高二數(shù)學(xué)課件7.曲線與方程

1、17.4 曲線與方程 基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí)要點(diǎn)梳理1.曲線與方程 一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上 的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f（x，y）=0的實(shí)數(shù)解建立了 如下關(guān)系：（1）曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是 .（2）以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是 .那么這個(gè)方程叫做 ，這條曲線叫做 .這個(gè)方程的解曲線上的點(diǎn)曲線的方程方程的曲線22.求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的一般步驟（1）建系建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.（2）設(shè)點(diǎn)設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P（x，y）.（3）列式列出動(dòng)點(diǎn)P所滿足的關(guān)系式.（4）代換依條件式的特點(diǎn)，選用距離公式、 斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x，y的方程式，并化簡.（5）證明證明所求方程即為符合條件的動(dòng) 點(diǎn)軌跡方程.33.兩曲線的

2、交點(diǎn)（1）由曲線方程的定義可知，兩條曲線交點(diǎn)的坐 標(biāo)應(yīng)該是兩個(gè)曲線方程的 ，即兩個(gè)曲線方 程組成的方程組的實(shí)數(shù)解；反過來，方程組有幾 組解，兩條曲線就有幾個(gè)交點(diǎn)，方程組 ，兩 條曲線就沒有交點(diǎn).（2）兩條曲線有交點(diǎn)的 條件是它們的方程所 組成的方程組有實(shí)數(shù)解.可見，求曲線的交點(diǎn)問題，就是求由它們的方程所組成的方程組的實(shí)數(shù) 解問題.公共解無解充要4基礎(chǔ)自測1.f（x0，y0）=0是點(diǎn)P（x0，y0）在曲線f（x，y） =0上的 （ ） A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析 利用曲線與方程定義的兩條件來確定其關(guān)系， f（x0，y0）=0可知點(diǎn)P（x0

3、,y0）在曲線f（x,y）=0上， 又P（x0，y0）在曲線f（x，y）=0上時(shí)，有f（x0，y0）=0， f（x0，y0）=0是P（x0，y0）在曲線f（x，y）=0 上的充要條件.C52.方程x2+xy=x的曲線是 （ ） A.一個(gè)點(diǎn) B.一條直線 C.兩條直線 D.一個(gè)點(diǎn)和一條直線 解析 方程變?yōu)閤（x+y-1）=0， x=0或x+y-1=0. 故方程表示直線x=0或直線x+y-1=0.C63.已知點(diǎn)A（-2，0）、B（3，0），動(dòng)點(diǎn)P（x,y） 滿足 =x2-6，則點(diǎn)P的軌跡是 （ ） A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線 解析 =（-2-x，-y）， =（3-x，-y）， 則 =

4、（-2-x）（3-x）+（-y）2=x2-6， 化簡得y2=x,軌跡為拋物線.D74.已知定點(diǎn)P（x0，y0）不在直線l:f(x,y)=0上，則 方程f(x,y)-f(x0,y0)=0表示一條 （ ） A.過點(diǎn)P且垂直于l的直線 B.過點(diǎn)P且平行于l的直線 C.不過點(diǎn)P但垂直于l的直線 D.不過點(diǎn)P但平行于l的直線 解析 P（x0，y0）不在直線l上,f（x0，y0）0. 方程f(x,y)-f(x0,y0)=0表示的直線與l平行. 又f（x0，y0）-f（x0，y0）=0. 點(diǎn)P（x0，y0）在方程f（x，y）-f（x0，y0）=0 表示的直線上，即直線過P點(diǎn).B85.已知兩定點(diǎn)A（-2，0）

5、，B（1，0）,如果動(dòng)點(diǎn) P滿足|PA|=2|PB|，則點(diǎn)P的軌跡所圍成的圖形 的面積等于 （ ） A. B.4 C.8 D.9 解析 設(shè)P（x，y），則由|PA|=2|PB| 得(x+2)2+y2=4(x-1)2+y2, 即（x-2）2+y2=4，故P點(diǎn)的軌跡是以（2，0）為 圓心，以2為半徑的圓. 所圍成的圖形的面積等于 22=4 .B9題型一 直接法求軌跡方程【例1】如圖所示，過點(diǎn)P（2，4） 作互相垂直的直線l1、l2.若l1交x 軸于A，l2交y軸于B，求線段AB 中點(diǎn)M的軌跡方程. 設(shè)M（x，y），則A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)可 用x,y表示，再利用 =0,建立等式即可.思維啟迪題型分類 深度

