金融學章節(jié)件南京大學課件

1、金融數(shù)學南京大學金融與保險學系7/20/20221導論第一章金融數(shù)學基礎第二章金融市場第三章資產(chǎn)組合復制和套利第四章股票與期權的二叉樹模型第五章連續(xù)時間模型和Black-Scholes公式第六章Black-Scholes模型的解析方法第七章對沖第八章互換第九章債券模型金融數(shù)學7/20/20222導 論在人類發(fā)展史上，伴隨著第一張借據(jù)的出現(xiàn)，金融（finance）就產(chǎn)生了。時至今日，金融學已形成了宏觀金融學和微觀金融學兩個分支，其需要解決的核心問題是：如何在不確定（uncertainty）的環(huán)境下，通過資本市場對資源進行跨期的（intertemporally）最優(yōu)配置（allocation）。金

2、融發(fā)展史表明，伴隨著金融學兩個分支學科的深化與發(fā)展，金融數(shù)學（Financial Mathematics）應運而生。7/20/20223如何理解：在不確定（uncertainty）的環(huán)境下，對資源進行跨期的最優(yōu)配置？ 荒島魯賓遜傳奇（Robinson Crusoe） 思路：求一個終身的跨期最優(yōu)消費投資問題； 工具：隨機最優(yōu)控制（Stochastic optimal control）導 論7/20/20224被薩繆爾森譽為金融理論“專家中的專家”、站在眾多“巨人肩上的巨人”的莫頓(Robert C Merton)曾這樣說過： 優(yōu)美的科學不一定是實用的，實用的科學也未必給人以美感，而現(xiàn)代金融理論卻

3、兼?zhèn)淞藘?yōu)美和實用。 導 論7/20/20225導論一、金融與金融數(shù)學二、金融數(shù)學的發(fā)展歷程三、金融數(shù)學的結構框架7/20/20226一、金融與金融數(shù)學金融是一個經(jīng)濟學的概念和范疇。通常，“金”是指資金，“融”是指融通，“金融”則指資金的融通，或者說資本的借貸，即由資金融通的工具、機構、市場和制度構成的有機系統(tǒng)，是經(jīng)濟系統(tǒng)的重要組成部分。 金融核心：在不確定的環(huán)境下，通過資本市場，對資源進行跨期（最優(yōu)）配置。如何理解其與傳統(tǒng)經(jīng)濟學的聯(lián)系與區(qū)別？7/20/202277/20/20228微觀金融分析和宏觀金融分析分別從個體和整體角度研究金融運行規(guī)律。金融決策分析主要研究金融主體投資決策行為及其規(guī)律，

4、服務于決策的“金融理論由一系列概念和定量模型組成?！苯鹑谥薪榉治鲋饕芯拷鹑谥薪闄C構的組織、管理和經(jīng)營。包括對金融機構的職能和作用及其存在形態(tài)的演進趨勢的分析；金融機構的組織形式、經(jīng)濟效率、混業(yè)與分業(yè)、金融機構的脆弱性、風險轉移和控制等。一、金融與金融數(shù)學7/20/20229 宏觀金融分析從整體角度討論金融系統(tǒng)的運行規(guī)律，重點討論貨幣供求均衡、金融經(jīng)濟關系、通貨膨脹與通貨緊縮、金融危機、金融體系與金融制度、貨幣政策與金融宏觀調(diào)控、國際金融體系等問題。與經(jīng)濟學的發(fā)展歷程相反，金融學是先有宏觀部分再有微觀部分。一、金融與金融數(shù)學7/20/202210完整的現(xiàn)代金融學體系將以微觀金融學和宏觀金融學為

5、理論基礎，擴展到各種具體的應用金融學學科，而數(shù)理化（同時輔助以實證計量）的研究風格將貫穿從理論到實踐的整個過程。在現(xiàn)代金融學的發(fā)展歷程中，兩次華爾街革命產(chǎn)生了一門新興的學科，即金融數(shù)學。隨著金融市場的發(fā)展，金融創(chuàng)新日益涌現(xiàn)，各種金融衍生產(chǎn)品層出不窮，這給金融數(shù)學的發(fā)展提出了更高的要求，同時也為金融數(shù)學這一門學科的發(fā)展提供了廣闊的空間。 一、金融與金融數(shù)學7/20/202211金融數(shù)學是金融學自身發(fā)展而衍生出來的一個新的分支，是數(shù)學與金融學相結合而產(chǎn)生的一門新的學科，是金融學由定性分析向定性分析與定量分析相結合，由規(guī)范研究向?qū)嵶C研究為主轉變，由理論闡述向理論研究與實用研究并重，金融模糊決策向精確

6、化決策發(fā)展的結果。一、金融與金融數(shù)學數(shù)學：研究現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系的科學。金融學：研究運作“金錢”事務的科學。金融數(shù)學：運用數(shù)學工具來定量研究金融問題的一門學科。與其說是一門獨立學科，還不如說是作為一系列方法而存在 。7/20/202212 金融數(shù)學是金融經(jīng)濟學的數(shù)學化。金融經(jīng)濟學的主要研究對象是在證券市場上的投資和交 易，金融數(shù)學則是通過建立證券市場的數(shù)學模型，研究證券市場的運作規(guī)律。 金融數(shù)學研究的中心問題是風險資產(chǎn)（包括衍生金融產(chǎn)品和金融工具）的定價和最優(yōu)投資策略的選擇，它的主要理論有：資本資產(chǎn)定價模型，套利定價理論，期權定價理論 及動態(tài)投資組合理論。 一、金融與金融數(shù)學7/20

