廣西桂林市高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試卷(含解析)

1、 2015-2016 學(xué)年廣西桂林市高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（ 12*5=60）1已知全集 U=1，2，3，4，5，6，集合 A=1，2，5 ，?UB=4，5，6 ，則集合 AB=（）A1 ，2 B5 C 1 ， 2， 3D3，4，6 2已知平面上兩點 A（ 1，1）， B（5，9），則 |AB|= （ ）A10B 20 C30 D40A 1 BCD3下列函數(shù)中，在（ 0，+）上為減函數(shù)的是（）Df （x）=3x BC5若冪函數(shù) f（x）=（m2m1）xm在（ 0，+）上為增函數(shù)，則實數(shù) m=（）A2B 1 C3D1 或 26已知直線 l 1：x+2ay1=0，與 l 2：（2a1）x

2、ay1=0平行，則 a 的值是（）A0 或 1B1或 C0或 D7若定義在 R 上的偶函數(shù)x ）在 0 ，+）上是減函數(shù)，則有（A3） f （ 2）f1） Bf （1） f（2）f（3） Cf （2）f（1）f3）Df（3）f （1）f（ 2）8過球的一條半徑的中點，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的表面積的比 為（ ） TOC o 1-5 h z ABCD9空間四邊形 ABCD的對角線 AC=8，BD=6，M，N 分別為 AB，CD的中點，并且 AC與 BD所成 的角為 90，則 MN=（）A10 B 6C8D5D11一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（A64 B 72

3、C80D11212已知函數(shù) f（x）=log 2（ a2x 4ax +1），且 0a 0成立的 x 的取值范圍是（ ）A（， 0） B（ 0， +）C（， 2log a2） D（ 2log a2， +）、填空題（ 4*5=20）13計算：=14直線 3x+4y5=0到直線 3x+4y+15=0 的距離是BAD C 后，15在邊長為 a 的等邊三角形 ABC中，ADBC 于 D，沿 AD折成二面角16如圖， 平面 ABCD平面 ABEF，四邊形 ABCD是正方形， 四邊形 ABEF是矩形， 且 AF=a， G是 EF的中點，則 GB與平面 AGC所成角的正弦值為三、解答題（共 6 題， 70分，

4、解答應(yīng)給出文字說明，證明過程及演算步驟 . ） 17求下列函數(shù)的定義域：（1）f （x） =log 2（2）f （x） =18在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，已知 ABC 的頂點坐標(biāo)為 A（2，4），B（1，2），C（ 2，3）1）求直線 BC的方程；2）求邊 BC上高 AD所在的直線方程19已知函數(shù) f （ x） =1）在下表中畫出該函數(shù)的草圖；2）求函數(shù) y=f （ x）的值域、單調(diào)增區(qū)間及零點20某投資公司計劃投資 A、B兩種金融產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測， A產(chǎn)品的利潤 y 與投 資量 x 成正比例，其關(guān)系如圖 1， B產(chǎn)品的利潤 y與投資量 x 的算術(shù)平方根成正比例，其關(guān) 系如圖 2，（

5、注：利潤與投資量單位：萬元）（1）分別將 A、 B 兩產(chǎn)品的利潤表示為投資量的函數(shù)關(guān)系式；（2）該公司已有 10 萬元資金， 并全部投入 A、B 兩種產(chǎn)品中， 問：怎樣分配這 10 萬元投資， 才能使公司獲得最大利潤？其最大利潤為多少萬元？21如圖，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ACBC，點 D是 AB的中點求證：（1）ACBC1；2) AC1平面 B1CD22已知定義域為a，b 是常數(shù)）是奇函數(shù)1）求函數(shù) f （ x）的解析式；k 的取值范圍2）判斷函數(shù) f （ x）的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；3）若對于任意都有 f（kx2）+f （2x1） 0成立，求實數(shù)2015-2016 學(xué)年廣西桂