6、剖析10解 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y）,M是線段AB的中點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2x,0），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2y）. =（2x-2，-4）， =（-2，2y-4）.由已知 =0，-2（2x-2）-4（2y-4）=0，即x+2y-5=0.線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程為x+2y-5=0.11探究提高 （1）本題中的等量關(guān)系還有kPAkPB=-1，|AB|=2|PM|.但利用kPAkPB=-1時(shí)，應(yīng)分直線l1斜率存在和不存在兩種情況,應(yīng)用|AB|=2|PM|時(shí)，運(yùn)算較繁.（2）求軌跡方程時(shí)，最后要注意它的完備性與純粹性，多余的點(diǎn)要去掉，遺漏的點(diǎn)要補(bǔ)上.12知能遷移1 已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到定點(diǎn)A(1,0)與定直線l:x

7、=3的距離之和等于4,求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程. 解 如圖所示,設(shè)M（x,y）是軌跡上任意一點(diǎn),作MNl于N. 則|MA|+|MN|=4，即 =4-|x-3|. 當(dāng)3x4時(shí)， =7-x. 即y2=-12(x-4) (3x4). 當(dāng)0 x3時(shí)， =x+1, 即y2=4x (0 x3). M的軌跡方程是y2=-12(x-4) (3x4) 和y2=4x(0 x3).13題型二 利用定義法求軌跡方程【例2】一動(dòng)圓與圓x2+y2+6x+5=0外切，同時(shí)與圓 x2+y2-6x-91=0內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程， 并說明它是什么樣的曲線. 利用兩圓的位置關(guān)系相切這一性 質(zhì)得到動(dòng)圓圓心與已知兩圓圓心間的關(guān)系，再

8、 從關(guān)系分析滿足何種曲線的定義.思維啟迪14解 方法一 如圖所示，設(shè)動(dòng)圓圓心為M（x，y），半徑為R，設(shè)已知圓的圓心分別為O1、O2，將圓的方程分別配方得：（x+3）2+y2=4,(x-3)2+y2=100,當(dāng)動(dòng)圓與圓O1相外切時(shí)，有|O1M|=R+2. 當(dāng)動(dòng)圓與圓O2相內(nèi)切時(shí)，有|O2M|=10-R. 15將兩式相加，得|O1M|+|O2M|=12|O1O2|，動(dòng)圓圓心M（x,y）到點(diǎn)O1（-3,0）和O2（3,0）的距離和是常數(shù)12，所以點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)為O1（-3,0）、O2（3,0）,長軸長等于12的橢圓.2c=6，2a=12，c=3，a=6，b2=36-9=27，圓心軌跡方程為 軌跡

9、為橢圓.16方法二 由方法一可得方程移項(xiàng)再兩邊分別平方得：兩邊再平方得3x2+4y2-108=0，整理得所以,動(dòng)圓圓心的軌跡方程是 軌跡是橢圓.17探究提高 在利用圓錐曲線定義求軌跡時(shí)，若所求的軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則根據(jù)曲線的方程，寫出所求的軌跡方程，若所求軌跡是某種圓錐曲線上的特定點(diǎn)的軌跡，則利用圓錐曲線的定義列出等式，化簡求得方程.18知能遷移2 已知圓C1:(x+3)2+y2=1和圓C2:（x-3）2+y2=9,動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程.解 如圖所示，設(shè)動(dòng)圓M與圓C1及圓C2分別外切于點(diǎn)A和點(diǎn)B，根據(jù)兩圓外切的充要條件，得|MC1|-|AC1|=|

10、MA|，|MC2|-|BC2|=|MB|.因?yàn)閨MA|=|MB|，所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2.19這表明動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C2，C1的距離之差是常數(shù)2.根據(jù)雙曲線的定義,動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支（點(diǎn)M到C2的距離大，到C1的距離?。?，這里a=1,c=3,則b2=8,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y）,其軌跡方程為 (x-1).20題型三 相關(guān)點(diǎn)法(代入法)求軌跡方程【例3】（12分）已知P（4，0）是圓x2+y2=36內(nèi)的 一點(diǎn)，A、B是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足APB=90, 求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程. 連結(jié)QP交AB于R,則R是矩形APBQ 的中心.因而可選R的坐標(biāo)

11、為中間變量，先求R 的軌跡方程,再將Q的坐標(biāo)代入R的坐標(biāo)中即可.思維啟迪21解 如圖所示，設(shè)AB的中點(diǎn)為R,坐標(biāo)為（x1，y1），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）， 2分則在RtABP中，|AR|=|PR|，又因?yàn)镽是弦AB的中點(diǎn)，依垂徑定理有RtOAR中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-（x +y ）.又|AR|=|PR|=所以有（x1-4）2+y =36-（x +y ）.即x +y -4x1-10=0. 8分4分解題示范22因?yàn)镽為PQ的中點(diǎn)，所以x1 10分代入方程x +y -4x1-10=0，得整理得x2+y2=56.這就是Q點(diǎn)的軌跡方程. 12分23探究提高 相關(guān)點(diǎn)法也叫坐標(biāo)轉(zhuǎn)移（代入

