江蘇省蘇州市2018屆高三第一次模擬考試數(shù)學試卷(含答案)

1、2018屆高三年級第一次模擬考試 （五）（滿分160分，考試時間120分鐘）填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分.已知i為虛數(shù)單位，復數(shù) z=當-|i的模為.已知集合 A=1, 2a, B = 1, 1, 4,且 A? B,則正整數(shù) a=.在平面直角坐標系 xOy中，拋物線y2 = 8x的焦點坐標為 .蘇州軌道交通1號線每5分鐘一班，其中，列車在車站停留0.5分鐘，假設乘客到達站臺的時刻是隨機的，則該乘客到達站臺立即能乘上車的概率為 .已知 4a= 2, logax = 2a,則正實數(shù) x =.秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學家，他在所著的數(shù)書九章中提出的多項式求值的秦九韶算法， 至今仍

2、是比較先進的算法.下面的流程圖是秦九韶算法的一個實例.若輸入n, x的值分別為3, 3,則輸出v的值為.（第6題）（第9題）0WxW 3,.已知變量x, y滿足x+yQ 則z= 2x3y的最大值為 . x 一 y + 3 w 0）.已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn,且鬻二一普，a4- a2= - -5,則a3的值為. S3 88.魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國古代建筑中首創(chuàng)的棒卯結(jié)構(gòu)，它的外觀是如圖所示的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱，六根等長的正四棱柱體分成三組，經(jīng)90。樺卯起來.若正四棱柱的高為5,底面正方形的邊長為 1,現(xiàn)將該魯班鎖放進一個球形容器內(nèi)，則該球形容器的表 面

3、積至少為 .（容器壁的厚度忽略不計，結(jié)果保留兀 ）.如圖，兩座建筑物 AB, CD的高度分別是9 m和15 m,從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的 張角/ CAD =45 ,則這兩座建筑物 AB和CD的底部之間的距離 BD =m.（第10題）（第13題）.在平面直角坐標系 xOy中，已知過點 A（2, 1）的圓C和直線x + y=1相切，且圓心在直線 y = 2x上，則圓C的標準方程為 .已知正實數(shù)a, b, c滿足1 + 1=1,7 + 1=1,則c的取值范圍是 .a ba+ b c.如圖，ABC為等腰三角形，/ BAC = 120 , AB=AC = 4,以A為圓心，1為半徑的圓分別交AB

4、 , AC與點E, F, P是劣弧EF上的一點，則PB 比的取值范圍是.已知直線y=a分別與直線y = 2x-2,曲線y=2ex+x交于點A, B,則線段AB長度的最小值為解答題：本大題共 6小題，共計90分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（本小題滿分14分）已知函數(shù) f(x) = (43cosx+ sinx)2 243sin2x.(1)求函數(shù)f(x)的最小值，并寫出f(x)取得最小值時自變量 x的取值集合;兀 兀.(2)若xC -y, -2-,求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間.（本小題滿分14分）如圖，在正方體 ABCDA1B1C1D1 中，已知E, F, G, H分別是 A1D1 ,

5、 B1C1 , DID, C1C的中點.求 證： EF /平面ABHG ;(2)平面 ABHG，平面 CFED.（本小題滿分14分）如圖，B, C分別是海岸線上的兩個城市，兩城市間由筆直的海濱公路相連，B, C之間的距離為100兀km,海島A在城市B的正東方向50 km處.從海島A到城市C,先乘船按北偏西。角（“。，1其中銳角”的正切值為2）航行到海濱公路 P處登陸，再換乘汽車到城市 C.已知船速為25 km/h,車速 為 75 km/h.（1）試建立由A經(jīng)P到C所用時間與 。的函數(shù)解析式；（2）試確定登陸點P的位置，使所用時間最少，并說明理由.(本小題滿分16分)在平面直角坐標系 xOy中，

6、橢圓C： x2 + y2=1(ab0)的離心率為 坐，橢圓上動點 P到一個焦點的 a2 b22距離的最小值為3( 12-1).(1)求橢圓C的標準方程；(2)已知過點M(0, 1)的動直線l與橢圓C交于A, B兩點，試判斷以 AB為直徑的圓是否恒過定點，并說明理由.(本小題滿分16分)已知各項是正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn.若 Sn+Sn-1 = a2-2(nCN*, n2),且 a1 = 2.3求數(shù)列an的通項公式；若Sn0 , qw 1)的等比數(shù)列，且an的前n項積為10Tn.若存在正整數(shù) k,對任意n N* ,使得T(，1)n為定值，求首項 al的值.ikn.(本小題滿分16分)已知函

