高中數(shù)學題型全面歸納（教師版）：9.1直線的方程38

1、直線與圓的方程本章知識結(jié)構(gòu)圖相離相切相交0，或dr0，或dr0，或dr,相交弦長傾斜角和斜率直線的方程位置關系直線方程的形式重合平行相交垂直A1B2A2B10A1B2A2B10A1A2B1B20點斜式：yy0k(xx0)斜截式：ykxb兩點式： eq f(yy1,y2y1) eq f(xx1,x2x1)截距式： eq f(x,a) eq f(y,b)1一般式：AxByC0注意各種形式的轉(zhuǎn)化和運用范圍.兩直線的交點距離點到線的距離：d eq f(| Ax0By0C |,r(A2B2)，平行線間距離：d eq f(| C1C2 |,r(A2B2)圓的方程圓的標準方程圓的一般方程直線與圓的位置關系兩

2、圓的位置關系截距注意：截距可正、可負，也可為0.第一節(jié) 直線的方程考綱解讀1.在平面直角坐標系中，結(jié)合具體圖形，確定直線位置的幾何要素2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式。3.掌握確定直線的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式（點斜式、兩點式及一般式）了解斜截式與一次函數(shù)的關系。命題趨勢探究從考查內(nèi)容上看，主要考查直線方程的基本概念，傾斜角和斜率從考查形式上看，以選擇題和填空題為主，解答題中常以與圓錐曲線相交出現(xiàn)從考查能力上看，側(cè)重對基本知識和技能的考查，考生一定要體會數(shù)學思想與方法，特別是數(shù)形結(jié)合思想提高綜合解題能力從近幾年高考情況來看，預測2018年高考本專題主要考

3、查以下內(nèi)容。（1）根據(jù)條件確定直線方程（2）考查直線性質(zhì)，如傾斜角與斜率關系、方程與充要條件等；（3）直線與圓錐曲線的相交問題知識點精講一、基本概念斜率與傾斜角我們把直線中的系數(shù)（）叫做這條直線的斜率，垂直于軸的直線，其斜率不存在。軸正方向與直線向上的方向所成的角叫這條直線的傾斜角。傾斜角，規(guī)定與軸平行或重合的直線的傾斜角為0，傾斜角不是的直線的傾斜角的正切值叫該直線的斜率，常用表示，即。當時，直線平行于軸或與軸重合；當時，直線的傾斜角為銳角，傾斜角隨的增大而增大；當時，直線的傾斜角為鈍角，傾斜角隨的增大而減??；二、基本公式1. 兩點間的距離公式2. 的直線斜率公式3.直線方程的幾種形式（1）

4、點斜式：直線的斜率存在且過，注：當時，；當不存在時，（2）斜截式：直線的斜率存在且過，（3）兩點式：，不能表示垂直于坐標軸的直線。注：可表示經(jīng)過兩點的所有直線（4）截距式：不能表示垂直于坐標軸及過原點的直線。（5）一般式：，能表示平面上任何一條直線（其中，向量是這條直線的一個法向量）題型歸納及思路提示題型120 傾斜角與斜率的計算思路提示正確理解傾斜角的定義，明確傾斜角的取值范圍，熟記斜率公式，根據(jù)該公式求出經(jīng)過兩點的直線斜率，當時，直線的斜率不存在，傾斜角為求斜率可用，其中為傾斜角，由此可見傾斜角與斜率相互關聯(lián)，不可分割。牢記“斜率變化分兩段，是其分界，遇到斜率要謹記，存在與否要討論”。這可

5、通過畫正切函數(shù)在上的圖像來認識。若三點共線，則_.分析 由三點共線可聯(lián)想到斜率相等或向量共線。解析 解法一：由題設可知，即，解法二：由題設可知，即，即。，解法三：由題設可知點在直線上，又由截距式方程得直線方程：，故。評注 關于三點共線問題，可以聯(lián)想到斜率相等或向量共線，亦可先由兩點確定一條直線，再證第三點在該直線上，這些方法對學習平面解析（空間立體）幾何或幾何證明都很有益處。變式1 若直線先向左平移一個單位，再向上平移兩個單位后，所得直線與直線重合，則直線的斜率為_.解析 解法一：容易判斷直線與x軸不垂直，故可設,由題意可知直線與直線重合，即直線與直線重合，故.解法二：不妨設點先向左平移一個單

