著名機(jī)構(gòu)初中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義相似的判定第06講B教師版

1、講義制作人：王婿老師但三中考要求內(nèi)容基本要求略局要求較局要求相似了解比例的基本性質(zhì)，了解線段 的比、成比例線段，會(huì)判斷四條 線段是否成比例，會(huì)利用線段的 比例關(guān)系求未知線段；了解黃金 分割；知道相似多邊形及其性質(zhì)； 認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中物體的相似；了 解圖形的位似關(guān)系會(huì)用比例的基本性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn) 題；會(huì)用相似多邊形的性質(zhì)解決 簡(jiǎn)單的問(wèn)題；能利用位似變換將 一個(gè)圖形放人或縮小相似三角形了解兩個(gè)三角形相似的概念會(huì)利用相似三角形的性質(zhì)與判定 進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理和計(jì)算；會(huì)利用 三角形的相似解決實(shí)際問(wèn)題相似多邊形知道相似多邊形及其性質(zhì)；認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中物體的相似會(huì)用相似多邊形的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單問(wèn)題重難點(diǎn).相似定義，性質(zhì)

2、，判定，應(yīng)用和位似.相似的判定和證明.相似比的轉(zhuǎn)化立課前預(yù)習(xí)上一節(jié)課我們知道了相似三角形的由來(lái)，那你是否知道其他跟金子塔有關(guān)的不可思議的事實(shí)呢？不僅建造金字搭的技術(shù)中，表現(xiàn)了古埃及人的非凡的數(shù)學(xué)天才；而且，它本身的許多數(shù)據(jù)，也說(shuō)明了古埃及人的數(shù)學(xué)才華，巧奪天工，比如，胡夫金字塔底面周長(zhǎng)365米，恰好是一年的天婁；周長(zhǎng)乘以 2,正是赤道的時(shí)分度；搭高乘以 10九次方，正是地球到太陽(yáng)的距離；周長(zhǎng)除以塔塔高的2倍，正是圓周率3. 1415926；塔的自重乘以10的15次方，正好是地球的重量；塔里放置的棺材 內(nèi)部尺寸，正好是幾 千年后希臘數(shù)學(xué)家華連哥拉斯發(fā) 現(xiàn)華連哥拉斯數(shù)一一345.數(shù)學(xué)的趣味是無(wú)法言

3、語(yǔ)的，同學(xué)們可以從身邊的點(diǎn)滴去發(fā)現(xiàn)其中的奧秘-例題精講模塊一平行線類相似問(wèn)題平行線類相似的基本模型有?模型一、二類綜合題1【例1】 如圖，在4ABC中，M是AC的中點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，且AE 一 AB ,連接EM并延長(zhǎng)，交BC 4的延長(zhǎng)線于D ,則空CDA【難度】3星【解析】先介紹常規(guī)的解法:如圖，過(guò)點(diǎn)C作DE或AB的平行線均可，不妨以左圖為例來(lái)說(shuō)明.過(guò)點(diǎn)C作CF/DE,交AB于點(diǎn)F ., AM MC , CF/DE ，AEEF1 AE AB4BFEF CF /DEBCCD時(shí)2 EF當(dāng)然，過(guò)點(diǎn)M、點(diǎn)E作適當(dāng)?shù)钠叫芯€，均可作出此題，這里不再給出.以上這些解法均屬于常規(guī)解法，下面介紹特殊的解法：看

4、ABC為直線EMD所截，由梅涅勞斯定理可知，AE BD CM iEB DC MApi八 皿BD BC又 AE AB , AM CM ,故324DC CD上述圖形是一個(gè)經(jīng)典的梅氏定理的基本圖形，解類似的題時(shí)，梅氏定理的運(yùn)用能夠帶來(lái)立竿見(jiàn)影的效果，很快得出答案，梅氏定理的證明見(jiàn)變式1,先講變式1再介紹本解法.【鞏固】如圖， AD是4ABC的中線，點(diǎn)E在AD上，F(xiàn)是BE延長(zhǎng)線與AC的交點(diǎn).AF 1（1）如果E是AD的中點(diǎn)，求證:FC 2 （2）由（1）知，當(dāng)E是AD中點(diǎn)時(shí)，世 1 ”成立，若E是AD上任意一點(diǎn)（E與A、D不FC 2 ED重合），上述結(jié)論是否仍然成立，若成立請(qǐng)寫出證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明

