2022高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(人教A理一輪)6.4　數(shù)列求和

1、高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI6.4數(shù)列求和第六章2022內(nèi)容索引0102必備知識(shí) 預(yù)案自診關(guān)鍵能力 學(xué)案突破必備知識(shí) 預(yù)案自診【知識(shí)梳理】 1.基本數(shù)列求和方法(3)使用已知求和公式求和的方法,即等差、等比數(shù)列或可化為等差、等比數(shù)列的求和方法.2.非基本數(shù)列求和常用方法(1)倒序相加法:如果一個(gè)數(shù)列an的前n項(xiàng)中與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等,那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法,如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的.(2)分組求和法:一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成,則求和時(shí)可用分組求和法,分

2、別求和后再相加減.如已知an=2n+(2n-1),求Sn.(3)并項(xiàng)求和法:若一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中兩兩結(jié)合后可求和,則可用并項(xiàng)求和法.如已知an=(-1)nf(n),求Sn.(4)錯(cuò)位相減法:如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的,那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法來(lái)求,如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的.(5)裂項(xiàng)相消法:把數(shù)列的通項(xiàng)公式拆成兩項(xiàng)之差,在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消,從而求得其和.常見(jiàn)的裂項(xiàng)公式:3.常用求和公式 【考點(diǎn)自診】 1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“”,錯(cuò)誤的畫(huà)“”.(2)利用倒序相加法可求得sin21+sin22+sin

3、23+sin288+sin289=44.5.()(3)若Sn=a+2a2+3a3+nan,則當(dāng)a0,且a1時(shí),Sn的值可用錯(cuò)位相減法求得.()(4)如果數(shù)列an是周期為k的周期數(shù)列,那么Skm=mSk(m,k為大于1的正整數(shù)).()2.已知數(shù)列an滿(mǎn)足:當(dāng)n2且nN+時(shí),有an+an-1=(-1)n3.則數(shù)列an的前200項(xiàng)的和為()A.300 B.200 C.100D.0答案 A解析 由題意,當(dāng)n取偶數(shù)時(shí),an+an-1=3,S200=a1+a2+a3+a4+a200=(a1+a2)+(a3+a4)+(a199+a200)=3(1+1+1)=300,故選A.3.若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2

4、n+2n-1,則數(shù)列an的前n項(xiàng)和為()A.2n+n2-1B.2n+1+n2-1C.2n+1+n2-2D.2n+n-2答案 C 答案 C 5.(2020新高考全國(guó)1,14)將數(shù)列2n-1與3n-2的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列an,則an的前n項(xiàng)和為.答案 3n2-2n解析 數(shù)列2n-1的項(xiàng)均為奇數(shù),數(shù)列3n-2的所有奇數(shù)項(xiàng)均為奇數(shù),所有偶數(shù)項(xiàng)均為偶數(shù).并且顯然3n-2中的所有奇數(shù)均能在2n-1中找到,所以2n-1與3n-2的所有公共項(xiàng)就是3n-2的所有奇數(shù)項(xiàng),這些項(xiàng)從小到大排列式的新數(shù)列an為以1為首項(xiàng),以6為公差的等差數(shù)列.所以an的前n項(xiàng)和為Sn=n1+ 6=3n2-2n.關(guān)鍵能力 學(xué)案突

5、破考點(diǎn)1分組求和思考具有什么特點(diǎn)的數(shù)列適合分組求和?解題心得具有下列特點(diǎn)的數(shù)列適合分組求和:(1)若an=bncn,且bn,cn為等差數(shù)列或等比數(shù)列,可采用分組求和法求an的前n項(xiàng)和;對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2020天津河?xùn)|一模,16)已知遞增等差數(shù)列an,等比數(shù)列bn,數(shù)列cn,a1=c1=1,c4=9,a1,a2,a5成等比數(shù)列,bn=an+cn,nN*.(1)求an,bn的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn.解 (1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,d0,由已知,得an=1+(n-1)d, =a1a5,即(1+d)2=1+4d,解得d=2或d=0(舍去),所以an=2n-1,nN*;設(shè)等比數(shù)列bn的

6、公比為q,因?yàn)閎1=a1+c1=2,所以bn=2qn-1,又因?yàn)閎4=a4+c4=24-1+9=16,所以q3= =8,解得q=2,所以bn=2n,nN*.(2)由(1)可得cn=bn-an=2n-(2n-1),則Sn=c1+c2+cn=2-1+22-3+2n-(2n-1)考點(diǎn)2并項(xiàng)求和【例2】 (2020河南安陽(yáng)二模,理17)記數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知Sn=2an-2n+1.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;解 (1)當(dāng)n=1時(shí),由Sn=2an-2n+1,可得a1=S1=2a1-2+1,即有a1=1.當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=2an-2n+1-2an-1+2(n-1)-1,即an=2a

