高考大題專項突破1

1、考情分析必備知識從近五年的高考試題來看,對導數(shù)在函數(shù)中的應用的考查常常是一大一小兩個題目;命題特點是:以三次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及分式函數(shù)為命題載體,以切線問題、單調性問題、極值最值問題、恒成立問題、存在性問題、函數(shù)零點問題為設置條件,與參數(shù)的范圍、不等式的證明,方程根的分布綜合成題;重點考查學生應用分類討論的思想、函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結合思想及化歸與轉換思想來分析問題、解決問題的能力.考情分析必備知識1.常見恒成立不等式(1)ln xx+1.2.構造輔助函數(shù)的四種方法(1)移項法:證明不等式f(x)g(x)(f(x)0(f(x)-g(x)g(x2)f(x)在a,b上的最小值g(x)在c

2、,d上的最大值;(2)x1a,b,x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最大值g(x)在c,d上的最小值;(3)x1a,b,x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最小值g(x)在c,d上的最小值;(4)x1a,b,x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最大值g(x)在c,d上的最大值;(5)x1a,b,當x2c,d時,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域與g(x)在c,d上的值域的交集非空;考情分析必備知識(6)x1a,b,x2c,d,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域g(x)在c,d上的值域;(7)x2c,d,x1a,b,f(x

3、1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域g(x)在c,d上的值域.-6-題型一題型二題型三題型四突破1導數(shù)與函數(shù)的單調性、極值、最值 題型一討論單調性或求單調區(qū)間突破策略一分類討論法例1(2017全國,文21)已知函數(shù)f(x)=ex(ex-a)-a2x.(1)討論f(x)的單調性;(2)若f(x)0,求a的取值范圍.思路導引(1)討論f(x)的單調性求函數(shù)的定義域求導函數(shù) 判斷導函數(shù)的符號確定單調區(qū)間;(2)討論a的取值范圍求f(x)導函數(shù)確定f(x)的單調區(qū)間求f(x)取最小值解不等式f(x)max0得a的范圍合并a的范圍.-7-題型一題型二題型三題型四解 (1)函數(shù)f(x)的定義域為(-,

4、+),f(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).若a=0,則f(x)=e2x,在(-,+)單調遞增.若a0,則由f(x)=0得x=ln a.當x(-,ln a)時,f(x)0.故f(x)在(-,ln a)單調遞減,在(ln a,+)單調遞增.-8-題型一題型二題型三題型四-9-題型一題型二題型三題型四解題心得利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性的關鍵在于準確判定導數(shù)的符號,當f(x)含參數(shù)時,需依據(jù)參數(shù)取值對不等式解集的影響進行分類討論.-10-題型一題型二題型三題型四對點訓練1已知函數(shù)f(x)=ln x-mx(mR).(1)若m=1,求曲線y=f(x)在點P(1,-1)處的切線方程;

5、(2)討論函數(shù)f(x)在(1,e)內(nèi)的單調性.-11-題型一題型二題型三題型四-12-題型一題型二題型三題型四突破策略二構造函數(shù)法例2已知函數(shù) (k為常數(shù),e是自然對數(shù)的底數(shù)),曲線y=f(x)在點(1,f(1)處的切線與x軸平行.(1)求k的值;(2)求f(x)的單調區(qū)間.-13-題型一題型二題型三題型四即h(x)在(0,+)內(nèi)是減函數(shù).由h(1)=0知,當0 x0,從而f(x)0;當x1時,h(x)0,從而f(x)0,知f(x)與1-x+ex-1同號.令g(x)=1-x+ex-1,則g(x)=-1+ex-1.所以,當x(-,1)時,g(x)0,g(x)在區(qū)間(1,+)內(nèi)單調遞增.故g(1)