5、理由.【難度】3星【解析】（1）過(guò)點(diǎn)口、E、F作平行線均可構(gòu)造出平行線的基本圖形，然后利用這些基本圖形的性質(zhì)來(lái)解題.以下給出6種輔助線（還有幾種沒(méi)給 出），解題過(guò)程不再給出.當(dāng)然，本題也可由梅氏定理直接得出結(jié)果.看 ADC被直線BEF所截，由梅氏定理可得 處 CB 運(yùn) 1FC BD EAAF 1又 AE DE , BD CD ,故一.FC 2（2）結(jié)論依然成立，解法同上（包括用梅氏來(lái)解題），不再給出.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）結(jié)論依然成立【拓展】如圖，在 ABC中,D為BC邊的中點(diǎn)，E為AC邊上的任意一點(diǎn),BE交AD于點(diǎn)O .(1)當(dāng)任AC(2)當(dāng)任AC（3）試猜想解答AEECAEAC當(dāng)ae

6、AC當(dāng)Ai1 ,. 一時(shí)，求23、4 時(shí)，AEACAO的值;AD求公O的值;AD時(shí)皿的值,AD并證明你的猜想.1 時(shí)，AO4 AD工時(shí), n 1AOADAOADAO證明方法比較多,選擇兩種介紹:如上右圖，過(guò)點(diǎn)D作DF /BE,交AC于點(diǎn)F . DF/BE, BD CD . EF CF.AE 1AC n 1 DF / /BE1 _ nCE nAE , EF - CE - AE 22,AO AE 2 AO 2OD EF nAD 2另一種解法就是梅氏定理，看ADC被直線BOE所截可知【例2】AODBCEODBCEA, 工AE1 ,而ACCE nAE , BD CD ,AOAD 2AO (1ADAEA

7、CAOADAE1AO2；當(dāng)-時(shí)，-AC4AD5當(dāng)AEAC如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O,直線l平行于及AC的延長(zhǎng)線分別相交于點(diǎn) M、N、R、S和P .求證：PM BD /MSBOPROCCPODPNBDPN且與.型PRODBOBD /MSBOPMAOAPODPSPSPMODBOpnPRPSPMPNPR PSPM點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)證明原結(jié)論的變形式例）來(lái)證明他們AEAO時(shí)，一n 1 ADAB、DC、BC、ADPR PS兩個(gè)分式（比例）等于一個(gè)相同（或相等）的分式（比【鞏固】已知，如圖，四邊形ABCD,兩組對(duì)邊延長(zhǎng)后交于 E、F ,對(duì)角線BD / EF , AC的延長(zhǎng)線交EF于G .求

8、證：EG GF .【難度】5星【解析】略【答案】證法一：過(guò) C 作 MN / EF 交 AE、AF 于 M , N ,MC EM FN CNBD EB FD BDMC CN，又 MN II EF ,證法二：由塞瓦定理的充分性可得EG FD ABGF DA BEABBEADDF代入上式得EG FD ADGF DA DF1 ,即EG 1 .所以EGGF【鞏固】已知：P為 ABC的中位線MN上任意一點(diǎn)，BP、CP的延長(zhǎng)線分別交對(duì)邊求證：股玉1 DC EBAC、AB 于 D、E ,CBCMCACCNEGAGGFEGGF .【難度】5星【解析】略【答案】延長(zhǎng)BD、CE分別交過(guò)A的平行BC的直線于R、Q兩