6、林市高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（ 12*5=60）1已知全集 U=1，2，3，4，5，6，集合 A=1，2，5 ，?UB=4，5，6 ，則集合 AB=（）A1 ，2 B5 C 1 ， 2， 3D3，4，6【考點】 交集及其運算【專題】 集合【分析】 由題意全集 U=1，2，3，4，5，6，CUB=4，5，6 ，可以求出集合 B，然后根據(jù) 交集的定義和運算法則進行計算【解答】 解：全集 U=1，2，3，4，5，6 ，又 ?UB=4 ，5， 6 ，B=1， 2，3，A=1， 2，5，AB=1， 2 ，故選： A【點評】 此題主要考查集合和交集的定義及其運算法則，是一道比較基

7、礎(chǔ)的題2已知平面上兩點 A（1，1），B（5，9），則|AB|= （）A10 B 20 C30 D40【考點】 兩點間距離公式的應(yīng)用【專題】 計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓【分析】 利用兩點間距離公式求解【解答】 解：平面上兩點 A（ 1，1）， B（ 5，9），|AB|=10注意兩點間距離故選： A【點評】 本題考查兩點間距離公式的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，公式的合理運用3下列函數(shù)中，在（ 0，+）上為減函數(shù)的是（）Df （x）=3x BC【考點】 函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明【專題】 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】 根據(jù)函數(shù) f （x）=3x，f（x）= ，f（x）= 在（0，+）上為增函

8、數(shù)， 故排除 利 用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得在（ 0，+）上為減函數(shù)，滿足條件，從而得出結(jié)論【解答】 解：由于函數(shù) f （x）=3x，f（x）= ，f （x）= 在（ 0，+）上為增函數(shù)，故 排除由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得在（ 0，+）上為減函數(shù)，滿足條件，故選 B【點評】 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題4設(shè) fx）=，則 f（f（ 2）=（A 1BCD考點】分段函數(shù)的應(yīng)用；函數(shù)的值專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析】直接利用分段函數(shù)，由里及外逐步求解即可解答】解： f （ x） =，則 f （f（ 2）=122）=f （ ）=1故選： C點評】 本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)值的求法，考查計算能力5若冪函數(shù)

9、 f（x）=（m2m1）xm在（ 0，+）上為增函數(shù)，則實數(shù)m=（）A2B 1 C 3D 1 或 2【考點】 冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用【專題】 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】 直接利用冪函數(shù)的定義與性質(zhì)求解即可【解答】 解：冪函數(shù) f （x）=（m2m1）xm在（ 0，+）上為增函數(shù)， 所以 m2m 1=1，并且 m0，解得 m=2故選： A【點評】 本題考查冪函數(shù)的斷斷續(xù)續(xù)以及冪函數(shù)的定義的應(yīng)用，基本知識的考查6已知直線 l 1：x+2ay1=0，與 l 2：（2a1）xay1=0平行，則 a 的值是（ ） A0 或 1B1或 C0 或 D【考點】 兩條直線平行與傾斜角、斜率的關(guān)系【專題】

10、計算題；分類討論a0時，兩直線的斜率都存在，由分析】 先檢驗當(dāng) a=0 時，是否滿足兩直線平行，當(dāng)，解得 a 的值解答】 解：當(dāng) a=0 時，兩直線的斜率都不存在， 它們的方程分別是 x=1， x=1，顯然兩直線是平行的當(dāng) a0時，兩直線的斜率都存在，故它們的斜率相等，由 ，解得：綜上， a=0 或 ，a=故選： C點評】 本題考查兩直線平行的條件， 要注意特殊情況即直線斜率不存在的情況， 要進行檢 驗7若定義在 R上的偶函數(shù) f （x）在 0 ，+）上是減函數(shù)，則有（）Af （3） f （ 2） f （1） B f （1） f （ 2） f （3） Cf（2）f（1）f（3）Df（3）f（1

11、）f（ 2）【考點】 奇偶性與單調(diào)性的綜合【專題】 計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】 利用函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性，即可得出結(jié)論【解答】 解：定義在 R上的函數(shù) f（x）在0 ，+）上是減函數(shù)，f（3）f （2）f（1），函數(shù)是偶函數(shù)，f（3）f （2）f（1），故選： A【點評】 本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合， 考查學(xué)生分析解決問題的能力， 比較基礎(chǔ)8過球的一條半徑的中點，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的表面積的比為（ ）ABCD考點】 球的體積和表面積專題】 計算題分析】 由題意設(shè)出球的半徑，圓 M的半徑， 二者與 OM構(gòu)成直角三角形，求出圓 M 的半徑， 然后可求球的表面積