7、/202213金融數(shù)學研究的主要內(nèi)容： 風險管理 效用優(yōu)化金融數(shù)學的主要工具是隨機分析和數(shù)理統(tǒng)計（特別是非線性時間序列分析）。 一、金融與金融數(shù)學7/20/202214一、金融與金融數(shù)學依據(jù)研究方法：7/20/202215規(guī)范金融數(shù)學： 強調(diào)運用高等數(shù)學、最優(yōu)化、概率論、微分方程等知識對金融原理進行推導。如：第一次華爾街革命（資產(chǎn)組合問題、資本資產(chǎn)定價模型）；第二次華爾街革命（期權定價公式）。實證金融數(shù)學： 強調(diào)運用統(tǒng)計學、計量經(jīng)濟學、時間序列分析等知識對金融原理進行假設檢驗，并得出一些經(jīng)驗結論。如：資產(chǎn)定價模型的檢驗、行為金融學的檢驗。一、金融與金融數(shù)學7/20/202216金融數(shù)學的研究歷

8、程大致可分為三個時期： 第一個時期為發(fā)展初期： 代表人物有阿羅（K . A rrow ）、德布魯（G . Debreu ）、林特納（J . Lintner ）、馬柯維茨（H . M . Markowitz ）、夏普（w . Sharp ）和莫迪利亞尼（F . Modigliani ）等。 二、金融數(shù)學的發(fā)展歷程7/20/202217 盡管早在1900年，法國人L巴恰利爾(Louis Bachelier)在一篇關于金融投機的論文中，已經(jīng)開始利用隨機過程工具探索那時尚無實物的金融衍生資產(chǎn)定價問題，但巴恰利爾僅是那個時代的一顆孤星，因為在隨后的半個世紀中，他的論文只是在幾個數(shù)學家和物理學家手中流傳（

9、奠定了現(xiàn)代金融學發(fā)展的基調(diào)）。馬科維茨(HMarkowitz)1952年發(fā)表的那篇僅有14頁的論文既是現(xiàn)代資產(chǎn)組合理論的發(fā)端，同時也標志著現(xiàn)代金融理論的誕生。稍后，莫迪利亞尼和米勒(Modigliani and Miller，1958)第一次應用無套利原理證明了以他們名字命名的M-M定理。直到今天，這也許仍然是公司金融理論中最重要的定理。同時，德布魯(Debreu，1959)和阿羅(Arrow，1964)將一般均衡模型推廣至不確定性經(jīng)濟中，為日后金融理論的發(fā)展提供了靈活而統(tǒng)一的分析框架。二、金融數(shù)學的發(fā)展歷程7/20/202218 這些基礎性的工作在后來的10年內(nèi)得到了兩個重要的發(fā)展：其一是，

10、在馬科維茨組合理論的基礎上，夏普(Sharpe，1964)、林特納(Lintner，1965)和莫辛(Mossin，1966)揭示，在市場出清狀態(tài)，所有投資者都將選擇無風險資產(chǎn)與市場組合證券的線性組合；另一重要發(fā)展是對阿羅-德布魯理論的推廣。赫什雷弗(Hirshleifer，1965，1966)顯示了阿羅-德布魯理論在一些基本的金融理論問題中的應用，并在一般均衡體系中證明了M-M定理，第一次將阿羅-德布魯框架與套利理論聯(lián)系起來。二、金融數(shù)學的發(fā)展歷程7/20/202219第二個時期為1969-1979 年：這一時期是金融數(shù)學發(fā)展的黃金時代，主要代表人物有莫頓（R . Merton ）、布萊克（

11、F . Black ）、斯科爾斯( M . Scholes ）、考克斯（J . Cox ）、羅斯（.Ross）、魯賓斯坦（M . Rubinstein ）、萊克(S.Lekoy）、盧卡斯（D . Lucas ）、布雷登（D . Breeden ）和哈里森（J . M . Harrison ) 等。 二、金融數(shù)學的發(fā)展歷程7/20/202220 首先，CAPM理論得到一系列的發(fā)展。在夏普-林特納-莫辛單期CAPM基礎上，布萊克(Black，1972)對借貸引入限制，推導了無風險資產(chǎn)不存在情況下的“CAPM”。薩繆爾森(1969)、魯賓斯坦(Rubinstein，1974，1976)、克勞斯和利曾

12、伯格(Kraus and Litzenberger，1978)以及布倫南(Brennan，1970)等將馬科維茨的靜態(tài)分析擴充至離散時間的多期分析，得到了跨期CAPM。莫頓(Merton，1969，1971，1973a)則提供了連續(xù)時間的CAPM版本(稱為ICAPM)。羅斯(Ross，1976a)提出與CAPM競爭的套利定價理論(APT)。值得強調(diào)的是，莫頓的這些文獻不僅是建立了連續(xù)時間內(nèi)最優(yōu)資產(chǎn)組合模型和資產(chǎn)定價公式，而且首次將伊藤積分引入經(jīng)濟分析。 二、金融數(shù)學的發(fā)展歷程7/20/202221二、金融數(shù)學的發(fā)展歷程 1970年代最具革命性意義的事件無疑當數(shù)布萊克和斯科爾斯(Black an

13、d Scholes，1973)推導出簡單的期權定價公式，以及莫頓(Merton，1973b)對該定價公式的發(fā)展和深化。 在這個階段的后期，哈里森和克雷普斯(Harrison and Kreps，1979)發(fā)展了證券定價鞅理論(theory of martingale pricing)，這個理論在目前也仍然是金融研究的前沿課題。 同一時期另一引人注目的發(fā)展是非對稱信息分析方法開始使用。7/20/202222金融數(shù)學發(fā)展的第三個時期：1980 年至今是金融數(shù)學發(fā)展的第三個時期，是成果頻出、不斷成熟完善的時期。該期間的代表人物有達菲（D . Duffie ）、卡瑞撤斯（I . Karatzas ）、

