更高溫度時：（ 1 ）蜂窩固體結(jié)構的導熱 （ 2 ）穿過微小氣孔的導熱和輻射 超級保溫材料 采取的方法：（ 1 ）夾層中抽真空（減少通過導熱而造成熱損失） （ 2 ）采用多層間隔結(jié)構（ 1cm 達十幾層） 特點：間隔材料的反射率很高，減少輻射換熱，垂直于隔熱板上的導熱系數(shù)可達： 10-4w/mk 各向異性材料 指有些材料（木材，石墨）各向結(jié)構不同，各方向上的導熱系數(shù)也有較大差別，這些材料

9、稱各向異性材料。此類材料 必須注明方向。相反，稱各向同性材料。2.2 導熱問題的數(shù)學描寫2.2.1 導熱微分方程的推導傅里葉定律： 建立導熱微分方程，可以揭示連續(xù)溫度場隨空間坐標和時間變化的內(nèi)在聯(lián)系。 理論基礎：傅里葉定律 + 能量守恒定律 定義：根據(jù)能量守恒定律與傅立葉定律，建立導熱物體中的溫度場應滿足的數(shù)學表達式，稱為導熱微分方程。假設：(1) 所研究的物體是各向同性的連續(xù)介質(zhì)(2) 熱導率、比熱容和密度均為已知(3)體內(nèi)具有均勻分布內(nèi)熱源；強度 W/m3; ：單位體積的導熱體在單位時間內(nèi)放出的熱量根據(jù)能量守恒定律，在d時間內(nèi)導入與導出微元體的凈熱量微元體內(nèi)熱源的發(fā)熱量微元體熱力學的增加

10、、導入與導出微元體的凈熱量 d 時間內(nèi)、沿 x 軸方向、經(jīng) x 表面導入的熱量： d 時間內(nèi)、沿 x 軸方向、經(jīng) x+dx 表面導出的熱量： d 時間內(nèi)、沿 x 軸方向、經(jīng) x 表面導入的熱量：泰勒展開d 時間內(nèi)、沿 x 軸方向?qū)肱c導出微元體凈熱量d 時間內(nèi)、沿 y 軸方向?qū)肱c導出微元體凈熱量d 時間內(nèi)、沿 z 軸方向?qū)肱c導出微元體凈熱量同理導入與導出凈熱量:傅里葉定律：2、 d時間微元體內(nèi)熱源的發(fā)熱量3、微元體在d時間內(nèi)焓的增加量 將以上各式代入熱平衡關系式，并整理得： 這是笛卡爾坐標系中三維非穩(wěn)態(tài)導熱微分方程的一般表達式。 其物理意義：反映了物體的溫度隨時間和空間的變化關系。 非穩(wěn)態(tài)

11、項源項擴散項上式化簡： 導熱系數(shù)為常數(shù) 式中， ，稱為熱擴散率。導熱系數(shù)為常數(shù) 、無內(nèi)熱源 導熱系數(shù)為常數(shù) 、穩(wěn)態(tài) 導熱系數(shù)為常數(shù) 、穩(wěn)態(tài) 、無內(nèi)熱源 綜上說明： （ 1 ）導熱問題仍然服從能量守恒定律； （ 2 ）等號左邊是單位時間內(nèi)微元體熱力學能的增量（非穩(wěn)態(tài)項）； （ 3 ）等號右邊前三項之和是通過界面的導熱使微分元體在單位時間內(nèi)增加的能量 ( 擴散項 ) ； （ 4 ）等號右邊最后項是源項；（ 5 ）若某坐標方向上溫度不變，該方向的凈導熱量為零，則相應的擴散項即從導熱微分方程中消失。 三、其他坐標下的導熱微分方程對于圓柱坐標系 對于球坐標系 2.2.2 定解條件導熱微分方程式的理論基礎

12、：傅里葉定律+能量守恒。它描寫物體的溫度隨時間和空間變化的關系；沒有涉及具體、特定的導熱過程。通用表達式。定解條件：確定唯一解的附加補充說明條件，包括四項：幾何、物理、初始、邊界完整數(shù)學描述：導熱微分方程 + 定解條件1、幾何條件：說明導熱體的幾何形狀和大小，如：平壁或圓筒壁；厚度、直徑等2、物理條件：說明導熱體的物理特征如：物性參數(shù) 、c 和 的數(shù)值，是否隨溫度變化；有無內(nèi)熱源、大小和分布；3、初始條件：又稱時間條件，反映導熱系統(tǒng)的初始狀態(tài) 、邊界條件:反映導熱系統(tǒng)在界面上的特征，也可理解為系統(tǒng)與外界環(huán)境之間的關系。 說明： 非穩(wěn)態(tài)導熱定解條件有兩個初始條件；邊界條件穩(wěn)態(tài)導熱定解條件只有邊界