12、）法，是求軌跡方程常用的方法.其題目特征是：點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)與點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)相關(guān),且點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)有規(guī)律（有方程），只需將A的坐標(biāo)轉(zhuǎn)移到B的坐標(biāo)中,整理即可得A的軌跡方程.24知能遷移3 已知長為1+ 的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn) A、B分別在x軸、y軸上滑動(dòng),P是AB上一點(diǎn),且 = .求點(diǎn)P的軌跡C的方程. 解 設(shè)A（x0，0），B（0，y0），P（x，y）， 又 =（x-x0，y）， =（-x，y0-y）， 所以x-x0=- ，y= （y0-y） 得x0= ，y0=（1+ ）y. 因?yàn)閨AB|=1+ ，即x +y =（1+ ）2， 25 化簡得 點(diǎn)P的軌跡方程為26方法與技巧1.弦長公式:直線y=kx+b與二次

13、曲線C交于P1（x1,y1） 與P2(x2,y2)得到的弦長為思想方法 感悟提高272.求軌跡的方法 （1）直接法： 如果動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件本身就是一些幾何量 （如距離與角）的等量關(guān)系，或這些幾何條件簡 單明了且易于表達(dá),我們只需把這種關(guān)系轉(zhuǎn)化為 x、y的等式就得到曲線的軌跡方程. （2）定義法： 其動(dòng)點(diǎn)的軌跡符合某一基本軌跡（如直線與圓 錐曲線）的定義，則可根據(jù)定義采用設(shè)方程， 求方程系數(shù)得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.28 在判斷軌跡符合哪一個(gè)基本軌跡時(shí)，常常用幾何 性質(zhì)列出動(dòng)點(diǎn)滿足的距離關(guān)系后，可判斷軌跡是 否滿足圓錐曲線的定義. 定義法與其它求軌跡方程的思維方法不同處在于： 此方法通過曲線定義直接

14、判斷出所求曲線軌跡類 型，再利用待定系數(shù)法求軌跡方程.（3）代入法（相關(guān)點(diǎn)法）： 當(dāng)所求動(dòng)點(diǎn)M是隨著另一動(dòng)點(diǎn)P（稱之為相關(guān)點(diǎn)） 而運(yùn)動(dòng).如果相關(guān)點(diǎn)P所滿足某一曲線方程，這時(shí) 我們可以用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，再把相關(guān) 點(diǎn)代入曲線方程，就把相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程轉(zhuǎn)化 為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種求軌跡的方法叫做相關(guān) 點(diǎn)法或坐標(biāo)代換法.29失誤與防范1.求曲線方程時(shí)有已知曲線類型與未知曲線類型， 一般當(dāng)已知曲線類型時(shí)一般用待定系數(shù)法求方程； 當(dāng)未知曲線類型時(shí)常用求軌跡方程的方法求曲線 方程.2.求曲線軌跡方程時(shí)，常常要設(shè)曲線上任意一點(diǎn) 的坐標(biāo)為（x,y）,然后求x與y的關(guān)系.303.在求軌跡方程五種類型中，

15、單從思維角度應(yīng)該 分為兩個(gè)方面：一是用定義法,（從已知曲線類 型、或從距離關(guān)系中）能判斷到曲線類型時(shí),再 用待定系數(shù)法求曲線方程；二是,當(dāng)未知曲線類 型時(shí)用其它四種方法求曲線方程.4.仔細(xì)區(qū)分五種求軌跡方法，合理確定要選擇的 求軌跡方法,哪些類型、哪些已知條件適合哪一 種方法，要融會(huì)貫通，不可亂用方法！31一、選擇題1.如果命題“坐標(biāo)滿足方程F(x,y)=0的點(diǎn)都在曲線C上” 不正確.那么，以下正確的命題是 （ ）A.曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程F(x,y)=0B.坐標(biāo)滿足方程F(x,y)=0的點(diǎn)有些在C上，有些不在C上C.坐標(biāo)滿足方程F(x,y)=0的點(diǎn)都不在曲線C上D.一定有不在曲線C上的

16、點(diǎn)，并且其坐標(biāo)滿足方程 F(x,y)=0 解析 方法一 若方程為y=|x|，曲線C為一、三象限 的平分線，顯然曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)不都滿足方程，故A 錯(cuò)誤，同理可推出，坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)都不在曲線C 上是錯(cuò)誤的，故C不正確. 定時(shí)檢測32若方程為y=x+1，曲線C為一、三象限角的平分線，顯然滿足方程的點(diǎn)都不在曲線C上，故B是錯(cuò)誤的.因此只有D正確.方法二 “坐標(biāo)滿足方程F(x,y)=0的點(diǎn)都在曲線C上”不正確，就是說“坐標(biāo)滿足方程F(x,y)=0的點(diǎn)不都在曲線C上”是正確的.這意味著一定有這樣的點(diǎn)(x0,y0)，雖然F（x0,y0）=0，但(x0,y0) C，即一定有不在曲線上的點(diǎn)，其坐標(biāo)滿足F(