6、位，得點，再向上平移兩個單位，得點且故.評注本題請讀者注意函數(shù)圖像（或方程的曲線）平移與點平移的區(qū)別變式2 已知過兩點的直線的傾斜角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是_.解析 由題設可知即例9.2 已知，點為一動點。（1）當點在線段上運動時，求直線傾斜角的范圍（2）當點在線段上運動時，求直線的斜率的范圍。解析 （1）當點在線段上運動時，求直線斜率為，可得傾斜角的范圍為。（2）當點在線段上運動時，傾斜角范圍為，可得斜率為直線的斜率的范圍評注 當斜率有正負時，傾斜角為兩段；當角度包括時，斜率分兩段，可用正切函數(shù)上的圖像求解。變式1 若直線的傾斜角分別為，則下列四個命題正確的是（ ）A.若，則兩直線的斜率B

7、.若，則兩直線的斜率C.若，則兩直線的斜率D.若，則兩直線的斜率解析 選項A錯誤，比如為銳角，為鈍角是不成立，同理選項C錯誤.當時，兩斜率都不存在，選項B錯誤，故選D.變式2 若直線的斜率的變化范圍是，則其傾斜角的變化范圍是（ ）A. B. C. D .分析斜率的取值范圍有正有負的情況，要注意分段.如本題需把分為和兩段.解析當時，傾斜角的范圍是；當，傾斜角的范圍是，故所求傾斜角的范圍是，故選D.評注（1）研究斜率的變化要與傾斜角的變化結(jié)合起來考慮，因為傾斜角的范圍是，該范圍不是正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，往往要分段，即分為和討論解決，相對應的，對斜率多分成和兩段來討論.（2）溝通直線斜率與傾斜角的關系

8、的工具是正切函數(shù)在區(qū)間上的圖像，通過此圖像（如圖所示）能很好的理解斜率的變化與傾斜角變化的聯(lián)系，當時，易見對應的傾斜角的取值范圍是.(3)由斜率范圍確定傾斜角的范圍，求解時要注意：= 1 * GB3斜率不存在時，傾斜角為；= 2 * GB3熟記傾斜角的取值范圍是；= 3 * GB3由斜率k的范圍求傾斜角的范圍時，利用數(shù)形結(jié)合法（結(jié)合正切函數(shù)在區(qū)間上的圖像），有利于問題的求解.變式3 直線經(jīng)過兩點（），那么直線的傾斜角的取值范圍是（ ）A. B. C. D .解析直線經(jīng)過兩點，則，如圖所示，知傾斜角的取值范圍是，故選D.例9.3 已知直線過，且與以為端點的線段相交，求直線的斜率的取值范圍。分析

9、本題為“由直線區(qū)域求直線斜率范圍”求解步驟。做出直線區(qū)域圖；求出區(qū)域邊界斜率；按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到；若，直接寫出（或開區(qū)間），若過無窮，。解析 解法一：如圖所示，。因為過點且與軸垂直的直線與線段相交，但此時直線斜率不存在，直線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到時，斜率始終為正，且逐漸增大，所以此時斜率的范圍是；直線由（不包括）逆時針旋轉(zhuǎn)至時，斜率始終為負值，且逐漸增大，范圍是。故所求直線的斜率的取值范圍是。解法二：本題也可以用線性規(guī)劃的知識來解決，當軸時，與線段相交，此時斜率不存在。當斜率存在時，設直線的方程為，即，要使與線段有交點，只需落在直線的兩側(cè)或直線上，則應滿足，得或，故所求直線的斜率的取值范圍是。評注

10、 本題主要用了數(shù)形結(jié)合的方法。另外，直線斜率的絕對值越大，直線就越“陡”，這一規(guī)律在判斷直線的傾斜程度上應用較廣。變式1 已知線段兩端點的坐標分別為，若直線與線段有交點，求實數(shù)的范圍。解析解法一：如圖9-19所示，直線恒過點,當時，直線與線段有交點；當時，則或，所以且.故所求的取值范圍是.解法二：由線性規(guī)劃知，要使與線段有公共點，只需落在直線兩側(cè)或直線上，即，解得，故的取值范圍為.變式2 已知實數(shù)滿足，試求的最大值與最小值。，解析由的幾何意義可知，它表示經(jīng)過定點與曲線上任一點的直線的斜率,由圖9-20可知：，由已知可得：,所以故的最大值為8，最小值為.評注 當條件為的關系式時，要求的結(jié)論有三種

11、類型：二元一次型，令，轉(zhuǎn)化為直線的截距問題；二元二次型，令轉(zhuǎn)化為兩點間的距離問題；比例型，令轉(zhuǎn)化為斜率問題求本題.題型121 直線的方程思路提示要重點掌握直線方程的特征值（主要指斜率、截距）等問題；熟練地掌握和應用直線方程的幾種形式，尤其是點斜式、斜截式和一般式。例9.4 求下列直線方程：（1）直線：過點，斜率；（2）直線：過點和點；（3）直線：過點，斜率。分析 已知點的坐標和斜率用點斜式，已知兩點的坐標用兩點式，已知在軸上的截距和斜率用截距式，最終的結(jié)果最好化成直線的一般式。解析 （1）由直線的點斜式方程得，整理得的方程為。（2）解法一：由直線的兩點式方程得，整理得的方程為。解法二：直線的方