13、條件，無初始條件。邊界條件常見的有三類 （）第一類邊界條件:該條件是給定系統(tǒng)邊界上的溫度分布，它可以是時間和空間的函數(shù)，也可以為給定不變的常數(shù)值。 t=f(y,z,) 0 x1 x （2）第二類邊界條件:該條件是給定系統(tǒng)邊界上的溫度梯度，即相當于給定邊界上的熱流密度，它可以是時間和空間的函數(shù)，也可以為給定不變的常數(shù)值0 x1 x （3）第三類邊界條件:該條件是第一類和第二類邊界條件的線性組合，常為給定系統(tǒng)邊界面與流體間的換熱系數(shù)和流體的溫度，這兩個量可以是時間和空間的函數(shù)，也可以為給定不變的常數(shù)值 0 x1 x 輻射邊界條件導熱物體表面與溫度為Te的外界環(huán)境只發(fā)生輻射換熱導熱微分方程定解條件求

14、解方法 溫度場界面連續(xù)條件不均勻材料中的導熱，常采用分區(qū)計算的方法。由熱擴散率的定義可知： 1 ） 分子是物體的導熱系數(shù)，其數(shù)值越大，在相同溫度梯度下，可以傳導更多的熱量。 2 ）分母是單位體積的物體溫度升高 1 所需的熱量。其數(shù)值越小，溫度升高1所吸收的熱量越少，可以剩下更多的熱量向物體內(nèi)部傳遞，使物體內(nèi)溫度更快的隨界面溫度升高而升高。a 反映了導熱過程中材料的導熱能力（ ）與沿途物質(zhì)儲熱能力（ c ）之間的關系.2.2.3 熱擴散率的物理意義由此可見物理意義： 值大，即 值大或 c 值小，說明物體的某一部分一旦獲得熱量，該熱量能在整個物體中很快擴散，其內(nèi)部各點溫度扯平的能力越大。 越大，表

15、示物體中溫度變化傳播的越快。所以，也是材料傳播溫度變化能力大小的指標，亦稱導溫系數(shù)。熱擴散率表征物體被加熱或冷卻時，物體內(nèi)各部分溫度趨向于均勻一致的能力，所以反映導熱過程動態(tài)特性，研究不穩(wěn)態(tài)導熱重要物理量。 2.2.4 導熱微分方程的適用范圍 適用于 q 不很高，而作用時間長，同時傅立葉定律也適用該條件。 1 ）若屬極底溫度（ -273 ）時的導熱不適用。2 ）若時間極短，而且熱流密度極大時，則不適用。3 ）過程發(fā)生的空間尺度與微觀粒子的平均自由行程相接近時，不適用。 導熱理論分析方法的基本思路 導熱理論的任務就是要找出任何時刻物體中各處的溫度，進而確定熱量傳遞規(guī)律。 、簡化分析導熱現(xiàn)象。根據(jù)

16、幾何條件、物理條件簡化導熱微分方程式。 、確定初始條件及各物體各邊界處的邊界條件。每一維導熱至少有兩個邊界條件。 、分析求解，得出導熱物體的溫度場。 、利用傅立葉定律和已有的溫度場最終確定熱流量或熱流密度。2.3 典型一維穩(wěn)態(tài)導熱問題的分析解本節(jié)將針對一維、穩(wěn)態(tài)、常物性、無內(nèi)熱源情況，考察平板和圓柱內(nèi)的導熱。直角坐標系：、通過平壁的導熱 平壁的長度和寬度都遠大于其厚度，因而平板兩側(cè)保持均勻邊界條件的穩(wěn)態(tài)導熱就可以歸納為一維穩(wěn)態(tài)導熱問題。 平板可分為單層壁，多層壁和復合壁等類型 。 a.單層壁導熱 b.多層壁導熱 c. 復合壁導熱1 單層平壁的導熱a 幾何條件：單層平板； b 物理條件：、c、