9、點(diǎn), QR / MN / BC ,且 AM BM ,PQ PC,PR PB又 QPRCPBPQR0PCB ,可得 QR BC , AD AR AE AQ 又，DC BC EB BC.AD AE AR AQ AR AQRQ BCCD EB BC BCBCBCBC?模型三類綜合題【例3】如圖，已知 AB/EF/CD ,若ABCDEF c,求證：-aAB/EF CD/EF兩式相加并變形可得,如上圖， ABBD,1 1EFDFABBDEFCDBFBD1EF1AB1CDCD1垂足分別為B、D, AC和BD相交于點(diǎn) E, EF BD ,垂足AB CD EF【解析】【鞏固】由 AB BD, CD BD ,

10、EF BD ,則必有 AB/CD/EF .進(jìn)而可知 變AB -1兩式相加并變形可得，EF如圖，已知 AB/EF/CD ,1S BED11S ABD S BCD垂足為由變式一， 11可知，EM1AH1AB1CD找出A、1CNS ABD、S BEDE、C分別作DFBdEFCDBFBD，S BCD之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論CBD的垂線,111 BD EM211 -BD 2AH1-1BD CN2BED1S ABD1S BCD點(diǎn)評(píng)：此題的證明過(guò)程體現(xiàn)了集中”這一思想,正集中到同一條線段 BD上，從而發(fā)CD現(xiàn)它們的和是一個(gè)常數(shù)【拓展】 如圖，在梯形 ABCD中，AD / BC , AD a , BC b,

11、 E , F分別是 AD , BC的中點(diǎn)，AF交BE于P , CE交DF于Q ,求PQ的長(zhǎng)?！窘馕觥浚悍椒ㄒ唬河葾D / BC可知,EPPB1生1 aBF lb b2EP a PQabPQ -EB a b BCa b方法二：觀察此題與上題頗為相似，于是猜想PQ / /AB / /CD，但是本題中沒(méi)有可以直接使用基本圖形結(jié)論的條件，可通過(guò)連接EF來(lái)實(shí)現(xiàn)，設(shè) EF、PQ交于點(diǎn)O.1. AD /BCAP AEDQ DE一 一，PF BFFQ CF. AE DE , BF CF,AP DQPF FQPQ / /AD /BC.OP OF OQ AE EF DEOP OQ （, AE DE,其中正為中間過(guò)

12、渡量）EF1.AE/OP/BF1112 2 ab OP OP AE BF a b2(a b)PQaba b如果雙向延長(zhǎng)PQ分別與AB、CD交于點(diǎn)G、H ,則有GP OP OQ QH模塊二 角平分線類相似問(wèn)題角平分線類的相似模型如下:*方法點(diǎn)播：角平分線類得相似問(wèn)題基本就這樣的兩種模型，輔助線的做法也如圖中虛線所示，學(xué)生在學(xué)這部分知識(shí)時(shí)，不管是平時(shí)測(cè)驗(yàn)和期中、期末考試，只要涉及到角平分線和證明相似問(wèn)題就可以試著做這樣的輔助線，基本都可以解決.【例4】 在RtABC中，線段CE平分 ACB交AB于點(diǎn)E ,交斜邊上的高 AD于點(diǎn)O ,過(guò)O引BC的平行線交于F .求證： AE BF .【難度】3星【解

13、析】在相似問(wèn)題中遇到證明線段相等的問(wèn)題時(shí)一定要能想到：這個(gè)證明可能是由兩組成比例線段進(jìn)行等量代換得到.本題由角平分線得到角相等再由都是直角三角形，可證明一組相似三角形得到一AEAC BFAB組成比例線段，再根據(jù)平行線分三角形兩邊成比例得到比例線段，最后 TOC o 1-5 h z ODCDODAD ACABAE BF再根據(jù)一組相似三角形得到成比例線段，等量代換得到 ，題目得證CD ADOD ODAE BF .【答案】: CE平分 ACB23CAEs RtACDOAE ACOD CD又 OF II BCBF ABOD AD又,Rt ABDsRDCADAC AB 口 AE BF,即 CD AD O

