高中數學題型全面歸納（教師版）：6.2數列的通項公式與求和24(修)

1、第二節(jié) 數列的通項公式與求和考綱解讀掌握非等差數列、等比數列求和的幾種常見方法.能在具體的問題情境中，識別數列的等差和等比關系，抽象出模型，并能用有關知識解決相應的問題.命題趨勢探究從內容上主要考查：等差和等比數列與其他知識點的綜合運用，用數列知識解決實際問題；從遞推公式中構造等差或等比數列，并求出其通項公式.從考查形式和能力上看，有選擇題、填空題、解答題.其中以解答題為主，且難度較大.在解題過程中往往要用到函數與方程思想、化歸思想與分類討論思想.從命題趨勢上看，主要有數列與方程、不等式、函數、解析幾何的綜合題，以概率為背景結合計數原理考查數列知識及數列建模的應用題.知識點精講基本概念若已知數

2、列的第1項（或前項），且從第2項（或某一項）開始的任一項與它的前一項（或前幾項）間的關系可以用一個公式來表示，那么該公式就叫做這個數列的遞推公式.遞推公式也是給出數列的一種方法.數列的第項與項數之間的函數關系，可以用一個公式來表示，那么就是數列的通項公式.注： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 并非所有的數列都有通項公式； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 有的數列可能有不同形式的通項公式； = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 數列的通項就是一種特殊的函數關系式； = 4 * GB3 * MERGEFORMAT 注意區(qū)別數列的通項公式和遞推公式.題型歸納

3、及思路提示題型85 數列通項公式的求解思路提示常見的求解數列通項公式的方法有觀察法、利用遞推公式和利用與的關系求解.觀察法根據所給的一列數、式、圖形等，通過觀察法歸納出其數列通項.利用遞推公式求通項公式 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 疊加法：形如的解析式，可利用遞推多式相加法求得 = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 疊乘法：形如 的解析式， 可用遞推多式相乘求得 = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 構造輔助數列：通過變換遞推公式，將非等差（等比）數列構造成為等差或等比數列來求其通項公式.常用的技巧有待定系數法、取倒數法、對稱變換法和同除以指數法.利用與

4、的關系求解形如的關系，求其通項公式，可依據，求出觀察法觀察法即根據所給的一列數、式、圖形等，通過觀察分析數列各項的變化規(guī)律，求其通項.使用觀察法時要注意： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 觀察數列各項符號的變化，考慮通項公式中是否有或者 部分. = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 考慮各項的變化規(guī)律與序號的關系. = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 應特別注意自然數列、正奇數列、正偶數列、自然數的平方、與有關的數列、等差數列、等比數列以及由它們組成的數列.例6.20寫出下列數列的一個通項公式：（1）（2）2,22,222，；數列中各項為：12,1122,

5、111222，分析：通過觀察，找出所給數列的特征，求出其通項.解析：（1） = 1 * GB3 原數列中的數的符號一正一負，故擺動數列乘以； = 2 * GB3 絕對值后分子分母無明顯的規(guī)律，但通過對偶數各項分子分母同乘以2，可使分子出現規(guī)律為3,4,5,6，則.解法一：解法二：原數列即（3）變式1 將全體正整數排成一個三角形數陣，如下所示，則第行 （）從左到右的第3個數為(_n2-n+6_)2_ 12 3 4 5 6 7 8 9 10 變式2 觀察下列等式： ， ，可以推測，當時，分析 通過觀察的變化規(guī)律能求出的通項公式；同時通過前6個式子，不難發(fā)現的規(guī)律.解析 的變化規(guī)律為，即分子成等差數

6、列，故能求出的通項公式， 由前6個式子，當時，沒有常數項，當時，沒有一次項， 當時，沒有平方項，當為k時，沒有項，故=0.利用遞推公式求通項公式疊加法數列有形如的遞推公式，且的和可求，則變形為，利用疊加法求和例6.21 已知數列滿足 ，且，求數列的通項公式.分析：式子 是形如的形式，故利用疊加法求和.解析： 可得，（）， 相加可得：（），且也滿足上式，故變式1 已知數列中，求數列的通項公式解析 由已知故=且，所以時，也滿足上式.故變式2 已知數列中， ，則_ A、 B、 C、 D、分析 遞推公式滿足的形式，其中，用疊加法求解.解析 ，即，故，疊加得，故，且當時，也滿足上式.故選A.變式3 已知