17、已知；無內(nèi)熱源 c 時間條件： d 邊界條件：第一類ot1tt2xot1tt2根據(jù)上面的條件可得：第一類邊界條件：控制方程邊界條件直接積分，得：帶入邊界條件：完整的數(shù)學描寫帶入Fourier 定律熱阻分析法適用于一維、穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源的情況線性分布2 、熱阻的含義 熱量傳遞是自然界的一種轉(zhuǎn)換過程,與自然界的其他轉(zhuǎn)換過程類同,如:電量的轉(zhuǎn)換,動量、質(zhì)量等的轉(zhuǎn)換。 其共同規(guī)律可表示為 :過程中的轉(zhuǎn)換量 = 過程中的動力 / 過程中的阻力。在電學中，這種規(guī)律性就是歐姆定律，即平板導熱中，與之相對應的表達式可改寫為這種形式有助于更清楚地理解式中各項的物理意義。式中：熱流量為導熱過程的轉(zhuǎn)移量； 溫壓 為轉(zhuǎn)

18、移過程的動力； 分母 為轉(zhuǎn)移過程的阻力。 由此引出熱阻的概念： 1 ）熱阻定義：熱轉(zhuǎn)移過程的阻力稱為熱阻。 2 ）熱阻分類：不同的熱量轉(zhuǎn)移有不同的熱阻，其分類較多，如：導熱阻、輻射熱阻、對流熱阻等。對平板導熱而言又分： 面積熱阻RA ：單位面積的導熱熱阻稱面積熱阻。 熱阻R：整個平板導熱熱阻稱熱阻。 3 ）熱阻的特點： 串聯(lián)熱阻疊加原則：在一個串聯(lián)的熱量傳遞過程中，若通過各串聯(lián)環(huán)節(jié)的熱流量相同，則串聯(lián)過程的總熱阻等于各串聯(lián)環(huán)節(jié)的分熱阻之和。 2、通過多層平壁的導熱 多層平壁：由幾層不同材料組成例：房屋的墻壁 白灰內(nèi)層、水泥沙漿層、紅磚（青磚）主體層等組成假設各層之間接觸良好，可以近似地認為接合

19、面上各處的溫度相等t2t3t4t1 qt2t3t4t1 q由和分比關系 t1 r1 t2 r2 t3 r3 t4推廣到n層壁的情況: 層間分界面溫度 t2t3t4t1 q導熱系數(shù)與溫度有依變關系時當導熱系數(shù)是溫度的線性函數(shù)時，只要取計算區(qū)域的平均溫度下的導熱系數(shù)值帶入按等于常數(shù)時的計算公式，即可獲得正確結(jié)果?！纠坑幸淮u砌墻壁，厚為。已知內(nèi)外壁面的溫度分別為25和30。試計算墻壁內(nèi)的溫度分布和通過的熱流密度。解：由平壁導熱的溫度分布 代入已知數(shù)據(jù)可以得出墻壁內(nèi)t=25+20 x的溫度分布表達式。 從附錄查得紅磚的=0.87W/(m),于是可以計算出通過墻壁的熱流密度 【例】由三層材料組成的加熱

20、爐爐墻。第一層為耐火磚。第二層為硅藻土絕熱層，第三層為紅磚，各層的厚度及導熱系數(shù)分別為1240mm ，1=1.04W/(m)， 250mm, 2=0.15W/(m)，3115mm, 3=0.63W/(m)。爐墻內(nèi)側(cè)耐火磚的表面溫度為1000。爐墻外側(cè)紅磚的表面溫度為60。試計算硅藻土層的平均溫度及通過爐墻的導熱熱流密度。解： 已知 10.24m, 1=1.04W/(m) 20.05m, 2=0.15W/(m) 30.115m, 3=0.63W/(m) t1=1000 t2=60 t2t3t4t1 qt1 r1 t2 r2 t3 r3 t4硅藻土層的平均溫度為 穩(wěn)態(tài)導熱 圓筒壁就是圓管的壁面。當

21、管子的壁面相對于管長而言非常小，且管子的內(nèi)外壁面又保持均勻的溫度時，通過管壁的導熱就是圓柱坐標系上的一維導熱問題。 二、 通過圓筒壁的導熱1、通過單層圓筒壁的導熱柱坐標一維、穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、常物性：第一類邊界條件：(a) t1 r1 t2 r r2對上述方程(a)積分兩次:第一次積分第二次積分應用邊界條件獲得兩個系數(shù) t1 r1 t2 r r2將系數(shù)帶入第二次積分結(jié)果顯然，溫度呈對數(shù)曲線分布下面來看一下圓筒壁內(nèi)部的熱流密度和熱流分布情況雖然是穩(wěn)態(tài)情況，但熱流密度 q 與半徑 r 成反比！求導根據(jù)熱阻的定義，通過整個圓筒壁的導熱熱阻為：單位長度圓筒壁的熱流量：2、通過多層圓筒壁的導熱 由不同材料