7、n-1+2,可得an+2=2(an-1+2),顯然an-1+20.所以數(shù)列an+2是首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)列,則an+2=32n-1,即有an=32n-1-2.思考具有什么特點(diǎn)的數(shù)列適合并項(xiàng)求和?解題心得若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=(-1)nf(n),則一般利用并項(xiàng)求和法求數(shù)列an的前n項(xiàng)和.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(2019江西南昌一模)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,S3+S4=S5.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)令 ,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解 (1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由S3+S4=S5可得a1+a2+a3=a5,即3a2=a5,3(1+d)=1+4d,解得d=2.an

8、=1+(n-1)2=2n-1.(2)由(1)可得 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),Tn=1-3+5-7+(2n-3)-(2n-1)=-n.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Tn=Tn-1+bn=-(n-1)+(-1)n-1(2n-1)=-(n-1)+(2n-1)=n.綜上,Tn=(-1)n+1n.考點(diǎn)3錯(cuò)位相減法求和【例3】 (2020全國(guó)3,理17)設(shè)數(shù)列an滿(mǎn)足a1=3,an+1=3an-4n.(1)計(jì)算a2,a3,猜想an的通項(xiàng)公式并加以證明;(2)求數(shù)列2nan的前n項(xiàng)和Sn.解(1)a2=5,a3=7.猜想an=2n+1.由已知可得an+1-(2n+3)=3an-(2n+1),an-(2n+1)=3an-1-(2n-1)

9、,a2-5=3(a1-3).因?yàn)閍1=3,所以an=2n+1.(2)由(1)得2nan=(2n+1)2n,所以8Sn=32+522+723+(2n+1)2n.從而2Sn=322+523+724+(2n+1)2n+1.-得-Sn=32+222+223+22n-(2n+1)2n+1.所以Sn=(2n-1)2n+1+2.思考具有什么特點(diǎn)的數(shù)列適合用錯(cuò)位相減法求和?解題心得1.一般地,如果數(shù)列an是等差數(shù)列,bn是等比數(shù)列,求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和時(shí),可采用錯(cuò)位相減法求和,解題思路是:和式兩邊先同乘等比數(shù)列bn的公比,再作差求解.2.在寫(xiě)出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí),應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”,

10、以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“Sn-qSn”的表達(dá)式.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(2020全國(guó)1,理17)設(shè)an是公比不為1的等比數(shù)列,a1為a2,a3的等差中項(xiàng).(1)求an的公比;(2)若a1=1,求數(shù)列nan的前n項(xiàng)和.解 (1)設(shè)an的公比為q,由題設(shè)得2a1=a2+a3,即2a1=a1q+a1q2.所以q2+q-2=0,解得q=1(舍去),q=-2.故an的公比為-2.(2)記Sn為nan的前n項(xiàng)和.由(1)及題設(shè)可得,an=(-2)n-1.所以Sn=1+2(-2)+n(-2)n-1,-2Sn=-2+2(-2)2+(n-1)(-2)n-1+n(-2)n.可得3Sn=1+(-2)+(-2)2+(-2)n-1-n

11、(-2)n考點(diǎn)3錯(cuò)位相減法求和思考裂項(xiàng)相消法的基本思想是什么?解題心得裂項(xiàng)相消法的基本思想就是把a(bǔ)n分拆成an=bn+k-bn(kN*)的形式,從而達(dá)到在求和時(shí)絕大多數(shù)項(xiàng)相消的目的.在解題時(shí)要善于根據(jù)這個(gè)基本思想變換數(shù)列an的通項(xiàng)公式,使之符合裂項(xiàng)相消的條件.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(2020山東濰坊二模,18)已知數(shù)列an為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,a1=1;數(shù)列bn滿(mǎn)足b2=3,a1b1+a2b2+a3b3+anbn=3+(2n-3)2n.(1)求an;解(1)令n=1,得a1b1=3+(2-3)2=1,所以b1=1,令n=2,得a1b1+a2b2=7,所以a2b2=6.又b2=3,所以a2=2,設(shè)數(shù)列an的公比為q,則所以an=2n-1.要點(diǎn)歸納小結(jié)1.數(shù)列求和,一般應(yīng)從通項(xiàng)入手,若通項(xiàng)未知,先求通項(xiàng),再通過(guò)對(duì)通項(xiàng)變形,轉(zhuǎn)化為與特殊數(shù)列有關(guān)或具備某種方法適用特點(diǎn)的形式,從而選擇合適的方法求和.2.解決非等差、非等比數(shù)列的求和,主要有兩種思路(1)轉(zhuǎn)化的思想,即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列,這一思想方法往往通過(guò)通項(xiàng)分