7、數列中，且，（，）（1）設，證明：是等比數列.（2）求數列的通項公式解析 （1）證明：由題設得，即.又所以是首項為1，公比為q的等比數列.（2）由（1）知.將以上各式相加，得所以當n=1時，滿足時的形式；當q=1時，是差為1的等差數列，所以.故.變式4 數列中，（為常數），且 成公比不為1的等比數列.（1）求的值；（2）求數列的通項公式解析 （1）因為成等比數列，所以解得c=0或c=2.當c=0時，公比為1，不符合題意，故c=2.（2）當時，有所以又，故，當n=1時，上式也成立，所以.2、疊乘法數列有形如的遞推公式，且的積可求，則將遞推公式變形為，利用疊乘法求出通項公式例6.22 已知數列中，

8、則數列的通項公式為（ ）A、 B、 C、 D、分析：數列的遞推公式是形如的形式，故可以利用疊乘法求解.解析：由變形得 ，從而 ，故（） 即（），所以（，），且滿足上式，故（），選B變式1 已知數列中，求數列的通項公式解析 由變形得，從而，故且，故且n=1時， 也滿足上式.故通項公式為3、構造輔助數列法（1）待定系數法形如（為常數，且）的遞推式，可構造，轉化為等比數列求解.也可以與類比式作差，由，構造為等比數列，然后利用疊加法求通項.例6.23 已知數列中，求的通項公式.分析：式子形如（為常數，且），故利用構造法轉化.解析：解法一、設等價于，得到，對應，得到故原遞推式等價于，因此數列為首項為，公

9、比為的等比數列，所以，故解法二、由得 （，），因此（，），所以數列是首項為，公比為的等比數列. 疊加得到：故 （）變式1 已知，（，），求的通項公式.解析 由即比較得，故例6.24 在數列中， （），求數列 的通項公式.分析：將原遞推公式轉化為，即，比較，得，所以數列是首項為1，公比為4的等比數列，故，即 （）2、同除以指數形如 ，）的遞推式，當時，兩邊同除以轉化為關于的等差數列；當時，兩邊人可以同除以得，轉化為，同類型（1）.例6.25 已知數列中，（，），求數列的通項公式.解析：解法一、將兩邊同除以得， 則，則解法二、將兩邊同除以得，令，得，構造，得，因此數列為等比數列，且，則 （），故，

10、進而得到評注：一般地，對于形如 ，）的數列求通項公式，兩邊同除以轉化為待定系數法求解；兩邊同除以轉化為疊加法求解.變式1 在數列中，（1）設，試證明：數列是等差數列.（2）求數列的前項的和解析 （1）證：由已知得，又因此是首項為1，公差為1的等差數列.（2）由（1）知兩邊同乘以2，得得： 取倒數法對于，取倒數得.當時，數列是等差數列；當時，令，則，可用待定系數法求解.例6.26 在數列中，求數列的通項公式.分析：式中含有形如和的分式形式，故考慮利用倒數變換求其通項公式.解析：因為，所以，即數列是等差數列，故（）變式1 已知數列中首項，（），求數列的通項公式.解析 由題意設得.即故是以為首項，以

11、為公比的等比數列.所以所以.變式2 已知數列中首項，前項的和為，且滿足（，），求數列的通項公式.分析 式中含有形如的分式形式，考慮利用倒數變換求其通項公式.解析 所以是首項為1，公差為2的等差數列.所以所以且當n=1 時，a1=1不滿足上式，所以取對數法形如的遞推公式，則常常兩邊取對數轉化為等比數列求解.例6.27 已知數列中首項，且 （），則數列的通項_分析：取對數時，常用以為底的對數，便于計算.解析：因為，所以對兩邊取以3為底的對數，得到，故是以1為首項，2為公比的等比數列，所以，所以（）變式1 已知數列中首項，且 （），求數列的通項解析 依題意，得，故數列是以2為首項，以2為公比的等比數

12、列，所以.已知通項公式與前項的和關系求通項問題對于給出關于與的關系式的問題，解決方法包括兩個轉化方向，在應用時要合理選擇.一個方向是轉化為的形式，手段是使用類比作差法，使=（，），故得到數列的相關結論，這種方法適用于數列的前項的和的形式相對獨立的情形；另一個方向是將轉化為（，），先考慮與的關系式，繼而得到數列的相關結論，然后使用代入法或者其他方法求解的問題，這種情形的解決方法稱為轉化法，適用于數列的前項和的形式不夠獨立的情況.簡而言之，求解與的問題，方法有二，其一稱為類比作差法，實質是轉化的形式為的形式，適用于的形式獨立的情形，如已知（，）；其二稱為轉化法，實質是轉化的形式為的形式，適用于的形