12、程求解也可用點斜式，先算出，再代入點斜式得，即（3）由直線的點斜式方程得，整理得的方程為評注 已知直線上一點的坐標以及直線斜率，或已知直線上兩點坐標均可用直線方程的點斜式表示，使用直線方程的點斜式時，應在直線斜率存在的條件下使用，當斜率不存在時，直線方程為。變式1 求滿足下列條件的直線方程：（1）斜率，在軸上的截距是5；（2）斜率，在軸上的截距是；（3）在軸, 軸上的截距是2，-5。解析（1）（2）；（3），即.變式2 直線： ，直線過點，且它的傾斜角是的傾斜角的2倍，則的方程為_.解析設直線的傾斜角分別為，斜率分別為則，故，即例9.5 已知兩直線，都經(jīng)過點，則經(jīng)過點的直線方程是_.解析 解法

13、一：由題設可知所求直線斜率為，且，作差得，則，。故所求直線為：，即，即。解法二： 由兩直線，都經(jīng)過點,得，兩點都適合方程，又過這兩點的直線是唯一的。故經(jīng)過點的直線方程是評注 若兩點同時滿足方程：，即，則過兩點的直線方程為：變式1 如圖所示，在平面直角坐標系中，設的頂點為。點為線段上的一點（異于端點），這里為非零常數(shù)。設直線分別與邊交于點。某同學已正確求得直線的方程為，請完成直線的方程：.解析由截距式可得直線，直線設，直線與直線相較于點，則，作差得，故點及原點同時滿足此方程，所以直線的方程為.評注由類比推理也可直接得到直線的方程.過點，在軸和軸上的截距分別是，且滿足的直線方程為_.分析 過點，在

14、軸和軸上的截距分別是，注意分類討論為0的情形。解析 若，此時直線過原點，設直線方程為且過點，則直線方程為；若，則設直線方程為。又，故，又過點，則，得，故直線方程為，故所求的直線方程為或。評注 本題常見的求解錯誤是忽視截距為零的情況，一般地，條件給出的兩個截距（或截距的絕對值）成倍數(shù)關系時，若設直線的截距式應注意截距為零，及直線過原點的情形。變式1 直線經(jīng)過點，在在兩坐標軸上的截距相等，求直線的方程。解析依題意，直線的方程有如下兩種情形：直線經(jīng)過點，即過坐標原點，直線方程為，即；直線不經(jīng)過點，設直線方程為過點，則即，得，故，因此直線的方程為或.變式2 直線經(jīng)過點，且在軸上的截距是在軸截距的2倍，

15、求直線的方程。解析依題意，直線的方程有如下兩種情形= 1 * GB3直線經(jīng)過點，即過坐標原點，直線方程為即；= 2 * GB3直線不經(jīng)過點，設直線方程為，過,又，得解得，故即.因此，直線的方程為或.例9.7 直線經(jīng)過點，且與兩坐標軸圍成的三角形面積為5，求直線的方程。解析 解法一：依題意，設直線的方程為，因為直線經(jīng)過點，所以，即，由已知，得，解方程組，得或，故所求的直線方程為或或。解法二：依題意，設直線的斜率為，則直線的方程為，令，得，令，得。直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為，得或。故所求的直線方程為或即或。變式1 過點分別與軸正半軸交于兩點。當面積最小時，求直線的方程;當取最小值時，求直線的

16、方程;當取最小值時，求直線的方程;解析（1）由題意可設直線的方程為，則，所以，又點在直線上，所以，因為，所以即.當且僅當，即時取“=”.此時，的面積取得最小值，直線方程為（2）設的方程為，由點P在直線上取得，所以，當且僅當，即時等號成立.又因為，所以,所以直線方程為如圖9-21所示，過點作軸，軸，設在中，在中，所以又因為，當時，即當時，取最小值，此時直線向量為-1，所以直線方程為.評注 本題也可將直線的方程設為，易知如（1）中.因為,所以.(當且僅當時取“”)，因此的最小值為4.此時直線方程為即如(2)中，因為(當且僅當時取“”)，所以取最小值時，直線方程為，即如(3)中，因為，(當且僅當時取