6、=1是g(x)在區(qū)間(-,+)內(nèi)的最小值,從而g(x)0,x(-,+).綜上可知,f(x)0,x(-,+).故f(x)的單調遞增區(qū)間為(-,+),無單調遞減區(qū)間.-17-題型一題型二題型三題型四題型二求函數(shù)的極值、最值突破策略一定義法-18-當t(0,1)時,(t)0,(t)在(1,+)內(nèi)單調遞增.即當t=1時,(t)取得極小值,也為最小值.則a+b=(t)(1)=-1,故a+b的最小值為-1.題型一題型二題型三題型四-19-題型一題型二題型三題型四解題心得1.求最值的常用方法是由導數(shù)確定單調性,由單調性確定極值,比較極值與區(qū)間的端點值確定最值;2.對kf(x)恒成立,求參數(shù)k的最值問題,應先

7、求出f(x)的最值,再由此得出參數(shù)的最值.-20-題型一題型二題型三題型四對點訓練3(2017北京高考,文20)已知函數(shù)f(x)=excos x-x.(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0)處的切線方程;(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間 上的最大值和最小值.-21-題型一題型二題型三題型四突破策略二分類討論法例4已知函數(shù)f(x)=ex-e-x-2x.(1)討論f(x)的單調性;(2)設g(x)=f(2x)-4bf(x),當x0時,g(x)0,求b的最大值.-22-題型一題型二題型三題型四解 (1)f(x)=ex+e-x-20,當且僅當x=0時等號成立,所以f(x)在(-,+)內(nèi)單調遞增.(2)g(

8、x)=f(2x)-4bf(x)=e2x-e-2x-4b(ex-e-x)+(8b-4)x,g(x)=2e2x+e-2x-2b(ex+e-x)+(4b-2)=2(ex+e-x-2)(ex+e-x-2b+2).當b2時,g(x)0,當且僅當x=0時等號成立,所以g(x)在(-,+)內(nèi)單調遞增.而g(0)=0,所以對任意x0,g(x)0;當b2時,若x滿足2ex+e-x2b-2,-23-題型一題型二題型三題型四解題心得依據(jù)題意,對參數(shù)分類,分類后相當于增加了一個已知條件,在增加條件的情況下,對參數(shù)的各個范圍逐個驗證是否適合題意,最后適合題意的范圍即為所求范圍,這個范圍的最大值也就求出了.-24-題型一

9、題型二題型三題型四對點訓練4(2017遼寧鞍山一模,文20)已知函數(shù)f(x)=ln x- ax2+x, aR.(1)當a=0時,求函數(shù)f(x)的圖象在(1,f(1)處的切線方程;(2)令g(x)=f(x)-ax+1,求函數(shù)g(x)的極值.-25-題型一題型二題型三題型四-26-題型一題型二題型三題型四題型三證明函數(shù)有最值并求最值范圍突破策略零點分布法-27-題型一題型二題型三題型四-28-題型一題型二題型三題型四當0 xxa時,f(x)+a0,g(x)xa時,f(x)+a0,g(x)0,g(x)單調遞增.-29-題型一題型二題型三題型四-30-題型一題型二題型三題型四解題心得在證明函數(shù)f(x)

10、有最值及求最值范圍時,若f(x)=0解不出,可運用零點存在性定理求出極值點t存在的范圍,從而用t表示出最值,此時最值是關于t的函數(shù),通過函數(shù)關系式求出最值的范圍.-31-題型一題型二題型三題型四對點訓練5(2017遼寧大連一模)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x+2)2(x0).(1)若f(x)是(0,+)內(nèi)的增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;(2)當 時,求證:函數(shù)f(x)有最小值,并求函數(shù)f(x)最小值的取值范圍.-32-題型一題型二題型三題型四-33-題型一題型二題型三題型四題型四與極值、最值有關的證明問題突破策略等價轉換法例6(2017河南商丘二模)已知函數(shù)f(x)=ln x-2ax,

11、aR.(1)若函數(shù)y=f(x)的圖象存在與直線2x-y=0垂直的切線,求實數(shù)a的取值范圍;-34-題型一題型二題型三題型四-35-題型一題型二題型三題型四-36-題型一題型二題型三題型四解題心得將已知條件進行轉換或將要解決的問題進行等價轉換是解決函數(shù)問題的常用方法,通過轉換變陌生問題為熟悉問題,從而得到解決.-37-題型一題型二題型三題型四對點訓練6(2017河北武邑中學一模,文21)已知函數(shù)f(x)=e2x-4aex-2ax,g(x)=x2+5a2,aR.(1)若a=1,求f(x)的遞增區(qū)間;(2)若f(x)在R上單調遞增,求a的取值范圍;(3)記F(x)=f(x)+g(x),求證:F(x)