12、，截面面積，再求二者之比解答】 解：設(shè)球的半徑為 R，圓 M的半徑 r ，由圖可知，R2= R2+r 2，2S球=4R2，截面圓 M的面積為：r 2= R2，則所得截面的面積與球的表面積的比為： 故選 A【點評】 本題是基礎(chǔ)題，考查球的體積、表面積的計算，仔細(xì)體會，理解并能夠應(yīng)用小圓的 半徑、球的半徑、以及球心與圓心的連線的關(guān)系，是本題的突破口9空間四邊形 ABCD的對角線 AC=8，BD=6，M，N 分別為 AB，CD的中點，并且 AC與 BD所成 的角為 90，則 MN=（）A10 B 6C8D5【考點】 異面直線及其所成的角【專題】 計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離【分析】

13、取 AD中點 P，連結(jié) MP、NP，則 MPBD，NPAC，從而MPN=90 ， MP=3， PN=4， 由此能求出 MN【解答】 解：空間四邊形 ABCD的對角線 AC=8，BD=6，M，N 分別為 AB，CD的中點，并且 AC與 BD所成的角為 90，取 AD中點 P，連結(jié) MP、 NP，則 MPBD，NPAC， MPN=90 ， MP=3，PN=4，MN=5【點評】 本題考查異面直線所成角的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題， 注意空間思維能 力的培養(yǎng)10已知 a 0，b0且 ab=1，則函數(shù) f（ x）=ax與函數(shù) g（x）=logbx 的圖象可能是 （ ）ACD考點】對數(shù)函數(shù)的圖像與性

14、質(zhì)；指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)專題】常規(guī)題型；數(shù)形結(jié)合分析】由條件 ab=1 化簡 g（ x）的解析式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得正確答案解答】解： ab=1，且 a0， b0所以 f （x）與 g（ x）的底數(shù)相同，單調(diào)性相同故選 B點評】 本題考查指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象，以及對數(shù)運算，屬中檔題11一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（A64 B 72 C80 D112【考點】 由三視圖求面積、體積【專題】 計算題 =+20 【分析】 由幾何體的三視圖可知，該幾何體下部為正方體，邊長為4，上部為三棱錐（以正方體上底面為底面），高為 3分別求體積，再相加即可【解答】 解：由幾何體的

15、三視圖可知，該幾何體下部為正方體，邊長為4，體積為 43=64，上部為三棱錐，以正方體上底面為底面，高為3體積 ，故該幾何體的體積是 64+8=72故選 B【點評】 本題考查由三視圖求幾何體的體積， 考查由三視圖還原幾何體直觀圖， 考查與錐體 積公式，本題是一個基礎(chǔ)題12已知函數(shù) f （ x） =log 2（ a2x 4ax +1），且 0a 0成立的 x 的取值范 圍是（ ）A（， 0） B（ 0， +） C（， 2log a2） D（ 2log a2， +）【考點】 對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)【專題】 計算題；轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】 首先利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到 a2x4ax+1 1

16、，然后整理， 利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性 求 x 范圍【解答】 解：由題意，使 f （x） 0 成立即 log 2（a2x4ax+1） 0，所以 a2x4ax+11， 整理得 ax 4，且 0 alog a4=2log a2；故選 D【點評】 本題考查了對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)運用；注意底數(shù)與 1 的關(guān)系二、填空題（ 4*5=20） .13計算：= 【考點】 對數(shù)的運算性質(zhì)【專題】 計算題【分析】 利用對數(shù)的運算性質(zhì)=mlogab 即可得到答案【解答】 解： +2 0故答案為： 【點評】 本題考查對數(shù)與指數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題14直線 3x+4y5=0到直線 3x+4y+15=0 的距離是 4 【