22、構成的多層圓筒壁帶有保溫層的熱力管道、嵌套的金屬管道和結(jié)垢、積灰的輸送管道等 由不同材料制作的圓筒同心緊密結(jié)合而構成多層圓筒壁 ，如果管子的壁厚遠小于管子的長度，且管壁內(nèi)外邊界條件均勻一致，那么在管子的徑向方向構成一維穩(wěn)態(tài)導熱問題。 【例】某管道外經(jīng)為2r，外壁溫度為t1，如外包兩層厚度均為r（即23r）、導熱系數(shù)分別為2和3（ 2 / 3=2）的保溫材料，外層外表面溫度為t2。如將兩層保溫材料的位置對調(diào)，其他條件不變，保溫情況變化如何？由此能得出什么結(jié)論？解： 設兩層保溫層直徑分別為d2、d3和d4，則d3/d2=2，d4/d3=3/2。導熱系數(shù)大的在里面： 導熱系數(shù)大的在外面： 兩種情況散

23、熱量之比為： 結(jié)論：導熱系數(shù)大的材料在外面，導熱系數(shù)小的材料放在里層對保溫更有利。 對于內(nèi)、外表面維持均勻衡定溫度的空心球壁的導熱，在球坐標系中也是一個一維導熱問題。相應計算公式為：溫度分布：熱流量：熱阻：三、通過球殼的導熱由前可知：導熱分析的首要任務就是確定物體內(nèi)部的溫度場。根據(jù)能量守恒定律與傅立葉定律，建立了導熱物體中的溫度場應滿足的數(shù)學表達式，稱為導熱微分方程。非穩(wěn)態(tài)項源項擴散項2-4 通過肋片的導熱 基本概念 1 、肋片：指依附于基礎表面上的擴展表面。工程上和自然界常見到一些帶有突出表面的物體。其作用是增大對流換熱面積，以強化換熱。、肋片的作用肋高H肋寬l肋厚截面積Ac肋基肋端肋片的基

24、本尺寸和術語l3 、常見肋片的結(jié)構：直肋 環(huán)肋針肋 直肋環(huán)肋針肋2.4.1 通過等截面直肋的導熱已知：矩形直肋，Ac均保持不變肋基溫度為t0，且t0 肋片與環(huán)境的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為常量h.導熱系數(shù)，保持不變求：溫度場 t 和散熱量0 xdxxx+dxc分析：肋寬方向：肋片寬度遠大于肋片的厚度，不考慮溫度沿該方向的變化； 于是我們可以把通過肋片的導熱問題視為沿肋片方向上的一維導熱問題。 肋厚（）方向：沿肋厚方向的導熱熱阻一般遠小于它與環(huán)境的換熱熱阻。把沿方向的散熱視為負的內(nèi)熱源。0 xdxxx+dxc1/h/1/h假設1 ）導熱系數(shù) 及表面?zhèn)鳠嵯禂?shù) h 均為常數(shù)； 2 ）肋片寬度遠大于肋片的厚度，不

25、考慮溫度沿該方向的變化；3 ）表面上的換熱熱阻 1/h ，遠大于肋片的導熱熱阻 / ，即肋片上沿肋厚方向上的溫度均勻不變； 在上述假設條件下，把復雜的肋片導熱問題轉(zhuǎn)化為一維穩(wěn)態(tài)導熱,并將沿程散熱量q視為負的內(nèi)熱源，則導熱微分方程式簡化為4 ）肋端視為絕熱，即 dt/dx=0 ；0 xdxxx+dxc內(nèi)熱源強度單位時間肋片單位體積的對流散熱量如圖，在距肋基處取一長度為dx的微元段，該段的對流換熱量為：因此該微元段的內(nèi)熱源強度為：0 xdxxx+dxc導熱微分方程：引入過余溫度 。并令邊界條件：導熱微分方程：二階齊次線性常微分方程0 xdxxx+dxc方程的通解為：應用邊界條件可得：得：帶入：肋片內(nèi)的溫度分布雙曲余弦函數(shù)(hyperbolic cosine) x00H雙曲正弦函數(shù)雙曲正切函數(shù)肋端溫度0 xdxxx+dxc令x=H，可得到肋端的溫度：肋片表面的散熱量0 xdxxx+dxc分子分母乘以穩(wěn)態(tài)時肋