14、考克斯（J . Cox ）、黃（C . F . Huang ）等。 二、金融數(shù)學的發(fā)展歷程7/20/202223 1980年代以后，資產(chǎn)定價理論和不完全信息金融市場分析繼續(xù)發(fā)展。在資產(chǎn)定價理論方面，各種概念被統(tǒng)一到阿羅-德布魯一般均衡框架下，顯得更為靈活和適用。鞅定價原理逐漸在資產(chǎn)定價模型中占據(jù)了中心位置，達菲和黃(Duffle and Huang，1985)等在此基礎上大大地推廣了布萊克-斯科爾斯模型。 在非對稱信息分析方面，非合作博弈論及新產(chǎn)業(yè)組織理論的研究方法得到廣泛應用。戴蒙德(Diamond，1984)在利蘭-派爾模型基礎上，進一步揭示了金融中介因風險分散產(chǎn)生的規(guī)模經(jīng)濟利益，并提出了

15、金融中介代理最終貸款者監(jiān)督借款企業(yè)的效率優(yōu)勢。戴蒙德和迪布維克(Diamond and Dybvig，1983)建立了提供流動性調(diào)節(jié)服務的銀行模型；戴蒙德(1989)、霍姆斯特龍和梯羅爾(Holmstrom and Tirole，1993)又以道德危險(moral hazard)現(xiàn)象為基礎，解釋了直接金融和中介金融共存的理由。至此，金融中介最基本的經(jīng)濟功能得到了較為完整的模型刻畫。二、金融數(shù)學的發(fā)展歷程7/20/202224三、金融數(shù)學的結構框架7/20/202225 第一部分是金融數(shù)學方法篇，闡述了金融數(shù)學的基本數(shù)學方法和計量經(jīng)濟學在金融數(shù)學中的應用，重點講述了微積分、線性代數(shù)、概率論、計量

16、經(jīng)濟學在金融數(shù)學中的應用。 第二部分是金融數(shù)學方法核心篇，闡述了資本資產(chǎn)定價模型和期權定價模型。第三部分是金融數(shù)學應用篇，闡述了金融數(shù)學在貨幣市場、外匯市場、證券市場的應用。三、金融數(shù)學的結構框架7/20/202226第一章金融數(shù)學基礎第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應用第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/202227第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用一、指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的應用（一）連續(xù)復利和實際利率 若在任何時刻 ，某人在銀行存款總額為A(t)，計算周期為h0，則在t=h，初始的存款總額A(0)增至A(h)7/20/202228第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用利息僅僅

17、考慮利息的大小是沒有意義的，必須考慮本金和存期稱單位時間內(nèi)的相對回報率r(h)為0,h上的利率7/20/202229第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用7/20/202230第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用一般而言，利率r不是常數(shù)，若記rj為時間區(qū)間jh,(j+1)h上的定期存款利率，則在時刻t=kh，存款總額為：若h=1， rj=r，則7/20/202231第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用通常利率是指年利率，活期利率類似于期限為1天的定期，但它始終是單利。 在美國的利率史上，曾經(jīng)有過長期利率低于短期利率的例子，這種情況會在什么情況下出現(xiàn)？ 在經(jīng)濟由高速增長階段進入衰退階段時會出現(xiàn)。7/20/20223

18、2第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用 對給定t0(由于r為年利率，t的單位為年)，記k=t/h，則在時刻t的存款總額A(t;h)(其中對任意h大于0，A(0;h)=A(0)，7/20/202233第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用A(t)稱為是由（常值）利率為r連續(xù)復利得到的存款總額。注意：是 的一個近似，而不是相反。7/20/202234第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用 考慮任何一個時間區(qū)間t,t+h(h0)，則瞬時利率被定義為瞬時單位時間中的相對回報率，即解此微分方程得7/20/202235第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用只要利率是非負的，總有即，銀行存款總額是非減的。 基于此，銀行存款是無風險的。7

19、/20/202236第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用附：7/20/202237例：求100元本金，以10%復利兩年的終值 每年計算復利一次 半年計算復利一次 連續(xù)計算復利能得出什么結論？ 第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用7/20/202238第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用解：7/20/202239（二）實際利率與名義利率 第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用7/20/202240第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用例：名義利率為10% ，期限為2 年，求： （1）半年計算復利一次的實際年利率； （2）連續(xù)計算復利的實際年利率。 能得出什么結論？ 7/20/202241第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用解：7/20

20、/202242（三）銀行按揭貸款第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用貸款P元，年利率為r，分n期等額償還，每期應償還多少？已知現(xiàn)值求年金（資金還原公式）7/20/202243例：某人貸款余額為20萬元，年利率為6 %，計劃辦理5 年銀行按揭，每個月月未應向銀行還款多少錢？ 第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用7/20/202244第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用解：7/20/202245第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用例：汽車每輛售價100000元，成交時付款34000元，其余66000元分11個月付款，即每月6000 元，試以月息4.2 ，求其現(xiàn)值。（四）分期付款已知年金求現(xiàn)值7/20/202246第一節(jié)微

21、積分在數(shù)理金融中的應用解：7/20/202247（五）銀行貼現(xiàn)第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用應得兌現(xiàn)額實得兌現(xiàn)額7/20/202248例 面值5000元的匯票，20天后到期，銀行月息為6，求貼息額與兌現(xiàn)額。 第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用7/20/202249第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用課后思考應得兌現(xiàn)額（4980.08）應貼利息(19.92)實際貼息(20)實際兌現(xiàn)額(4980)7/20/202250（六）利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)計算時間最優(yōu)問題 例為投資買入的土地以下面的公式增值： 在連續(xù)計算復利下貼現(xiàn)率為0.09，為使土地的現(xiàn)值最大，應該持有該土地多久？ 第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用7/2