12、-38-題型一題型二題型三題型四-39-題型一題型二突破2導數(shù)與不等式及參數(shù)范圍題型一求參數(shù)的取值范圍(多維探究)突破策略一從條件中構造函數(shù)例1已知函數(shù)f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).(1)當a=4時,求曲線y=f(x)在(1,f(1)處的切線方程;(2)若當x(1,+)時,f(x)0,求a的取值范圍.-40-題型一題型二-41-題型一題型二-42-題型一題型二-43-題型一題型二解題心得用導數(shù)解決滿足函數(shù)不等式條件的參數(shù)范圍問題,一般都需要構造函數(shù),然后對構造的函數(shù)求導,一般導函數(shù)中都含有參數(shù),通過對參數(shù)討論確定導函數(shù)的正負,由導函數(shù)的正負確定構造函數(shù)的單調性,再由單調性確定是否

13、滿足函數(shù)不等式,由此求出參數(shù)范圍.-44-題型一題型二對點訓練1(2017遼寧大連一模,文20)已知函數(shù)f(x)=ax-ln x.(1)過原點O作函數(shù)f(x)圖象的切線,求切點的橫坐標;(2)對x1,+),不等式f(x)a(2x-x2)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.-45-題型一題型二-46-題型一題型二-47-題型一題型二解 (1)f(x)的定義域為R,f(x)= ,由f(x)=0,得x=0,由f(x)0,得x0,由f(x)0,所以f(x)的單調遞增區(qū)間為(-,0),單調遞減區(qū)間為(0,+),f(x)max=f(0)=1,當x+時,y0,當x-時,y-,所以m的取值范圍是(0,1).(2)由(

14、1)知,x1(-1,0),要證x2-x10,只需證f(x2)f(-x1),因為f(x1)=f(x2)=m,所以只需證f(x1)x2,有mf(x1)-f(x2)g(x1)-g(x2)恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.-50-題型一題型二-51-題型一題型二突破策略三分離參數(shù)后構造函數(shù) -52-題型一題型二-53-題型一題型二-54-題型一題型二解題心得有些函數(shù)與導數(shù)的綜合問題即使構造函數(shù)正確,也存在分類討論相當復雜的情形,難以繼續(xù)作答.可以利用分離參數(shù)法簡化構造函數(shù),使得問題簡單求解.若求導后不易得到極值點,可二次求導,還不行時,就使用參數(shù)討論法,即以參數(shù)為分類標準,看是否符合題意.-55-題型一題型

15、二對點訓練3(2017安徽合肥一模,文21)已知函數(shù)f(x)= (aR).(1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;(2)若x1,+),不等式f(x)-1恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.-56-題型一題型二-57-題型一題型二題型二證明不等式(多維探究)突破策略一作差構造函數(shù)例4已知函數(shù)f(x)=ln x-x+1.(1)討論f(x)的單調性;(2)證明當x(1,+)時,(3)設c1,證明當x(0,1)時,1+(c-1)xcx.思路導引證明當x(0,1)時,1+(c-1)xcx設g(x)=1+(c-1)x-cx,證g(x)0,通過對g(x)求導判斷g(x)的單調性,再由g(x)的單調性和g(x)的幾個特殊值證

16、出g(x)0.-58-題型一題型二-59-題型一題型二-60-題型一題型二解題心得1.欲證函數(shù)不等式f(x)g(x)(xa),只需證明f(x)-g(x)0(xa),設h(x)=f(x)-g(x),即證h(x)0.若h(a)=0,h(x)h(a)(xa).接下來往往用導數(shù)證得函數(shù)h(x)是增函數(shù)即可.2.欲證函數(shù)不等式f(x)g(x)(xI,I是區(qū)間),只需證明f(x)-g(x)0(xI).設h(x)=f(x)-g(x)(xI),即證h(x)0,也即證h(x)min0(xI)(若h(x)min不存在,則須求函數(shù)h(x)的下確界),而這用導數(shù)往往容易解決.3.證明f(x)g(x)(xI,I是區(qū)間)