7、數(shù)f(x) =x3 + x2 , x 0.當a=2時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若方程f( x) + f(x) =ex3在區(qū)間(0, + 00止有實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍;a 右存在頭數(shù) m, nC0, 2,且|mn|之1使得f(m) = f(n),求證：1汽“w e.2018屆高三年級第一次模擬考試 （三）數(shù)學附加題（本部分滿分40分，考試時間30分鐘）.【選做題】本題包括 A、B、C、D四小題，請選定其中兩小題，并作答.若多做，則按作答的 前兩小題評分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.A.選彳41:幾何證明選講（本小題滿分10分）如圖，AB, AC與圓。分別切于點B, C

8、, P為圓。上異于點B, C的任意一點，PDXAB ,垂足為D, PEL AC,垂足為 E, PFXBC,垂足為 F.求證：PF2 = PD PE.B.選彳42:矩陣與變換（本小題滿分10分） 已知 M = 1 2 , 3= 1 ,求 M4 3 .2 17C.選彳44 44:坐標系與參數(shù)方程（本小題滿分10分）x = 1 + t,在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以原點。為極點，x軸正半軸y = t3為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為p= 2COs-L,若直線l與曲線C相交于A, B兩點，求sin2 0 AOB的面積.D.選彳45:不等式選講(本小題滿分10分)已

9、知 a, b, cC R, a2+b2+c2=1,若 |x 1|+|x+1|R(ab + c)2 對一切實數(shù) a, b, c 恒成立，求實數(shù) x的取值范圍.【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算 步驟.(本小題滿分10分)如圖，已知矩形 ABCD所在平面垂直于直角梯形 ABPE所在平面，其交線為 AB ,且AB = BP = 2, AD = AE = 1 , AE AB ,且 AE / BP.(1)求平面PCD與平面ABPE所成的二面角的余弦值；(2)線段PD上是否存在一點 N,使得直線BN與平面PCD所成角的正弦值等于|?若存在，試確定5點

10、N的位置；若不存在，請說明理由.(本小題滿分10分)在正整數(shù)集上定義函數(shù)y=f(n),滿足 f(n)f(n + 1)+1 = 22 f(n + 1),且 f(1) = 2.,、9(1)求證：f(3)-f(2)=-；1(2)是否存在實數(shù)a, b,使f(n) = 一a+1,對任意正整數(shù) n恒成立，并證明你的結(jié)論.：b2018屆蘇州高三年級第一次模擬考試 數(shù)學參考答案10. 18119.淄 2. 2 3. (-2, 0) 4. 5. 2 6.48 7.-9 8. ； 9. 30 兀4. (x 1)2+(y +2)2 = 212. 1,3-11, 93 + ln2215.解析：(1) f(x) = (

11、/3cosx + sinx)2 2-/3sin2x =3cos2x+ 273sinxcosx+ sin2x 2/3sin2x3(1 + cos2x) + 1 cos2x帽sin2x(2 分)=cos2x J3sin2x +2 = 2cos 2x+； +2.(4 分)r兀兀當 2x+w=2kTt + Tt,即 x=kTt + (ke Z)時，f(x)取得最小值 0, 兀此時自變量x的取值集合為 x x=kTt + y, kCZ.(7分)兀(2)由知 f(x) =2cos 2x+萬 +2.令兀 + 2k 兀 w 2x+ y& 2 兀 + 2k 兀(k C Z), (8 分)解得 *+ k 兀 w

12、xw M+k 兀(kC Z), (10 分) 36兀 兀人兀兀兀 兀又 xC萬，令 k=1, x-2,一刀，令 k=0, xC 萬，,兀 兀 兀兀兀 兀所以函數(shù)f(x)在一萬，上的單倜增區(qū)間是 _-2, 一 6和 W 2 .(14分)16.解析：(1)因為E, F是A1D1 , B1C1的中點，所以 EF / A1B1.在正方體 ABCDA1B1C1D1 中，A1B1 / AB ,所以 EF /AB.(3 分)又 EF?平面 ABHG , AB ?平面 ABHG ,所以EF /平面 ABHG.(6分)(2)在正方體 ABCDA1B1C1D1 中，CD，平面 BB1C1C ,又 BH?平面 BB