22、0/202251第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用解：7/20/202252第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用二、微分方法的運用（一）邊際效用函數(shù)的分析例：已知總成本函數(shù) 利用微積分知識做出總成本、平均成本和邊際成本三者之間關系的圖形。課后習題！7/20/202253 某債券面額為1000元，5年期，票面利率為10%，現(xiàn)以950元的發(fā)行價向全社會公開發(fā)行。（1）若投資者認購后持至第3年末以995元的市價出售，則持有期收益率是多少？（2）若投資者認購后持至期滿，則其到期收益率是多少？第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用7/20/202254第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用（12.11%，11.58%）7/20/

23、202255（二）經(jīng)濟函數(shù)最優(yōu)化例：已知一個企業(yè)的總收益水平是總成本函數(shù)是設，求其最大利潤第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用7/20/202256第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用解：建立利潤函數(shù)一階條件二階條件7/20/202257某個企業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)為，其中K和L分別為資本和勞動的投入量，資本和勞動的價格分別為r和w。請寫出該企業(yè)的成本函數(shù)C（q,r,w）的具體形式。第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用7/20/202258第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用由該企業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)可以知道，該企業(yè)必定會在K=L時組織生產(chǎn)，否則有一種要素存在浪費現(xiàn)象。（3分）因此，生產(chǎn)函數(shù)可以表示為（2分）可以得到成本最小化時的（2

24、分）所以企業(yè)的成本（3分）7/20/202259第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用三、積分方法的運用（一）凈投資時間積分的測度例：給定凈投資，且當時初始資本存量是150，求資本函數(shù)，即時間路徑7/20/202260第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用解：為什么？7/20/202261第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用例：邊際儲蓄傾向，當收入是25時，儲蓄為5。求儲蓄函數(shù)。7/20/202262第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用解：7/20/202263第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用（二）消費者剩余和生產(chǎn)者剩余的測度例：若市場所銷售商品的數(shù)量和市場價格是由需求函數(shù)決定的，設一個利益最大化的廠商所面臨的需求函數(shù)是

25、，其邊際成本函數(shù)為 求消費者剩余。7/20/202264第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用解：收益函數(shù)TR邊際成本等于邊際收益市場均衡價格與產(chǎn)量消費者剩余7/20/202265第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用四、微分方程和差分方程的運用（一）運用微分方程決定動態(tài)平衡點例：給定需求函數(shù)和供給函數(shù)，均衡價格是：。若市場上價格的變化率是正的，且為關于超額需求的線性函數(shù)分析在什么條件下，當時，將趨近于，這個條件就是市場上的動態(tài)價格穩(wěn)定的條件。7/20/202266第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用解：7/20/202267第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用7/20/202268第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用（二）運

26、用可分離變量微分方程求投資函數(shù)例：若邊際儲蓄傾向s和邊際資本產(chǎn)出比率R都是常數(shù)，計算可達到預期增長所需的投資函數(shù)。7/20/202269第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用解：7/20/202270第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用（三）運用差分方程制定滯后收入決定模型7/20/202271第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用例：給出求解。7/20/202272第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用解：計算Y1,Y0并檢驗。7/20/202273第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應用（一）矩陣的運用 對于一個簡單的二部門經(jīng)濟，當Y=C+I，商品市場是均衡的，當貨幣供給（Ms）等于貨幣需求（Md）時，貨幣市場是均衡的，貨幣需

27、求由貨幣的預備交易需求（Mt）和特殊需求（Mz）組成。例：一個二部門經(jīng)濟 求均衡收入和均衡利率。7/20/202274第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應用解：7/20/202275第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應用（二）證券組合收益率和風險的測度例：某投資組合由一個風險資產(chǎn)組合和一個無風險資產(chǎn)構成，風險資產(chǎn)組合中包括兩個證券A、B，它們的預期收益率分別為10%和8%，證券A的方差為，證券B的方差為，協(xié)方差為，兩種證券權重均為0.5，無風險證券的預期收益率為5%，在證券組合中的權重為0.25，試計算該投資組合的總預期收益率和總風險。7/20/202276第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應用解：7/20/2

28、02277第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應用二、特殊行列式和矩陣的應用（一）雅可比(Jacobi) 行列式 對m個n（m=n）元函數(shù)7/20/202278第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應用例：已知 利用雅可比行列式判斷其函數(shù)相關性。7/20/202279第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應用設種產(chǎn)品的市場需求映射為其中為價格向量為需求向量就是第種產(chǎn)品的需求函數(shù)7/20/202280第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應用根據(jù)隱函數(shù)存在定理，只要對任何價格向量雅可比(Jacobi)行列式都不為零，就能存在需求映射的逆映射雅可比行列式7/20/202281第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應用假定雅可比行列式處處不為零，

29、從而的逆映射存在。把寫成則可把叫做第種產(chǎn)品的反需求函數(shù)設第種產(chǎn)品的成本函數(shù)，則廠商的總成本函數(shù)為。第種產(chǎn)品的收益函數(shù)為，廠商的總收益為7/20/202282壟斷廠商的利潤函數(shù)為廠商要決定一個產(chǎn)出向量，使利潤最大化，根據(jù)一階條件即每種產(chǎn)品的邊際成本都等于這種產(chǎn)品的各種邊際收益之和 第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應用7/20/202283第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應用（二）海塞行列式7/20/202284第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應用如果|H|的所有主子式為正，則|H|為正定的，滿足極小值的二階條件；如果|H|的所有主子式的符號在負與正之間交替出現(xiàn)，則|H|為負定的，滿足極大值的二階條件；7/2