14、D OD .AE BF注意：應(yīng)用比例線段證明兩直線平行或兩線段相等時(shí)，（1）要注意如果相關(guān)的比例式較多，一時(shí)難以作出選擇，應(yīng)將所有相關(guān)的比例式都寫出來(lái)，然后再仔細(xì)對(duì)比、分析選出有用的。（2）要注意比例性質(zhì)的靈活運(yùn)用，善于總結(jié)比例式變換時(shí)的方法和技巧。變化時(shí)，要頭腦清醒，思路清晰，一個(gè)字母也不放過(guò)，并且每一步都要有根有據(jù)，切不可無(wú)根據(jù)的亂變，或者相當(dāng)然地硬變?！眷柟獭吭?ABC中,BAC 120 , AD平分 BAC交BC于點(diǎn)D ,求證:111AD AB AC【難度】3星【解析】解法一：本題可根據(jù)角平分線類相似的模型首先試著作出輔助線：過(guò)點(diǎn)D作AB的平行線，由于所給 BAC 120平分之后有兩個(gè)

15、60的特殊角，可判定 4ADE為等邊三角形，再根據(jù)相似和平行導(dǎo)出線段的比例關(guān)系，最關(guān)鍵的一步是，將所得的兩組線段整體相加，得到一個(gè)新的等式，最 后發(fā)現(xiàn)問(wèn)題得證.解法二：分別以 AB,AC為邊向外作兩個(gè)等邊三角形，即AABM AACN ,由平分后的角度為CD AD 一 BD AD60,可輕易證明 AD II BM II CN得到兩組比例線段 和 ，兩者相加后又重新 BC BM BC CN得到一個(gè)新的等式，再根據(jù)等邊三角形的特點(diǎn)代換相等的線段，最后問(wèn)題也得證.（本題只給出第一種解法的步驟）過(guò)點(diǎn)D作AB的平行線，交AC于點(diǎn)E.BAC 120 ,BADCADBAD CAD60. DE II AB ,【

16、拓展】ADEBAD60 AD AEDE / AB.DE AEAB ACDEDEABCDBCCDBCAEACBDBCBDBC等式兩邊同除以AD ,則有:1AB1AC1AD如圖所示， ABC的三條外角平分線 BE、AD、CF ,與對(duì)邊所在直線交于E、D、F三點(diǎn),求證：D、E、F三點(diǎn)共線.本題接觸到了一個(gè)新的定理叫作梅涅勞斯定理.下面給學(xué)生介紹一下這一定理.梅涅勞斯定理：X、Y、Z分別是 ABC三邊所在直線 BC、CA、AB上的點(diǎn).則X、Y、Z共線的充分必要條件是:CX BZ AY , 1 .XB ZA YC根據(jù)命題的條件可以畫(huà)出如圖所示的兩個(gè)圖形:或X、Y、Z三點(diǎn)中只有一點(diǎn)在三角形邊的延長(zhǎng)線上，而

17、其它兩點(diǎn)在三角形的邊上；或X、Y、Z三點(diǎn)分別都在三角形三邊的延長(zhǎng)線上.CX證明：(1)必要性，即若X、Y、Z三點(diǎn)共線，則 XBBZZAAYYC CX設(shè)A、B、C到直線XYZ的距離分別為a、b、c .則CX XBBZZAAYYCCX BZ即得XB ZAAYYC(2)充分性,即若CXXBBZZAAY1 ,則X、Y、Z三點(diǎn)共線.YC設(shè)直線XZ交AC于Y ,由已證必要性得:CX BZ AYXB ZA Y C1又因?yàn)榭諈^(qū)XXB ZA YC1,所以AYYCAYYC因?yàn)閅和Y或同在AC線段上，或同在AC邊的延長(zhǎng)線上,并且能分得比值相等， 所以Y和丫比重合為一點(diǎn)，也就是 X、Y、Z三點(diǎn)共線.梅涅勞斯定理的應(yīng)用