17、,只需證明f(x)ming(x)max;證明f(x)g(x)(xI,I是區(qū)間),只需證明f(x)ming(x)max,或證明f(x)ming(x)max且兩個最值點不相等.-61-題型一題型二對點訓練4(2017廣東汕頭高三期末)已知f(x)=ex-ax2,曲線y=f(x)在(1,f(1)處的切線方程為y=bx+1.(1)求a,b的值;(2)求f(x)在0,1上的最大值;(3)證明:當x0時,ex+(1-e)x-1-xln x0.(1)解 f(x)=ex-2ax,由題設得f(1)=e-2a=b,f(1)=e-a=b+1,解得a=1,b=e-2.(2)解 由(1)知f(x)=ex-x2,f(x)

18、=ex-2x,設h(x)=ex-2x,h(x)=ex-2.f(x)在(0,ln 2)上單調遞減,在(ln 2,+)上單調遞增,所以f(x)f(ln 2)=2-2ln 20,f(x)在0,1上單調遞增,f(x)max=f(1)=e-1.-62-題型一題型二(3)證明 f(0)=1,由(2)知,f(x)過點(1,e-1),且y=f(x)在x=1處的切線方程為y=(e-2)x+1,故可猜測當x0,x1時,f(x)的圖象恒在切線y=(e-2)x+1的上方.下證:當x0時,f(x)(e-2)x+1.設g(x)=f(x)-(e-2)x-1=ex-x2-(e-2)x-1,則g(x)=ex-2x-(e-2),

19、設k(x)=ex-2x-(e-2),k(x)=ex-2.g(x)在(0,ln 2)上單調遞減,在(ln 2,+)上單調遞增,又g(0)=3-e0,g(ln 2)=2-2ln 2-e+2=4-2ln 2-e0;當x(x0,1)時,g(x)1.-65-題型一題型二-66-題型一題型二-67-題型一題型二解題心得證明不等式f(x)g(x)成立,可以構造函數(shù)H(x)=f(x)-g(x),通過證明函數(shù)H(x)的最小值大于等于零即可,可是有時候利用導數(shù)求函數(shù)H(x)的最小值不易,可證明f(x)的最小值大于等于g(x)的最大值即可.-68-題型一題型二對點訓練5已知函數(shù)f(x)=aexln x,曲線y=f(

20、x)在x=1處的切線與直線x+2ey=0垂直.(1)求a的值;(2)證明xf(x)1-5ex-1.-69-題型一題型二-70-題型一題型二突破策略三放縮、控元構造函數(shù)例6(2013全國)已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m).(1)設x=0是f(x)的極值點,求m,并討論f(x)的單調性;(2)當m2時,證明f(x)0.-71-題型一題型二-72-題型一題型二解題心得判斷函數(shù)f(x)的單調性可求f(x)0或f(x)0或f(x)0時,f(x)2a+aln .思路導引(1)討論f(x)零點的個數(shù)要依據(jù)f(x)的單調性,應用零點存在性定理進行判斷.-76-題型一題型二題型三-77-題型一題型二題型三

21、解題心得研究函數(shù)零點或方程根的情況,可以通過導數(shù)研究函數(shù)的單調性、最大值、最小值、變化趨勢等,并借助函數(shù)的大致圖象判斷函數(shù)零點或方程根的情況.-78-題型一題型二題型三對點訓練1已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+ax+2,曲線y=f(x)在點(0,2)處的切線與x軸交點的橫坐標為-2.(1)求a的值;(2)證明:當k0.當x0時,g(x)=3x2-6x+1-k0,g(x)單調遞增,g(-1)=k-10,所以g(x)=0在(-,0有唯一實根.當x0時,令h(x)=x3-3x2+4,則g(x)=h(x)+(1-k)xh(x).h(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)內(nèi)單調遞減,在