30、0/202285第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應用例：已知需求函數(shù)和總成本函數(shù)為：試求：（1）；（2）檢驗利潤函數(shù)的一階條件；（3）利用海塞行列式檢驗二階條件，使利潤最大化。7/20/202286第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應用解：7/20/202287第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應用7/20/202288第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用一、隨機過程的含義1. 如果對變化過程的全過程做一次觀察,得到一個位置與時間關系的函數(shù)x1(t ),若再次觀察，又得到函數(shù)x2(t ), ,因而得到一族函數(shù).2. 如果在時刻t觀察質(zhì)點的位置x(t ),則x(t )是一個隨機變量,這樣對于每個時刻t便得到一個隨機

31、變量X(t ),于是就得到一族隨機變量X(t),t0（最初始時刻為t=0）,它描述了此隨機的運動過程.7/20/202289 定義1 設E是一隨機實驗,樣本空間為=，參數(shù)T(-,+),如果對每個 ,總有一個確定的時間函數(shù)X(,t)與之對應,這樣對于所有的 ,就得到一族時間t的函數(shù), 稱此族時間t的函數(shù)為隨機過程,而族中每一個函數(shù)稱為這個隨機過程的樣本函數(shù)。 第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/202290定義2：設E是一隨機實驗，樣本空間為=，參數(shù)T(-,+),如果對任意t T ，有一定義在上的隨機變量X(,t)與之對應,則稱X(,t),t T為隨機過程，簡記為X(t),t T 或X(t

32、),也可記為X(t). 第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/202291注釋：(1) 隨機過程X(t),t T是定義在T上的二元函數(shù)，可以從兩個角度去理解, 因而有如上的兩個定義。 在理論分析往往用隨機變量族的描述方式，在實際測量和處理中往往采用樣本函數(shù)族的描述方式。(2)通常將隨機過程X(t),t T 解釋為一個物理系統(tǒng)， X(t) 表示系統(tǒng)在時刻t所處的狀態(tài), X(t)的所有可能狀態(tài)所構成的集合稱為狀態(tài)空間，記為I，對于給定的t0 T，及x I,X(t0)=x 說成是在時刻 t0，系統(tǒng)處于狀態(tài) x。(3)從定義2的角度上看，隨機過程是有限維隨機變量的推廣。 第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中

33、的應用7/20/202292隨機變量：設E是隨機試驗，它的樣本空間是 ,如果對其中的每一個 i，總有一個實數(shù)X( i)與之對應，這樣就得到一個定義在S上的單值實值函數(shù)X=X()，稱之為隨機變量。 隨機變量X是定義在樣本空間上的取值為實數(shù)的函數(shù)，即樣本空間中每一個點，也就是每個基本事件都有實數(shù)軸上的點與之對應。 第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/202293利用拋擲一枚硬幣的試驗定義此時，樣本空間相應的樣本函數(shù)第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/202294第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/202295第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/202296二、隨機過程的分類

34、第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用1按狀態(tài)空間I和時間T是可列集還是連續(xù)集分類：(1). 連續(xù)型隨機過程:T是連續(xù)集,且tT,X(t)是連續(xù)型隨機變量,則稱過程X(t),tT為連續(xù)型隨機過程.(2).離散型隨機過程:T是連續(xù)集，且tT,X(t)是離散型隨機變量，則稱過程X(t),tT為離散型隨機過程。7/20/202297第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用(3).連續(xù)型隨機序列: T是可列集,且tT, X(t)是連續(xù)型隨機變量，則稱過程X(t),tT為連續(xù)型隨機序列. (4).離散型隨機序列:T是可列集, 且tT, X(t)為離散型隨機變量, 則稱過程X(t),tT為離散型隨機序列。 通常T取為T

35、 =0,1,2或T =0, 1，2,此時隨機序列常記成Xn,n=0,1,或 Xn,n0。 7/20/2022982按分布特性分類： 依照過程在不同時刻狀態(tài)的統(tǒng)計依賴關系分類。 獨立增量過程 馬爾可夫過程 平穩(wěn)過程 等等第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/202299 1n維分布函數(shù)： 設X(t),tT是隨機過程，對于任意整數(shù)n1及T中任意n個不同的參數(shù)t1,t2，tn，稱隨機向量（X(t1),X(t2),X(tn)）的分布函數(shù) 為隨機過程X(t),tT的n維分布函數(shù).三、隨機過程的概率分布第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/2022100 變化n及t1,t2，tn所得到的有限維分布

36、函數(shù)的全體 稱為X(t),tT的有限維分布函數(shù)族。 當n=1時,得到一維分布函數(shù)F(x;t)=PX(t)x, 一維分布函數(shù)的全體 F(x;t), tT稱為一維分布函數(shù)族.第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/20221012隨機過程的數(shù)字特征為X(t),tT的均方值函數(shù). 為X(t),tT的方差函數(shù). 為X(t),tT的協(xié)方差函數(shù). 為X(t),tT的均值函數(shù). 第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用 Rx(s,t)=EX(s)X(t)為X(t),tT的自相關函數(shù)， 簡稱相關函數(shù)7/20/2022102均值函數(shù)表示X(t),tT在各時刻擺動的中心；方差函數(shù)表示X(t),tT在各時刻關于均值函數(shù)的

37、平均偏離程度；Rx(s,t)，Cx(s,t) 表示X(t),tT在兩個不同時刻狀態(tài)的統(tǒng)計依賴關系。第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用釋義：7/20/2022103第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/2022104第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/2022105 3.諸數(shù)字特征的關系第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用其中，最重要的數(shù)字特征是均值函數(shù)與自相關函數(shù)。7/20/2022106例: 設隨機過程 X(t)=Ycost+Zsint,t0,其中Y,Z是相互獨立的隨機變量，且E(Y)=E(Z)=0,D(Y)=D(Z)= 2，求X(t),t0均值函數(shù) x(t)和自相關函數(shù)Rx(s,t)。