18、，一是求共線線段的筆，即在CXXBBZ、人工三個(gè)比中，已知其中兩個(gè)可ZA YC以求得第三個(gè).二是證明三點(diǎn)共線.【答案】由外角平分線性質(zhì)定理可得:BD AB CE，一BC AC EABCABAFFBAC ,所以BCBD CE AFBC EA FBABACBC AC , 1 .AB BC由梅涅勞斯定理的逆定理可得D、E、F三點(diǎn)共線.【拓展】如圖,已知證明:A是1OPXOY的平分線上的定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) A任作一條直線分別交 OX、OY于P、Q.1 1、一 ，是定值；求OQ_22OP OQ的最小值Q【難度】6星【解析】略【答案】方法過(guò)點(diǎn)A作OA的垂線，分別交 OX、OY于點(diǎn)F、E ,過(guò)點(diǎn)P作OY的平行線交E

19、F的延長(zhǎng)線于XOAYOA, EFOAOEOFKP / OYKPQEPAAQKPOEPFOF KP PFKPQEPFQEPAAQXOAYOAPAOPAQOQ,pf opQE OQPFOPQEOQOFOPOFPFOPOPOPOE1OE OQOQEQOQOFOP三1OQOFOPOE 2OQOP OQ OE因?yàn)锳點(diǎn)為定點(diǎn)，故F均為定點(diǎn),OE為定值，所以1OP1 、一是定值.OQ方法 過(guò) A 作 AM / OY ,交 OXQ Y易證得:AMOM設(shè)AMOMa , AM / OYaOQPMOP整理得:OQ OP a 已知A是 XOY的平分線上的定點(diǎn),a為定值.11為定值.OQ OP因?yàn)楣? OP OQ11

20、211()2OP OQ OP OQ，其中Op1 、一 為定值，要使OQ1op21，一2的值最OQ小，則必須使OPOQ的值最小.而 OP OQ (OFPF) (OE EQ) OE2(OEEQ)PFOEEQ PF又Q -EQOPOQ(OEEQ) PFOE EQ OE PF OPEQ(OEOQ)PF當(dāng)且僅當(dāng)OP OF,即點(diǎn)P處于點(diǎn)F處時(shí)OP OQ有最小值2OE .，1此時(shí)12OP OQ,9有最小值當(dāng)OE2本題的小問(wèn)歸根結(jié)底用到的也是拆分,不過(guò)它里面結(jié)合了角平分線定理”和復(fù)雜的比例變換.【例5】 已知 ABC中， BAC的外角平分線交對(duì)邊AD2BDCD AB AC【難度】5星【解析】略BC的延長(zhǎng)線于

21、D ,求證:【答案】在 ABC外作 ABEADB交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E ,24 ,又 1 BDE,AEBs ADCAE AB一,即 AE AD AB AC ,AC AD由 AEBs ADC 可得： ACD E ,又 ADC BDE ,DACs DBE , DA DE DC DB ,得：DA DE-AE AD=DC DB AB AC AD(DE AD) DC DB AB AC ,即 AD2 BD CD AB AC已知：AD、AE分別為 ABC的內(nèi)、外角平分線,-2AB2 BM272 ZAC2 CMM為DE的中點(diǎn)，求證:【難度】5星【解析】略【答案】連接AM ,由已知條件可知DAE 90 ,ACM

22、CAD ADC BAD DAC CAM又 AMC AMBAMC s BMA ,AB BMAB AM，AC AMAC CM2AB2 BMAC2 CM課堂檢測(cè).如圖所示， ABCDEF是一個(gè)凸六邊形，P、Q、R分別是直線 BA與EF、FE與CD、DC 與AB的交點(diǎn)，S、T、U分別是BC與ED、DE與AF、FA與CB的交點(diǎn)，如果AB ： PR CD： RQ EF ： QP ,求證：BC：US DE ：ST FA: TU .【難度】5星【解析】略【答案】本題的條件和結(jié)論都是三個(gè)線段之比的連等式，且AB、CD、EF構(gòu)成一個(gè)與PQR相似的三角形的三邊，因而可以考慮通過(guò)平移變換將AB、CD、EF集中到一起構(gòu)