13、1C1C ,所以 BH，CD.(8 分)設 BHH CF=P,易知BCHA CC1F,所以/ HBC =/ FCC1.因為/ HBC +Z PHC=90 ,所以/ FCC1 +/ PHC= 90 .所以/ HPC=90 ,即 BHCF.(11 分) 又 D6 CF =C, DC, CF?平面 CFED , 所以BH，平面CFED.又BH?平面ABHG ,所以平面 ABHG，平面 CFED.(14分)17.解析：(1)由題意，輪船航行的方位角為以所以/ BAP = 90 & AB = 50,則 AP =50=-50-, BP=50tan(90 e 4 50sin(90 =50cos 9cos (

14、90 3 sin 0cos (90 0) sin 0,50cos 0所以 PC = 100-BP= 100-(4 分)sin 0由a至up所用的時間為-=券=-2-,25 sin 0100 由P到C所用的時間為t2 =50cos 0sin 0754_ 2cos 03 3sin 0(6分)所以由A經(jīng)P到C所用時間與。的函數(shù)關系為24 2cos 0f( Ht1+t2=snr+ 33sn?62cos( + 43sin 03(8分)一 兀 1函數(shù)f（。的定義域為“，萬，其中銳角a的正切值為1（2）由知）H6 2cos(3sin 0n2 a04 一所以f (1 3cos 0 )9sin2 0令 f（=e

15、0,解得 cos。= -.（io 分）3 TOC o 1-5 h z 設 60e o, 1，使 cose 0=-. 23當。變化時，f （0,） f（。的變化情況如下表:0(% 0 0)00兀00,1（。）一0十f( 0)X極小值 TOC o 1-5 h z （12 分）所以當0= 60時函數(shù)f（瞰得最小值，此時 BP = 50cos 9 0 =253217.68（km）. sin 0 02故在BC上選擇距離B為17.68km處為登陸點，所用時間最少.（14分）.解析：（1）由題意知c=坐，所以a=V2c.（1分） a 2又橢圓上動點P到一個焦點的距離的最小值為3（#1）,所以a-c= 3/2

16、3, （2分）解得 c= 3, a= 3y2,所以 b2 = a2c2=9, （4 分）所以橢圓C的標準方程為 凈算=1.（6分）（2）當直線l的斜率為0時，令y= 1,則x=為此時以AB為直徑的圓的方程為 x2+（y+1）2=16; （7分）當直線l的斜率不存在時，以 AB為直徑的圓的方程為 x2 + y2 = 9.（8分）x2+ （y+1） 2=16,聯(lián)立解得x=0, y=3,即兩圓過點T（0, 3）.x2 + y2=9,猜想：以AB為直徑的圓恒過定點 T（0, 3）. （9分）對一般情況證明如下：設過點M（0, 1）的直線l的方程為y= kx-1,與橢圓C交于點A（x1 , y1）, B

17、（x2 , y2）,y = kx -1, x2 + 2y2= 18,消去 y,整理得(1 + 2k2)x2-4kx-16=0,所以 x1 + x2 = 4k, x1x2 = .(12 分) 1+2k21 + 2k2()因為TA TB =(x1 , y1 3) (x2, y2-3) = x1x2 +y1y23(y1 + y2) + 9 = x1x2 + (kx1 1)(kx2 -1)-3(kx1-16 (k2+ 1)-1 + kx2- 1) + 9= (k2+ 1)x1x2 - 4k(x1 +x2) + 16 =2k2口16= -2)1 + 2k21+ 2k2+ 16=0,所以TAXTB.所以存

18、在以AB為直徑的圓恒過定點 T,且定點T的坐標為（0, 3）. （16分）.解析：（1）當n2時，Sn+Sn 1 =翅產(chǎn)，3a2+ 1 + 2所以 Sn + 1 + Sn =3,兩式相減得 an+1 + an=1(an+1 a2), 3即 an+ 1 an=3, n2; (2 分)a2+2當 n = 2 時，S2+ S1=,即 a23a210=0,解得 a2=5 或 a2=2(舍),3所以 a2 a1 = 3,即數(shù)列an為等差數(shù)列，且首項 a1 = 2,所以數(shù)列 an的通項公式為an= 3n 1.（5分）由知an=3n-1,所以Sn=n (3n 1 + 2)3n2 + n由題意可得 入Sn-