38、 第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/2022107第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用解: x(t)=EX(t)=EYcost+Zsint =costE(Y)+sint E(Z)=0,因為Y與Z相互獨立,于是 7/20/2022108第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用例2: 考慮隨機過程 X(t)=acos(t+),t(-,+) 其中a和是常數(shù)，是在（0，2）上服從均勻分布的隨機變量，通常稱此隨機過程為隨機相位正弦波，求隨機相位正弦波的均值函數(shù)、方差函數(shù)和自相關函數(shù). 7/20/2022109解:的概率密度為 于是 第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/2022110例3: 設隨機過程X

39、(t)=Y+Zt, tT=(-,+),其中Y，Z是相互獨立的服從N(0,1)的隨機變量，求X(t),-t+的一，二維概率密度。注：有限個相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/2022111解: tT，由正態(tài)分布的性質(zhì)知X(t)服從正態(tài)分布: EX(t)=E(Y)+tE(Z)=0 DX(t)=D(Y)+t 2 =1+t 2 第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用所以一維概率密度為 7/20/2022112又由正態(tài)分布的性質(zhì)知，對于任意 s,tT，(X(s),X(t)服從二維正態(tài)分布而 EX(s)= EX(t)=0 DX(s)=1+s2 DX(t)=1

40、+t2 第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/2022113所以二維概率密度為 其中=X(t1, t2). 第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/2022114四、二維隨機過程 1定義： X(t)、Y(t)為定義在同一樣本空間和同一參數(shù)集T上的隨機過程，對于任意tT， (X(t),Y(t)是二維隨機變量，則稱(X(t),Y(t),tT為二維隨機過程。 第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/20221152有限維分布函數(shù)和獨立性 (1) (X(t),Y(t),tT為二維隨機過程,對于任意的正整數(shù)n和m，以及任意的t1,t2,tn；t1, t2,tmT ，任意的x1,x2,xn；y1,

41、y2,ym R,稱n+m元函數(shù)F(x1,x2,xn；y1,y2,ym；t1,t2,tn；t1,t2,tm) =PX(t1)x1, X(tn) xn；Y(t1) y1,Y(tm) ym為(X(t),Y(t),tT的n+m維分布函數(shù)，類似的可定義有限維分布函數(shù)族。 第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/2022116（2）若對于任意的正整數(shù)n和m，以及任意的t1,t2,tn；t1, t2,tmT，任意的x1,x2,xn；y1,y2,ym R,有 F(x1,x2,xn；y1,y2,ym；t1,t2,tn；t1,t2,tm)=FXX(t1)x1, X(tn) xn FYY(t1) y1,Y(tm)

42、 ym第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用 稱X(t)與Y(t)相互獨立，其中FX，F(xiàn)Y分別為X(t)，Y(t)的有限維分布函數(shù).7/20/20221173二維隨機過程的數(shù)字特征(1) 互相關函數(shù): 稱 RXY(s,t)=EX(s)Y(t) 為(X(t),Y(t),tT的互相關函數(shù). 若對于任意的s,tT, RXY(s,t)=0,稱X(t)與Y(t)正交. 第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/2022118(2)互協(xié)方差函數(shù)： 若對于任意的s,tT,有CXY(s,t)=0, 稱X(t),Y(t)不相關.若X(t),Y(t)相互獨立，且二階矩存在，則X(t),Y(t)不相關. 稱為(X(t),

43、Y(t),tT的互協(xié)方差函數(shù).顯然第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/2022119例: 設有兩個隨機過程X(t)=g1(t+ )和Y(t)=g2(t + )，其中g1(t )和g2(t )都是周期為L的周期函數(shù), 是在(0,L)上服從均勻分布的隨機變量.求互相關函數(shù)RXY(s，t)的表達式.第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/2022120第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用令v=s+x , 利用g1(t )和g2(t )的周期性，有 解: 7/20/2022121例: 設X(t)為信號過程,Y(t)為噪聲過程，令W(t)=X(t)+Y(t)，則 (1) W(t)的均值函數(shù)為 W(t

44、)= X(t)+ Y(t). (2) 其自相關函數(shù)為 RW(s,t)=EX(s)+Y(s)X(t)+Y(t) =RX(s,t)+RXY(s,t)+RYX(s,t)+RY(s,t) 兩個隨機過程之和的自相關函數(shù)為各個隨機過程的相關函數(shù)與它們的互相關函數(shù)之和。若兩個隨機過程的均值函數(shù)均恒為零，且互不相關時，有 RW(s,t)= RX(s,t)+RY(s,t) 第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/2022122五、各態(tài)歷經(jīng)性 如果能對過程X(t)進行多次重復觀察從而得到多條樣本曲線，用統(tǒng)計方法可以估計其均值及自相關函數(shù) 在實際中,常用如下的方法確定x及Rx()： 第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應

45、用7/20/2022123 由于所采用的極限(收斂)的標準不同得到的遍歷性定理也不同，關于平穩(wěn)過程的遍歷性主要有兩類：(1)對強平穩(wěn)過程在幾乎處處收斂的意義下的遍歷性定理；(2)對弱平穩(wěn)過程在均方收斂的意義下的遍歷性定理； 其中T充分大，X(t)是X(t)的一個樣本函數(shù)。即：集平均（均值和自相關函數(shù)等）實際上可以用一個樣本函數(shù)在整個時間軸上的平均值代替。這樣節(jié)約了大量的工作量。第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/2022124平穩(wěn)過程遍歷性的定義： 首先引入平穩(wěn)過程X(t)，-t+沿整個時間軸上的兩種時間平均：設X(t)為均方連續(xù)的平穩(wěn)過程，且對固定的， X(t)X(t+) 也是均方連續(xù)