22、(2,+)內(nèi)單調遞增,所以g(x)h(x)h(2)=0,所以g(x)=0在(0,+)內(nèi)沒有實根.綜上,g(x)=0在R有唯一實根,即曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個交點.-80-題型一題型二題型三突破策略二分類討論法例2已知函數(shù)f(x)=x3+ax+ ,g(x)=-ln x.(1)當a為何值時,x軸為曲線y=f(x)的切線;(2)用minm,n表示m,n中的最小值,設函數(shù)h(x)=minf(x),g(x)(x0),討論h(x)零點的個數(shù).思路導引(1)設切點(x0,0),依題意f(x0)=0,f(x0)=0,得關于a,x0的方程組解之.(2)為確定出h(x),對自變量x0分類討論;確

23、定出h(x)后,對參數(shù)a分類討論h(x)零點的個數(shù),h(x)零點的個數(shù)的確定要依據(jù)h(x)的單調性和零點存在性定理.-81-題型一題型二題型三-82-題型一題型二題型三-83-題型一題型二題型三-84-題型一題型二題型三解題心得1.如果函數(shù)中沒有參數(shù),那么可以直接一階求導得出函數(shù)的極值點,判斷極值點大于0和小于0的情況,進而判斷函數(shù)零點的個數(shù).2.如果函數(shù)中含有參數(shù),那么一階導數(shù)的正負往往不好判斷,這時要對參數(shù)進行分類,在參數(shù)的小范圍內(nèi)判斷導數(shù)的符號.如果分類也不好判斷,那么需要對一階導函數(shù)進行再次求導,在判斷二階導數(shù)的正負時,也可能需要分類.-85-題型一題型二題型三對點訓練2(2017福建

24、莆田一模,文21)已知函數(shù)f(x)=2x3-3x2+1,g(x)=kx+1-ln x.(1)設函數(shù) 當k0時,討論h(x)零點的個數(shù);(2)若過點P(a,-4)恰有三條直線與曲線y=f(x)相切,求a的取值范圍.g(x)0,g(x)在1,+)上單調遞減,g(x)的最大值為g(1)=k+1.當k-1時,g(1)0,g(x)在1,+)上無零點;當k=-1時,g(1)=0,g(x)在1,+)上有1個零點;當-1k0,g(e)=ke0,g(x)在1,+)上有1個零點;綜上所述,k-1時,h(x)有1個零點;-1k0,a1).(1)當a1時,求證:函數(shù)f(x)在(0,+)上單調遞增;(2)若函數(shù)y=|f

25、(x)-t|-1有三個零點,求t的值.思路導引(1)先求f(x)的導函數(shù)f(x),再證明f(x)0.(2)由題意知當a0,a1時,f(x)=0有唯一解x=0,y=|f(x)-t|-1有三個零點f(x)=t1有三個根,從而t-1=f(x)min=f(0)=1,解t即得.-89-題型一題型二題型三(1)證明 f(x)=axln a+2x-ln a=2x+(ax-1)ln a,由于a1,當x(0,+)時,ln a0,ax-10,所以f(x)0,故函數(shù)f(x)在(0,+)上單調遞增.(2)解 當a0,a1時,f(x)=2x+(ax-1)ln a,f(x)=2+ax(ln a)20,f(x)在R上單調遞

26、增,f(0)=0,故f(x)=0有唯一解x=0,x,f(x),f(x)的變化情況如下表所示:又函數(shù)y=|f(x)-t|-1有三個零點,方程f(x)=t1有三個根,而t+1t-1,所以t-1=f(x)min=f(0)=1,解得t=2.-90-題型一題型二題型三解題心得在已知函數(shù)y=f(x)有幾個零點求f(x)中參數(shù)t的值或范圍問題時,經(jīng)常從f(x)中分離出參數(shù)t=g(x),然后用求導的方法求出g(x)的最值,再根據(jù)題意求出參數(shù)t的值或范圍.-91-題型一題型二題型三對點訓練3已知函數(shù)f(x)=2ln x-x2+ax(aR).(1)當a=2時,求f(x)的圖象在x=1處的切線方程;(2)若函數(shù)g(x)=f(x)-ax+m在 上有兩個零點,求實數(shù)m的取值范圍.-92-題型一題