13、式不夠獨立的情形，如已知（，）；不管使用什么方法，都應該注意解題過程中對的范圍加以跟蹤和注意，一般建議在相關步驟后及時加注的范圍.例6.28 已知正項數列中，前項的和，且滿足，求數列的通項公式.解析：由已知，可得 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 類比得到（，） = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 式 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 式 = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 得 即 所以，又因為，故（，），因此數列為等差數列，且首項為1，公比為2 故 （）評注：本題是關于與的關系式問題中第一個方向的典型題目，本題的閃光點是未給出的直接形式，需

14、要考生稍加變形，轉化為后，才可使求解方向變得更為明朗.變式1 已知數列的前項的和，（）（1）設，求；（2）設，求數列的前項和；（3）設，求解析 （1）由已知可得得即所以可知數列是等比數列，且首項為公比為2.所以（2）為等比數列，得（3）由（1） 即所以所以數列為等差數列，且首項所以評注 本題中的第（3）問難度較大.若應用“目標意識”引領我們的解題思路，則題目的求解變得很簡單，也就是由題目中有這種形式，想到在基礎上，兩邊同除以，即達到轉化目的。例6.29 已知數列中，且對于任意正整數有，求數列的通項公式分析：已知與的關系，求數列的通項公式利用=（，）求解，將試題右邊的含的式子換成來處理.解析：當

15、時，及，解得 當時，由得，變形整理得 ，數列是等差數列，首項為1，公差為1 故，所以適合上式，故 （）故當時，=， 適合上式，故（）變式1 已知數列中，前項和滿足（，）（1）求證：數列是等差數列；（2）求數列的通項公式析 （1）因為，所以，得，又，方程兩邊同除以得.故數列是等差數列，且首項為2，公差為2.（2）由（1）可知，所以，當；當又不符合上式，所以.評注 本題是關于的關系式問題中第二個方向的典型題目，在此情形下，第（2）問中求的方法最好用代入法，即將代入已知的關系式中，可得通項公式（當然是時的結論），然后驗證n=1時是否適合即可，這種求解方法較題中步驟更為簡捷，值得大家借鑒. 變式2 設

16、數列是正數組成的數列，且有，求數列的通項公式.析 顯然已知條件中含有的關系，那么利用，將式中含有的項用替換.解析 由，即變形得對于，令n=1得，得，又數列是正項數列，因此所以，即由此可得數列是首項為公差為的等差數列，故所以，滿足例6.30 設數列的前項的和為，已知.（1）設，證明：數列是等比數列.（2）求數列的通項公式.解析 （1）在中，令，得，即，故，由知，兩式相減得，即，故，且，即是以2為公比的等比數列.（2）由且知，故，所以，即有，所以，于是，因此數列是首項為，公差為的等差數列.所以，故.變式1 已知數列的前項之和為，且.（1）證明：數列是等比數列；（2）求數列的通項公式，請指出為何值時

17、，取得最小值，并說明理由.解析 （1）當n=1時，解得則當所以所以是首項為15，公比為的等比數列.（2）由（1）有故當時，設即有故當n=15時，取得最小值.變式2 已知數列的前項和為，且滿足.（1）寫出數列的前3項；（2）求證：數列為等比數列；（3）求.解析 （1）已知當n=1時，可得由此得（2）又所以數列是首項為2，公比為2的等比數列.（3）由（2）可得所以又可得變式3 設數列的前項和為.已知.（1）求的值；（2）求數列的通項公式.分析 （1）把n=1代入遞推式可以得到的關系式，知（2）遞推式含有將公式進行化異為同，得到或的遞推式，構造等差數列，求出新數列的通項，進而求.解析 （1）依題意，

18、又所以（2）解法一：由題意所以當兩式相減得：，整理得即.又當，所以數列是首項為，公差為1的等差數列，所以，所以，所以數列的通項公式，.解法二：因為所以整理得所以，所以數列是首項為，公差為的等差數列，所以所以，所以，所以.題型86 數列的求和思路提示求數列前項和的常見方法如下：（1）通項分析法.（2）公式法：對于等差、等比數列，直接利用前項和公式.（3）錯位相減法：數列的通項公式為或的形式，其中為等差數列，為等比數列.（4）分組求和法：數列的通項公式為的形式，其中和滿足不同的求和公式.常見于為等差數列，為等比數列或者與分別是數列的奇數項和偶數項，并滿足不同的規(guī)律.（5）裂項相消法：將數列恒等變形