46、的平穩(wěn)過程 時間相關函數(shù)： 時間均值：第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/2022125 1定義(1). 設X(t)為平穩(wěn)過程，若=EX(t)=x以概率1成立，稱X(t)的均值具有均方遍歷性。(2)若對，=EX(t)X(t+)=Rx()以概率1成立，稱X(t)的自相關函數(shù)具有均方遍歷性。(3)若(1)、(2)均成立，則稱該過程具有均方遍歷性，或稱為遍歷過程。第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/2022126均方收斂的定義：設有二階矩隨機序列Xn,n=1,2,和隨機變量X,E(X2)+,若有 則稱Xn均方收斂于X,記作 均方極限的性質(zhì) 第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/202

47、2127均方連續(xù) 設X(t),tT是隨機過程,若對某t0T,有 稱X(t),tT在t0均方連續(xù)，若對任意tT，X(t),tT均方連續(xù)，稱X(t),tT在T上均方連續(xù)。記為 第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/2022128解：此過程為平穩(wěn)過程 即：用時間平均和集平均算得的均值和自相關函數(shù)相同。 但并不是任意一個平穩(wěn)過程都是具有遍歷性的。第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用例：計算隨機相位正弦波X(t)=acos(t+)=acostcos-sintsin的時間平均和. 7/20/2022129 事實上， = = =Y. 即：時間均值隨Y取不同的可能值而不同。 因Y的方差異于0，這樣就不可能以概

48、率1等于確定函數(shù)EX(t)=EY。第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用例如：平穩(wěn)過程X(t)=Y，Y是方差異于0的隨機變量，就不是遍歷的。7/20/2022130 平穩(wěn)過程遍歷性的充要條件 (均值遍歷性定理) ：均方連續(xù)的平穩(wěn)過程X(t)關于均值具有遍歷性 第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/2022131證明：由遍歷性定義，只須證： 與上式等價（方差為零）。 第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/2022132第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用其中，令 ，則 7/20/2022133第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/2022134推論1. 均方連續(xù)的平穩(wěn)過程關于均值具有遍歷性 推

49、論2. 均方連續(xù)的平穩(wěn)過程X(t)，若滿足 ，則它關于平均值具有均方遍歷性X=0。 證：因為 第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/20221352(自相關函數(shù)遍歷性定理) 均方連續(xù)的平穩(wěn)過程X(t)，且對給定,X(t)X(t+)也是均方連續(xù)的平穩(wěn)過程，則X(t)關于自相關函數(shù)具有遍歷性 令=0，即得均方值遍歷性定理。 在實際問題中，通常只考慮定義在0t+上的平穩(wěn)過程，此時上兩定理所有時間平均應以0t+上的平均代替，相應的各態(tài)歷經(jīng)性如下： 第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/2022136 1.X(t)關于均值具有遍歷性 2.X(t)關于自相關函數(shù)具有遍歷性 第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融

50、中的應用7/20/2022137說明：各態(tài)歷經(jīng)性定理的重要價值在于它從理論上給出了如下保證： 一個平穩(wěn)過程X(t)，只要滿足上述兩條件，便可以根據(jù)“以概率1成立”的含義，從一次試驗所得到的樣本函數(shù)x(t)來確定該過程的均值和自相關函數(shù)。即： 第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/2022138六、幾類隨機過程第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用（一）平穩(wěn)過程嚴平穩(wěn)隨機過程弱平穩(wěn)隨機過程7/20/2022139嚴平穩(wěn)隨機過程1定義：設X(t),tT是隨機過程,如果對于任意的常數(shù)h和任意正整數(shù)n,及任意的n維隨機向量(X(t1),X(t2),X(tn)和(X(t1+h),X(t2+h),X(tn+

51、h)具有相同的分布,則稱隨機過程X(t),tT具有平穩(wěn)性,并同時稱此過程為嚴平穩(wěn)過程。 平穩(wěn)過程的參數(shù)集T,一般為(- ,+),0,+, 0,1,2,0,1,2,以下如無特殊說明，均認為參數(shù)集 T=(-,+).當定義在離散參數(shù)集上時,也稱過程為嚴平穩(wěn)時間序列。 第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/2022140例： 設Xn,n1是獨立同分布的隨機變量序列,且XnU(0,1),n=1,2, 討論Xn,n1是否為嚴平穩(wěn)時間序列并求E(Xn)與E(Xn Xm),n、m=1,2,. 第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/2022141解：設U(0,1)的分布函數(shù)為F(x),則對任意的正整數(shù)k

52、,任意0n1 n2 nk , 及的分布函數(shù)均為可見，滿足定義條件，故Xn,n0是嚴平穩(wěn)時間序列。因為XnU(0,1)，且相互獨立，所以 E(Xn)=1/2，第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/20221422嚴平穩(wěn)過程的數(shù)字特征定理 如果X(t),tT是嚴平穩(wěn)過程，且對任意的tT， EX2(t)+（二階矩過程）,則有(1)EX(t)=常數(shù)，tT；(2)EX(s)X(t)只依賴于t-s,而與s,tT的具體取值無關。第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/2022143證：(1)由Cauchy-Schwarze不等式 EX(t)2EX2(t)+, 所以EX(t)存在。 在嚴平穩(wěn)過程的定義中

53、，令h=-s,由定義X(s)與X(0)同分布，所以EX(t)= EX(0)為常數(shù)。一般記為X. 第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/2022144(2) 由Cauchy-Schwarze不等式 EX(s)X(t)2 EX2(s)EX2(t)+, 所以EX(s)X(t)存在。 在嚴平穩(wěn)過程的定義中，令h=-s, 由定義(X(s),X(t)與(X(0),X(t-s)同分布，即有EX(s)X(t)= EX(0)X(t-s) ,即Rx(t,t+)=EX(0)X()=Rx () 所以，Rx (s,t)只依賴于t-s,而與s,tT的具體取值無關。 進而，Cx()=EX(t)-xX(t+)-x=Rx