17、考點】 兩條平行直線間的距離【專題】 計算題；直線與圓【分析】 利用兩條平行線間的距離公式，可得結(jié)論【解答】 解：直線 3x+4y5=0與直線 3x+4y+15=0 平行，利用兩條平行線間的距離公式，可得 =4故答案為： 4【點評】 本題考查兩條平行線間的距離公式，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題15在邊長為 a 的等邊三角形 ABC中，ADBC于 D，沿 AD折成二面角 BADC 后，【考點】 二面角的平面角及求法【專題】 計算題面角 B【分析】 根據(jù)已知中 ADBC于 D，易得沿 AD折成二面角 B ADC后， BDC即為 AD C 的平面角，解三角形 BDC即可求出二面角 BADC的大小【

18、解答】 解： ADBC沿 AD折成二面角 BAD C后，ADBD，ADCD故BDC即為二面角 B ADC的平面角又 BD=CD=，BDC=60故答案為： 60且 AF=【點評】 本題考查的知識點是二面角的平面角的求法，解答的關(guān)鍵是求出二面角的平面角， 將問題轉(zhuǎn)化為一個解三角形問題16如圖， 平面 ABCD平面 ABEF，四邊形 ABCD是正方形， 四邊形 ABEF是矩形，=a， G是 EF的中點，則 GB與平面 AGC所成角的正弦值為【考點】 平面與平面垂直的性質(zhì)【專題】 空間位置關(guān)系與距離【分析】 由面面垂直的性質(zhì)證明 CBAG，用勾股定理證明 AGBG，得到 AG平面 CBG，從 而面 A

19、GC面 BGC，在平面 BGC內(nèi)作 BHGC，垂足為 H，則 BH平面 AGC，故 BGH是 GB與平面 AGC所成的角，解 RtCBG，可得 GB與平面 AGC所成角的正弦值【解答】 解： ABCD是正方形， CBAB，面 ABCD面 ABEF且交于 AB， CB面 ABEFAG， GB? 面 ABEF， CBAG，CBBG，又 AD=2a，AF=a， ABEF是矩形， G是 EF的中點，AG=BG= a， AB=2a，AB2=AG2+BG2，AGBG，BGBC=B， AG平面 CBG，而 AG? 面 AGC，故平面 AGC平面 BGC在平面 BGC內(nèi)作 BHGC，垂足為 H，則 BH平面

20、AGC， BGH是 GB與平面 AGC所成的角在 Rt CBG中， BH=， BG= a，sin BGH= =【點評】 本題考查面面垂直的判定方法，以及求線面成的角的求法，考查學(xué)生的計算能力， 屬于中檔題三、解答題（共 6 題， 70分，解答應(yīng)給出文字說明，證明過程及演算步驟. ）17求下列函數(shù)的定義域：（1）f （ x） =log 2（2）f （x） =【考點】 函數(shù)的概念及其構(gòu)成要素【專題】 函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】 根據(jù)函數(shù)成立的條件即可求出函數(shù)的定義域【解答】 解：（ 1）要使函數(shù)有意義，則 3x 20，即 x ，即函數(shù)的定義域為（，+）（2）要使函數(shù)有意義，則 42

21、x0，即 2x 4，得 x 2，即函數(shù)的定義域為（， 2 【點評】 本題主要考查函數(shù)的定義域的求解， 要求熟練掌握常見函數(shù)成立的條件， 比較基礎(chǔ)18在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，已知 ABC 的頂點坐標(biāo)為 A（2，4），B（1，2），C（ 2， 3）（1）求直線 BC的方程；（2）求邊 BC上高 AD所在的直線方程【考點】 待定系數(shù)法求直線方程；直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系【專題】 直線與圓【分析】 （1）利用兩點式求直線 BC方程；（2）由（ 1）可求 AD的斜率，利用點斜式求 AD方程【解答】 解：（ 1）因為 B（1， 2）， C（ 2，3）所以直線 BC的方程：整理得 5x+3y+