19、為連續(xù)兩項或相隔若干項之差的形式，進行消項.（6）倒序相加：應用于等差數列或轉化為等差數列的數列求和.一、通項分析法例6.31 求數列的前項的和.解析 數列的通項，即，所以數列的前項的和為即.評注 先分析數列通項的特點，再選擇合適的方法求和是求數列的前項和問題應該強化的意識.變式1 求數列9，99，999，的前項和.解析 由題意知從而數列的前n項和為=評注 求數列的前n項和的一種方法就是首先觀察數列的通項公式的特征，然后合理地分析，合并，變形，使之成為常見的數列類型，再使用相應公式或選擇合適的方法加以求解.二、公式法 利用等差、等比數列的前項和公式求和.例6.32 已知等差數列中，求數列的前項

20、和.分析 根據數列為等差數列，求出數列的通項， 從而知數列為等比數列，利用等比數列的求和公式求.解析 設等差數列的首項為，公差為，依題意得，解得.數列的通項公式為，由得，因為，所以數列 是首項為，公比為的等比數列.于是得數列的前項和.評注 針對數列的結構特征，確定數列的類型，符合等差或等比數列時，直接利用等差、等比數列相應公式求解.變式1 如圖6-4所示，從點作軸的垂線交曲線于點，曲線在點處的切線與軸交于點.再從作軸的垂線交曲線于點，依次重復上述過程得到一系列點：，記點的坐標為.（1）試求與的關系； （2）求.解析 （1）設由得，點處切線方程為，由得（2）得所以于是三、錯位相減法求數列和的前項

21、和，數列， 分別為等差與等比數列.求和時，在已知求和式的兩邊乘以等比數列公比后，與原數列的和作差，即，然后求即可.例6.33 （1）（2018全國新課標2卷文）記為等差數列的前項和，已知 （1）求的通項公式； （2）求，并求的最小值【解析】（1）設an的公差為d，由題意得3a1+3d= 15由a1= 7得d=2所以an的通項公式為an=2n9（2）由（1）得Sn=n28n=（n4）216所以當n=4時，Sn取得最小值，最小值為16（2）已知數列的前項和為，且，數列中，點在直線上.（1）求數列， 的通項公式；（2）設，數列的前項和為，求.解析 （1），上兩式相減得，得，故，令.點在直線上，則，則

22、是首項為1，公差為2的等差數列，.（2），由（1）-(2)得，故.評注 由于結果的復雜性，自己可以通過代入等驗證，等以確保所求結果的準確性.變式1（2017天津理18）已知為等差數列，前項和為，是首項為2的等比數列，且公比大于0，.（1）求和的通項公式；（2）求數列的前n項和.解析 （1）設等差數列的公差為，等比數列的公比為.由已知，得，而，所以.又因為，解得.所以.由，可得 由，可得 聯立，解得，由此可得.所以數列的通項公式為，數列的通項公式為. (2)設數列的前n項和為，由，有，故，上述兩式相減，得，得.所以數列的前項和為.變式2 （2016山東理18）已知數列的前項和，是等差數列，且（1

23、）求數列的通項公式；（2）令求數列的前項和.解析 （1）由題意知當時，當時，所以.設數列的公差為，由，即，解得，所以.（2）由（1）知，又，得，兩式作差，得：，所以.四、分組求和法對于既非等差又非等比數列的一類數列，若將數列的項進行適當地拆分，可分成等差、等比或常數列，然后求和.例6.34 在數列中.（1）設，證明為等比數列； （2）求數列的前項和.解析 （1）由已知得，即，故，且，因此是公比為的等比數列.（2）由（1）知當時，疊加得，所以，得，時也成立，又，所以，得.令，故，故，又，所以.變式1 已知數列中的相鄰兩項是關于的方程的兩個根，且.（1）求；（2）求數列的前項和.分析 根據題目的條

24、件，求出通項公式，然后分組求和.解析 （1）方程的兩個根為（2）因為當所以故變式2 等比數列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個數，且中的任何兩個數不在下表6-1的同一列. 表6-1第1列第2列第3列第1行3210第2行6414第3行9818(1)求數列的通項公式；(2)若數列滿足：，求數列的前項和.解析 （1）由表6-1可得（2）因為所以五、裂項相消法將數列恒等變形為連續(xù)兩項或相隔若干項之差的形式，進行消項.常用的裂項相消變換有：1.分式裂項；.2.根式裂項.3.對數式裂項.4.指數式裂項；.使用裂項法，要注意正負項相消時消去了哪些項，保留了哪些項；應注意到，由于數列中每一項均裂成一正一負