54、()-x2只與有關； x2=Cx (0)=Rx (0)-x2 為常數(shù).第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/2022145(弱)平穩(wěn)過程1 定義 設X(t),tT是二階矩過程(EX2(t)+),如果 (1) EX(t)=x(常數(shù))，tT； (2) 對任意的t,t+T, Rx()=EX(t)X(t+)只依賴于。則稱X(t),tT為寬平穩(wěn)過程,簡稱為平穩(wěn)過程.第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/2022146 特別地，當T為離散參數(shù)集時，若隨機序列Xn(t)滿足E(Xn2)+,以及 (1) EXn= X(常數(shù))，nT； (2) R X(m)=EXnXn+m只與m有關。稱Xn為寬平穩(wěn)隨機序

55、列或?qū)捚椒€(wěn)時間序列。第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/20221472嚴平穩(wěn)和寬平穩(wěn)的關系 (1)嚴平穩(wěn)過程不一定是寬平穩(wěn)過程,因為嚴平穩(wěn)的過程不一定是二階矩過程,但當嚴平穩(wěn)過程是二階矩過程時,則它一定是寬平穩(wěn)過程。 (2)寬平穩(wěn)過程不一定是嚴平穩(wěn)過程,但對于正態(tài)過程,兩者是等價的 。第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/2022148證明：“” 因正態(tài)過程是二階矩過程，由嚴平穩(wěn)過程性質(zhì)，顯然成立。 “”由已知：X(t)=X，Rx(t,t+)只與有關。 由嚴平穩(wěn)過程定義，對任意的正整數(shù)n及任意t1,t2,tnT, t1+h,t2+h,tn+hT,要證：（X(t1),X(t2), X

56、(tn)）與（X(t1+h),X(t2+h), X(tn+h)）同分布（*）。 而正態(tài)過程的分布由X及CX(s,t)決定，X為常數(shù)。 即(*)式成立。 第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/2022149（二）獨立增量過程1定義 設X(t),t0為一隨機過程,對于0st,稱隨機變量X(t)-X(s)為隨機過程在區(qū)間s,t上的增量. 若對于任意的正整數(shù)n及任意的0t0t1t2s0，W(t)-W(s)服從正態(tài)分布N(0,2(t-s)； (3)W(0)=0. (三) 維納過程 則稱此過程為維納過程，下圖展示了它的一條樣本曲線。 第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/20221577/20/2

57、0221582維納過程的性質(zhì) (1). 維納過程 W(t)，t0為正態(tài)過程(每一個有限維分布均為正態(tài)分布)。 第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/2022159 它是獨立正態(tài)隨機變量之和，所以它是正態(tài)隨機變量，由正態(tài)分布的性質(zhì)知(W(t1)，W(t2)，W(tn)服從n維正態(tài)分布，因此W(t)為正態(tài)過程。 第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用證明: 對于任意正整數(shù)n和任意時刻t1,t2,tn(0t1t2tn)以及任意實數(shù)u1，u2，un，記 7/20/2022160 (2). 維納過程的均值函數(shù)、自協(xié)方差函數(shù)、自相關函數(shù)分別為 第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用7/20/2022161（四）馬

58、爾科夫過程 直觀上，過程（或系統(tǒng)）在時刻t0所處的狀態(tài)為已知的條件下,過程在時刻tt0所處狀態(tài)的條件分布與過程在時刻t0之前所處的狀態(tài)無關。 用分布函數(shù)表達此性質(zhì)，設隨機過程X(t),tT，狀態(tài)空間為，若對于t 的任意n個值t1t20標的資產(chǎn)不支付收益的證券。如果上式不成立，則會出現(xiàn)什么情況？7/20/2022196第二節(jié)遠期標的資產(chǎn)為不支付收益證券的t,T上遠期在任何時刻st，T的價值7/20/2022197第二節(jié)遠期組合復制：假定初始時刻t0,T有兩個證券組合組合1:一份多頭遠期合約（在時刻t的價值f(t;t,T）=0),外加數(shù)額為q(t,T)e-r(T-t）的現(xiàn)金。組合2：價值為P(t)

59、的一股標的資產(chǎn)。7/20/2022198第二節(jié)遠期例1：假定某股票目前的股價為50元，且未來6個月內(nèi)不支付紅利，若無風險利率為5%,簽定一個6個月期的以此種股票為標的資產(chǎn)的遠期合約，遠期的價格應為多少？例2：一個還有9個月將到期的遠期合約，標的資產(chǎn)是一年期的貼現(xiàn)債券，遠期合約的交割價格為1000元，若9個月期的無風險年利率為6%，債券的現(xiàn)價為960元，求遠期合約多頭的價值？7/20/2022199第二節(jié)遠期1解：2解：7/20/2022200第二節(jié)遠期已知現(xiàn)金收益的證券 若遠期的標的資產(chǎn)在有效期內(nèi)的現(xiàn)金收益總額的現(xiàn)值為I(t)，則在無套利的假設下：否則，會出現(xiàn)什么情況？7/20/2022201

60、第二節(jié)遠期例：一個現(xiàn)價為100元的股票的10個月期的遠期合約，若在3個月、6個月、9個月后都會有每股1.5元的利潤，若無風險的年利率為8%，求遠期價格？7/20/2022202第二節(jié)遠期解：7/20/2022203第二節(jié)遠期兩個組合組合1:一份多頭遠期合約（在時刻t的價值f(t;t,T）=0),外加數(shù)額為q(t,T)e-r(T-t）的現(xiàn)金。組合2：價值為P(t)的一股標的資產(chǎn)和以無風險利率r借得的數(shù)額為I(t)的現(xiàn)金?；?/20/2022204第二節(jié)遠期例：一種三年期國債，目前價格為90元。若還有1年到期的這種債券的遠期合約的遠期價格為91元，在6個月和12個月后，預計將收到6元利息，而第二次