17、x,y)=0. 答案 D332.（2008北京）若點(diǎn)P到直線x=-1的距離比 它到點(diǎn)（2,0）的距離小1,則點(diǎn)P的軌跡為（ ） A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線 解析 由題意可知,點(diǎn)P到直線x=-2的距離等于它 到點(diǎn)(2,0)的距離,根據(jù)拋物線定義知,點(diǎn)P的軌跡 為拋物線.D343.方程（x-y）2+(xy-1)2=0的曲線是 （ ） A.一條直線和一條雙曲線 B.兩條雙曲線 C.兩個(gè)點(diǎn) D.以上答案都不對(duì) 解析 （x-y）2+(xy-1)2=0C354.已知定點(diǎn)A（1，1）和直線l:x+y-2=0，那么到定 點(diǎn)A的距離和到定直線l距離相等的點(diǎn)的軌跡為 （ ） A.橢圓 B.雙曲線 C

18、.拋物線 D.直線 解析 由于點(diǎn)A在直線x+y-2=0上.因此選D.D365.如圖所示,一圓形紙片的圓心為 O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，M是圓周 上一動(dòng)點(diǎn)，把紙片折疊使M與F 重合,然后抹平紙片,折痕為CD， 設(shè)CD與OM交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的 軌跡是 （ ） A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓 解析 由條件知|PM|=|PF|. |PO|+|PF|=|PO|+|PM|=|OM|=R|OF|. P點(diǎn)的軌跡是以O(shè)、F為焦點(diǎn)的橢圓.A376.設(shè)點(diǎn)A為圓（x-1）2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)，PA是圓的切線，且 |PA|=1,則P點(diǎn)的軌跡方程為 （ ）A.y2=2x B.(x-1)2+y2=4C.y2=-2x D

19、.(x-1)2+y2=2 解析 設(shè)點(diǎn)P(x,y), 易知圓心為C(1,0)，半徑r=1. 由直角三角形得|PC|2=|PA|2+r2=2, 故P點(diǎn)的軌跡方程為(x-1)2+y2=2.D38二、填空題7.平面上有三個(gè)點(diǎn)A（-2，y），B ， C（x，y），若 則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程是 . 解析 動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為y2=8x.y2=8x，398.ABC中，A為動(dòng)點(diǎn)，B、C為定點(diǎn)， 且滿足條件 sinC-sin B= sin A,則動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程是 . 解析 由正弦定理： |AB|-|AC|= |BC|，且為雙曲線右支.409.已知ABC的頂點(diǎn)B（0，0），C（5，0），AB 邊上的中線長|CD|=3

20、，則頂點(diǎn)A的軌跡方程為 . 解析 方法一 直接法.設(shè)A（x,y）,y0,則 化簡得：（x-10）2+y2=36,由于A、B、C三點(diǎn) 構(gòu)成三角形，所以A不能落在x軸上，即y0.41方法二 定義法.如圖所示，設(shè)A（x,y）,D為AB的中點(diǎn)，過A作AECD交x軸于E，|CD|=3，|AE|=6，則E（10，0）A到E的距離為常數(shù)6，A的軌跡為以E為圓心，6為半徑的圓，即(x-10)2+y2=36,又A、B、C不共線，故A點(diǎn)縱坐標(biāo)y0,故A點(diǎn)軌跡方程為（x-10）2+y2=36 (y0).答案 (x-10)2+y2=36 (y0)42三、解答題10.A、B分別是直線y= x和y=- x上的動(dòng)點(diǎn).O是 坐標(biāo)原點(diǎn)，且|OA|OB|=a2+b2 （a，b為常數(shù) 值，b0）. 求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡方程. 解 設(shè)P、A、B三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x，y）、（x1，y1）、（x2，y2）. 43又|OA|OB|=且|OA|OB|=a2+b2，|x1x2|=a2. 將代入得y= (x1-x2),即 2-2得x2- 即x2- =a2.所求軌跡方程為 =1.4411.已知拋物線y2=2x,O為頂點(diǎn)，A、B為拋物線上 兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足OAOB，如果OMAB，垂足 為M，求M點(diǎn)的軌跡. 解 方法一 設(shè)直線OA的方程為y=kx, 則直線OB的方程為y=- x. 由 得k