23、成一個(gè)與PQR相似的三角形.如圖所示，將CD平移至OE位置，則 OE / CD ,且OE=CD ,所以 FEOQ ,且 EO：QR CD：QR EF：QP ,因此 FEO s PQR ,從而 OFE P ,且 FO ： PR EF ： QP AB ： PR .這說(shuō)明 FO / AB,且 FO=AB,進(jìn)而 FA II OB ,且 FA = OB .又因?yàn)镃O II DE ,于是 COBs STU ,所以 BC：US CO ：ST OB: TU ,注意到 CO DE , OB FA , 故 BC：US DE：ST FA:TU .2.已知AD、AE分別為 ABC的內(nèi)、外角平分線，求證:112BD B

24、E BC【難度】【解析】【答案】由三角形內(nèi)、外角平分線性質(zhì)定理得:AC CDAB BDACABCEBE .CD CEBD BEBE1BCBE ，+, BC BD故BD整理得：BC(BE BD) 2BD BE ,一,一_人,-112兩邊同除以BC BE BD得BD BE BC遍系總結(jié)復(fù)習(xí)1.通過(guò)本堂課你學(xué)會(huì)了 2,掌握的不太好的部分 3.老師點(diǎn)評(píng)：課后作業(yè)1.如圖，在直角 4ABC中（C 90）,放置邊長(zhǎng)分別3,4, x的三個(gè)正方形，則 x的值為【難度】3星【解析】根據(jù)已知條件可以推出 CEF sOMEPFN然后把它們的直角邊用含 x的表達(dá)式表示出來(lái),利用對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可推出x的值.【答案】

25、7,在直角 ABC中（C 90）,放置邊長(zhǎng)分別3,4, x的三個(gè)正方形,，根據(jù)CEF sOMEsPFN ,OE OMPN PF. EF x, MO 3,PN.OE x 3,PF x4,3x412,2.如圖，在0 （不符合題意,舍去），xABC中，M是AC的中點(diǎn),E是AB上一點(diǎn)，且AE1-AB,連接 4EM并延長(zhǎng)，交BC的延A. 1BLi/的長(zhǎng)為（CD).C.【解析】先介紹常規(guī)的解法:如圖，過(guò)點(diǎn)C作DE或AB的平行線均可,不妨以左圖為例來(lái)說(shuō)明.過(guò)點(diǎn)C作CF/DE ,交AB于點(diǎn)F . AM MC , CF/DE . . AEEF1 AE AB 4BFEF CF /DE更CDBFEF當(dāng)然，過(guò)點(diǎn)M、點(diǎn)

26、E作適當(dāng)?shù)钠叫芯€，均可作出此題，這里不再給出.以上這些解法均屬于常規(guī)解法，下面介紹特殊的解法：看ABC為直線EMD所截，由梅涅勞斯定理可知，AE BD CM 1EB DC MA1一 BD BC又 AE -AB, AM CM ,故324DC CD上述圖形是一個(gè)經(jīng)典的梅氏定理的基本圖形，解類似的題時(shí)，梅氏定理的運(yùn)用能夠帶來(lái)立竿見(jiàn)影的效果，很快得出答案，梅氏定理的證明見(jiàn)變式1,先講變式1再介紹本解法.【答案】B3.如圖1, 4ABC中，AI,BI分別平分 BAC, ABC. CE是4ABC的外角 ACD的平分線，交 BI延長(zhǎng) 線于E ,連接CI .4ABC變化時(shí)，設(shè) BAC 2 .若用 表示 BIC和 E,那么 BIC =, Z E=;(2)若AB 1,且4ABC與AICE相似，求相應(yīng) AC長(zhǎng)；(3)如圖2,延長(zhǎng)AI交EC延長(zhǎng)線于F .當(dāng) ABC形狀、大小變化時(shí)，圖中有哪些三角形始終與 4A舊 相似？寫出這些三角形，并選其中之一證明.圖1圖2【難度】3星【解析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系可以用表示 BIC和 E ;(2) ABC與 ICE相似，根據(jù)題意知ICE 90,可分三種情況討論并求出相應(yīng)AC長(zhǎng);(3)共三對(duì) EIF.ECB,AC