22、1=0 ；4= (x（2）因為邊 BC上高 AD，所以 AD 的斜率為 ，又 A（2，4），所以 AD的方程為 y 2），整理得所求方程： 3x 5y+14=0點評】 本題考查了直線方程的確定；用到了兩點式、點斜式求直線方程19已知函數(shù) f （ x）1）在下表中畫出該函數(shù)的草圖；2）求函數(shù) y=f （ x）的值域、單調(diào)增區(qū)間及零點考點】 對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用專題】 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析】 （1）根據(jù)函數(shù)的解析式畫出函數(shù)的圖象2）結(jié)合函數(shù)的圖象求出的值域、單調(diào)增區(qū)間及零點解答】 解：（ 1）函數(shù)草圖，如圖所示：f （x）=x21（x1）過點（ 0， 1），（ 1，0），顯然 f （ x）

23、 =x21（ x1）與都過點（ 1， 0），過點（ 2， 1）（2）y=f （x）的值域為 R， y=f （ x）的單調(diào)增區(qū)間： 0 ，1 ， y=f （ x）的零點為 x1=1， x2=1【點評】 本題主要考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，分段函數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題20某投資公司計劃投資 A、B兩種金融產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測， A產(chǎn)品的利潤 y 與投 資量 x 成正比例，其關(guān)系如圖 1， B產(chǎn)品的利潤 y與投資量 x 的算術(shù)平方根成正比例，其關(guān) 系如圖 2，（注：利潤與投資量單位：萬元）（1）分別將 A、 B 兩產(chǎn)品的利潤表示為投資量的函數(shù)關(guān)系式；（2）該公司已有 10 萬元資金， 并全部投

24、入 A、B 兩種產(chǎn)品中， 問：怎樣分配這 10 萬元投資， 才能使公司獲得最大利潤？其最大利潤為多少萬元？【考點】 函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用；二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值【專題】 應(yīng)用題【分析】 （1）由于 A產(chǎn)品的利潤 y 與投資量 x成正比例， B產(chǎn)品的利潤 y 與投資量 x 的算 術(shù)平方根成正比例，故可設(shè)函數(shù)關(guān)系式，利用圖象中的特殊點，可求函數(shù)解析式；（2）設(shè) A產(chǎn)品投入 x 萬元，則 B產(chǎn)品投入 10 x 萬元，設(shè)企業(yè)利潤為 y 萬元利用（ 1）由 此可建立函數(shù)，采用換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)利用配方法求函數(shù)的最值【解答】 解：（ 1）設(shè)投資為 x 萬元， A產(chǎn)品的利潤為 f （x）萬元， B產(chǎn)品

25、的利潤為 g（x） 萬元由題意設(shè) f （x） =k1x，由圖知 ，又 g（ 4） =1.6 ，從而2）設(shè) A產(chǎn)品投入 x 萬元，則 B產(chǎn)品投入 10 x 萬元，設(shè)企業(yè)利潤為 y 萬元（0 x10）=當(dāng) t=2 時，此時 x=104=6令 ，則答：當(dāng) A產(chǎn)品投入 6萬元，則 B產(chǎn)品投入 4 萬元時， 該企業(yè)獲得最大利潤，利潤為 2.8 萬元點評】 本題的考點是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用， 主要考查正比例函數(shù)模型， 關(guān)鍵是將實際問 題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題21如圖，在直三棱柱 ABCA1 B1C1中， AC BC，點 D是 AB的中點求證：（1）ACBC1；2） AC1平面 B1CD【考點】 直線與平面平行的判

26、定；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系【專題】 證明題【分析】 （1）利用線面垂直的判定定理先證明AC平面 BCC1B1， BC1? 平面 BCC1B1，即可證得 AC BC1；（2）取 BC1與 B1C的交點為 O，連 DO，則 OD是三角形 ABC1的中位線， ODAC 1，而 AC1? 平 面 B1CD，利用線面平行的判定定理即可得證解答】 證明：（ 1）在直三棱柱 ABCA1B1C1中， CC1平面 ABC，CC1AC，又 ACBC，BC CC1=C，AC平面 BCC1B1 ACBC1（2）設(shè) BC1 與 B1C的交點為 O，連接 OD，BCC1B1 為平行四邊形，則 O為 B1C中點，又 D是 AB 的中點，OD是三角形 ABC1的中位線， OD