19、= 3n2+對一切n C N*恒成立, 2n+1 2n+21 3n2+n.i己 cn=,貝 cn 1 =2n+23 (n1) 2+ ( n-1)2n+ 1，n2,所以 cncn1 - 3n2+11n_4 n2.(8 分)2n+2當 n4 時，cn0 , qw1),a1 a2 an=10Tn,兩邊取常用對數(shù)，得Tn = lga1 + lga2 + + lgan.令 bn= lgan = nlgq + lga1 lgq,則數(shù)列bn是以lga1為首項，lgq為公差的等差數(shù)列.(13分)T (k+1) nTkn為定值，令一，則上*iTkn(k+ 1) n (k +1) n 1knlga1 +2kn (

20、kn 1)2 lgqlgq=即(k +1)2科 2lgqn +(k + 1)- k嶗=0 對 nC N* 恒成立, 因為 q0, q w1,（k+1） 2-科 2= 0,所以問題等價于（k+1）-0或a2=q.將V= 5代入(k + 1) -科k 0,解得四=0或(i = 1. k因為 k N* ,所以0 w 1,所以 a2= q.又an0,所以a1=我.(16分)x3 + x2, x0,當 x0 時，f(x) = - x3 + x2, f (x) = - 3x2+2x=- x(3x-2),2令f (x)0,解得x= 0或x=3(舍)，所以當x0時，f (x)0時，f(x) = ex 2x,

21、f (x) = ex2,令 f (x)0,解得 x= ln2, 所以當 0 xln2 時，f (x)ln2 時，f (x)0 ,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0, ln2)上為減函數(shù)，在區(qū)間(ln2 , + 8比為增函數(shù)，且f(0) = 10.(4分)綜上，函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(一8, 0)和(0, m2),單調(diào)增區(qū)間為(ln2, +8).(5分)(2)設 x0 ,則一x0), x、則 g （x）2x+1- = x22x3 + x2 3x2（x1） （2x2 + 3x+3）x2,（7 分）令 g (x)0,因為 x0,所以 2x2 + 3x+30,故解得 x=1.當 xC(0, 1)時，g (

22、x)0,所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0, 1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1, + 8止單調(diào)遞增， 故函數(shù)g(x)在x= 1處取得最小值g(1)= 5.(9分)要使方程a= g(x)在區(qū)間(0, + 8止有解，當且僅當 ag(xmin= g(1)= 5, 綜上，滿足題意的實數(shù)a的取值范圍為5, +8). (10分)(3)由題意知 f (x)ex-a.當awo時，f (x)0,此時函數(shù)f(x)在0 , + 8比單調(diào)遞增，由f(m) = f(n),可得m=n,與條件|mn|團盾，所以a0.(11分)令 f (x)0,解得 x= lna.當 xC(0, lna)時，f (x)0 , 所以函數(shù)f(x)在(0, l

23、na)上單調(diào)遞減，在(lna , +8)上單調(diào)遞增. 若存在 m, nC0, 2, f(m) = f(n),則 lna 介于 m, n 之間，(12 分) 不妨設 0WmnanW2.因為f(x)在(m, lna)上單調(diào)遞減，在(lna, n)上單調(diào)遞增，且 f(m) = f(n), 所以當 mexWn時，f(x) wf(m)= f(n),由 0WmnC2, |mn| 可得 1 C m, n, 所以 f(1) wf(m) f(n).又f(x)在(m, lna)上單調(diào)遞減，且 0Wmna,所以f(m) f(0) 所以 f(1) wf(0)同理 f(1) (ab+c)2 對一切實數(shù) a, b, c恒

24、成立，所以 |x-1|+|x+1| 3.當 x3,即 xW 3；當一1WxW時，23 不成立；當 x1 時，2x3,即 x卷.33綜上所述，實數(shù)x的取值范圍為 8, 2 U 2, +8.(1。分)22.解析：(1)因為平面 ABCD，平面 ABEP ,平面 ABCDA平面ABEP = AB , BPXAB ,所以BPX 平面ABCD.又AB LBC,所以直線BA , BP, BC兩兩垂直， 以B為原點，分別以 BA , BP, BC所 在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則 P(0, 2, 0), B(0, 0, 0), D(2, 0, 1), E(2, 1, 0), C(0, 0, 1).因為BC,平面 ABPE,所以BC=(0, 0, 1)為平面ABPE的一個法向量.(2分)V, z),pD=(2, 2, 1), CD = (2, 0, 0),設平面 PCD 的一個法向量為 n=(x,n CD=0, 2x=0,則即令 y=1,則 z=2,故 n = (0, 1, 2). (4 分)nPD=0, 2x 2y+z=0,設平面PCD與平面ABPE所成的二面角為 TOC o 1-5 h z n ntt n n BC 22