25、兩項，所以互為相反數的項合并為零后，所剩正數項與負數項的項數必是一樣的多，切不可漏寫未被消去的項.未被消去的項有前后對稱的特點，即經過裂項后有“對稱剩項”的特征.另外從實質上看，正負項相消是裂項法的根源和目的.例6.35 求數列的前項和.解析 先分析通項公式，所以評注 如果數列的通項公式可以寫成的形式，常采用裂項求和的方法.特別地，當數列形如，其中是等差數列時，可嘗試使用此法.變式1 已知數列，求它的前項和.解析 因為數列的通項為又因為所以例6.36 已知等差數列滿足，的前項和.（1）求及；（2）令，求數列的前項和.解析 （1）設的首項為，公差為，由已知可得.所以，.（2）因為，所以，因此，故

26、.故數列的前項和.評注 采用裂項相消法求解數列的前項和，消項時要注意相消的規(guī)律，可將前幾項和表示出來，歸納規(guī)律.一般來說，先注意項數，如果是每兩項作為一組相消，則最終剩余項數為偶數項；再看大小，若前面保留的是分母最小的若干項，則最后必會保留分母最大的若干項.變式1 設正項數列前項和滿足.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和.解析 （1）當n=1時，故=.因為，故，整理得，又，所以，所以，即數列是以2為公差，以1為首項的等差數列，所以，故 變式2 在數1和100之間插入個實數，使得這個數構成遞增的等比數列，將這個數的乘積記作，再令.（1）求數列的通項公式；（2）設求數列的前項和.解析

27、 ，利用疊加法得六、倒序相加法將一個數列倒過來排列，當它與原數列相加時，若有規(guī)律可循，并且容易求和，則這樣的數列求和時可用倒序相加法（等差數列前項和公式的推導即用此方法）.例6.37 設，求的值.解析 因為.所以.變式1 函數，當時，.（1）求的值；（2）已知數列滿足，求；（3）若，求.解析令，則，即，所以 ，+得變式2 已知函數對任意都有.（1）求的值；（2）若數列滿足，數列是等差數列嗎？試證明之；（3）設，求數列的前項和.解析 因為對任意都有，令，則，即因為，所以有，兩式相加，可得，得又因為，故數列是以為首項，以為公差的等差數列由得，則，則，所以變式3 已知數列是首項為1，公差為2的等差數

28、列，求.分析 注意到，且當時，利用倒序相加法求解析 由已知得，又，兩式相加得，又因為數列是以公差為2，首項為1的等差數列，所以，因此，評注 倒序相加法求數列前n項和是利用首項與第n項的代數和、第2項與第n-1項的代數和相等，依次進行下去，即利用等差數列的求和思想解題最有效訓練題24（限時45分鐘）1.已知數列，則是數列的（ ） A第18項 B第19項 C第17項 D第20項2.已知各項均不為零的數列，定義向量，則下列命題為真命題的是（ ）A若對任意的，總有成立，則數列是等差數列B若對任意的，總有成立，則數列是等比數列C若對任意的，總有成立，則數列是等差數列D若對任意的，總有成立，則數列是等比數

29、列3.設是單調遞減的等差數列，前3項的和是15，前3項的積是105，當該數列的前項和最大時，（ ）A4 B5 C6 D74.（2016天津理5）設是首項為正數的等比數列，公比為，則“”是“對任意的正整數，”的（ ）.A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件5.（2017全國3理9）等差數列的首項為1，公差不為0若，成等比數列，則數列前6項的和為（ ）.ABC3D86.對于數列，如果及，使成立，其中，則稱為階遞推數列，給出下列三個結論：若為等比數列，則是1階遞推數列；若為等差數列，則是2階遞推數列；若數列的通項公式為，則是3階遞推數列.其中正確結論的個數是（ ）A0 B1 C2 D37.根據數列的前幾項，寫出數列的一個通項公式：（1）-1，7，-13，19，=_；（2）0.8，0.88，0.888，=_；（3），=_；（4）0，1，0，1，=_.8.（2016上海理11）無窮數列由個不同的數組成，為的前項和，若對任意，則的最大值為 .9.在數列中，且，則_.10.根據下列條件，確定數列的通項公式.（1）已知數列的前項和； （2）已知數列的滿足，且；（3）；（4）在數列中，；（5）在數列中，；（6）在數列中，.11.（2015天津理18）已知數列滿足（為實數，且），且，成等差數列.（1