17、“”).所以取得最小值4時，直線方程為，即例9.8一條直線被兩條直線和截得的線段中點恰好是坐標原點，求直線的方程分析 已知點，故可以考慮使用點斜式方程，通過兩次聯(lián)立方程，分別求出直線與和的兩個交點坐標，然后利用中點坐標公式求得的值。解析 解法一：當直線斜率存在時，設直線的方程為由得，由得，其交點的中點坐標為.據(jù)題意知得.故所求直線方程為.當直線l斜率不存在時，則l：x=0，與l1,l2交點分別為(0,6)，(0,)，其中點坐標為(0,)，不為原點，不滿足題意.解法二：為了確定直線l的方程，需要兩個獨立的要素，故考慮求出直線上的兩個點的坐標，從而可得直線l的方程. 因為兩個交點的線段的中點為原點

18、，故設直線l與的交點為，則與直線的交點為，因為在直線上，在直線上，故有，得，所以直線通過點和點O（0，0），易得直線l的方程為.評注 求直線方程最常用的方法是待定系數(shù)法，本題所求方程的直線過已知點M（0，0），故設出直線的點斜式，由題中另一條件確定斜率，思路順理成章.但要注意討論斜率是否存在，特別是能否把已知條件與相關知識聯(lián)系變能再得新的解法，如本題中的解法二.確定直線方程基本可以分為兩類題型：一是根據(jù)題目條件確定點和斜率或確定兩點，進而套用直線方程的幾種形式，此法可稱為直接法；二是利用直線在題目中具有的某些性質(zhì)，先設出方程（含有參數(shù)或待定系數(shù)），再確定方程（即求出參數(shù)值），此時對直線方程來講

19、可稱為間接法. 因為確定一條直線需要兩個獨立的幾何量，要么上個點與斜率，要么兩個都是點，所以在求直線方程時，要拿著“方程思想”去積極地從題設中獲得未知的幾何量所應滿足的方程的方程組，然后加以解決即可得解.變式1過點M（0，1）作直線，使它被兩條直線所截的線段恰好被點M平分，求此直線的方程.解析 解法一：設所求直線為，則= 1 * GB3當直線軸時，為則與的交點為與的交點為的中點為不與重合，故舍去；= 2 * GB3當直線的斜率存在時，設由得由得又為兩交點的中點，則解得則為即解法二：設過點的直線與直線分別交于點.因為點在直線上，故可設；點在上，故可設.又點是的中點，則，解得故 直線的方程為，即.

20、例9.9 若直線與直線的交點位于第一象限，則直線的斜率取值范圍為 .解析 過定點,與x軸正半軸的交點為,與y軸正半軸交點為.要交點位于第一象限,即交點在此兩點之間,可得k的取值范圍為,所以傾斜角的范圍為.評注 兩直線交點問題一般是一動直線與一定直線,動直線要找出經(jīng)過的定點,即可解答.變式1 直線與直線的交點位于第一象限,則a的取值范圍為 .解析 整理成點斜式可求出過定點，與軸正半軸交點為，與軸正半軸交點為,定點分別與這兩點連線，那么要使交點在第一象限，只須的斜率解得最有效訓練38(限時45分鐘)1.下列命題A過點的直線都可表示為B過兩點的直線都可表示為C過點（0，b）的所有直線都可表示為D不過

21、原點的所有直線都可表示為2.過點且與兩坐標軸的正半軸圍成的三角形面積為1的直線的斜率為（ ）A或B或CD或3.已知直線的方程分別為，其圖象如圖9-3所示，則有（ ）ABCD 4.設直線l的方程為，則直線l的傾斜角的取值范圍是（ ）ABCD5.直線在y軸上的截距是，而且它的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，則（ ）ABCD6.直線與連接兩點線段相交，則a的取值范圍是（ ）ABCD7.過點P（2，3）且在兩坐標軸上截距相等的直線方程是 .8.已知點兩點，直線l過定點P（1，1）且與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是 .9.直線，當此直線在x,y軸上截距和最小時，a的值為 .10.設直線l的方程為

22、.（1）若l在兩坐標軸上截距相等，求l的方程；（2）若l不經(jīng)過第二象限，求實數(shù)a的取值范圍.11.根據(jù)所給條件求直線的方程：（1）直線l過點(3,4)，且在兩坐標軸上的截距之和為12.（2）直線過點(5,10)，且到原點距離為5.（3）過點A(0,2)，它的傾斜角的正弦值是.12.已知在矩形ABCD中，AB邊所在直線的方程為，點在AD邊所在的直線上，求AD邊所在的直線的方程.最有效訓練題381. 解析 選項中過點的直線方程，若直線的斜率不存在，則直線方程為若直線的斜率存在,則過點的直線方程為所以選項不正確;選項中,過兩點的直線可表示為選項正確. 2. 解析 設直線方程為與軸，軸分別交于 ,則,解得或.因為所求直線與兩坐標軸的正半軸相交