人教版導與練總復習數(shù)學一輪課時作業(yè)：第六章第4節(jié)　余弦定理和正弦定理及其應用

1、第4節(jié)余弦定理和正弦定理及其應用知識點、方法基礎鞏固練綜合運用練應用創(chuàng)新練利用正弦、余弦定理解三角形1,2,3,4與面積有關的解三角形問題7,8解三角形的實際應用5,101118綜合6,912,13,14,15,16171.(2021安徽安慶模擬)若ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知bsin 2A=asin B,且c=2b,則ab等于(D)A.32 B.43 C.2 D.3解析:由bsin 2A=asin B,得2sin Bsin Acos A=sin Asin B,得cos A=12.又c=2b,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+4b2-4b212=3b

2、2,得ab=3.故選D.2.(2021河北唐山模擬)在ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=2,b=3,c=4,設AB邊上的高為h,則h等于(D)A.152B.112C.3154D.3158解析:由余弦定理,得cos A=b2+c2-a22bc=9+16-4234=2124=78,則sin A=1-cos2A=1-4964=1564=158,則h=ACsin A=bsin A=3158=3158.故選D.3.(多選題)在ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a=1,b=2,A=30,則B等于(BC)A.30B.45C.135D.150解析:根據(jù)正弦定理asinA=b

3、sinB得,sin B=bsinAa=2121=22,由于b=21=a,所以B=45或135.故選BC.4.ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-14,則bc等于(A)A.6B.5C.4D.3解析:因為asin A-bsin B=4csin C,所以由正弦定理得a2-b2=4c2,即a2=4c2+b2.由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=b2+c2-(4c2+b2)2bc=-3c22bc=-14,所以bc=6.故選A.5.(多選題)某人向正東走了x km后向右轉了150,然后沿新方向走3 km,結果離出發(fā)點恰好3

4、 km,那么x的值是(AB)A.3 B.23 C.3 D.6解析:如圖,AB=x,BC=3,AC=3,ABC=30.由余弦定理得3=x2+9-23xcos 30.解得x=23或x=3.故選AB.6.(多選題)對于ABC,有如下判斷,其中正確的是(ABD)A.若cos A=cos B,則ABC為等腰三角形B.若ABC為銳角三角形,有A+B2,則sin Acos BC.若a=8,c=10,B=60,則符合條件的ABC有兩個D.若sin2A+sin2B2,則2A2-B0,所以sin Acos B,故B正確;對于C,由余弦定理可得b=82+102-281012=84,只有一解,故C錯誤;對于D,若si

5、n2A+sin2Bsin2C,則根據(jù)正弦定理得a2+b2c2,cos C=a2+b2-c22abAC,故CDA為銳角,所以CDA=60,D正確,C錯誤.故選ABD.12.(多選題)在ABC中,a,b,c分別是內角A,B,C的對邊,C為鈍角,且c-b=2bcos A,則下列結論中正確的是(ABD)A.a2=b(b+c) B.A=2BC.0cos A12 D.0sin B90,所以0A60,0Bcos A12,0sin B3對任意正數(shù)x恒成立,則A的取值范圍是.解析:由(sin2A-sin2B)sin C=(sin2A+sin2B)sin(A-B),可得(sin2A-sin2B)sin(A+B)=

6、(sin2A+sin2B)sin(A-B),則(sin2A-sin2B)(sin Acos B+cos Asin B)=(sin2A+sin2B)(sin Acos B-cos Asin B),整理得sin2Acos Asin B=sin2Bsin Acos B,因為角A,B,C為三角形的內角,所以sin Acos A=sin Bcos B,因此sin 2A=sin 2B,又三角形各邊均不相等,所以各角均不相等,因此2A+2B=,即A+B=2,所以C=2,則B=2-A,所以cos B=sin A,且A(0,4)(4,2),則cos A0,不等式 3xcos A+cosBx3可化為(3cos A

7、)x2-3x+cos B0,即(3cos A)x2-3x+sin A0,令f(x)=(3cos A)x2-3x+sin A,則其對稱軸為x=12cosA0,又 3xcos A+cosBx3對任意正數(shù)x恒成立,等價于f(x)=(3cos A)x2-3x+sin A0對任意正數(shù)x恒成立,所以只需f(x)min=f(12cosA)=3cosA4cos2A-32cosA+sin A=sin A-34cosA0,即sin 2A32,解得32A2或22A23,即6A4或4A3,即A的取值范圍是(6,4)(4,3).答案:2(6,4)(4,3)15.在(a-c)(sin A+sin C)=b(sin A-s

8、in B);2ccos C=acos B+bcos A;ABC的面積為12c(asin A+bsin B-csin C)這三個條件中任選一個,補充在下面的問題中,并加以解答.已知ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且.(1)求C;(2)若D為AB的中點,且c=2,CD=3,求a,b的值.解:(1)選擇,根據(jù)正弦定理得(a-c)(a+c)=b(a-b),整理得a2-c2=ab-b2,即a2+b2-c2=ab,所以cos C=a2+b2-c22ab=12.因為C(0,),所以C=3.選擇,根據(jù)正弦定理有sin Acos B+sin Bcos A=2sin Ccos C,所以sin(A+

9、B)=2sin Ccos C,即sin C=2sin Ccos C.因為C(0,),所以sin C0,從而有cos C=12,故C=3.選擇,因為12casin B=12c(asin A+bsin B-csin C),所以asin B=asin A+bsin B-csin C,即ab=a2+b2-c2,由余弦定理,得cos C=a2+b2-c22ab=ab2ab=12.又因為C(0,),所以C=3.(2)在ACD中,AC2=AD2+CD2-2ADCDcos ADC,即b2=1+3-23cos ADC.在BCD中,BC2=BD2+CD2-2BDCDcos BDC,即a2=1+3-23cos BD

10、C.因為ADC+BDC=,所以cos ADC=-cos BDC,所以a2+b2=8.由C=3及c=2,得a2+b2-4=ab,所以ab=4,從而a2+b2-2ab=0,所以a=b=2.16.ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知asin A+C2=bsin A.(1)求B;(2)若ABC為銳角三角形,且c=1,求ABC面積的取值范圍.解:(1)由題設及正弦定理得sin Asin A+C2=sin Bsin A.因為sin A0,所以sin A+C2=sin B.由A+B+C=180,可得sin A+C2=cos B2,故cos B2=2sin B2cos B2.因為cos B20,

11、所以sin B2=12,所以B=60.(2)由題設及(1)知ABC的面積為SABC=34a.由(1)知A+C=120,由正弦定理得a=csinAsinC=sin(120-C)sinC=32tanC+12.由于ABC為銳角三角形,故0A90,0C90.結合A+C=120,得30C90,所以12a2,從而38SABC32.因此,ABC面積的取值范圍是(38,32).17.已知ABC中,AC=2,BC=6,ABC的面積為32,若線段BA的延長線上存在點D,使BDC=4,則CD=.解析:因為AC=2,BC=6,ABC的面積為32=12ACBCsin ACB=1226sin ACB,所以sin ACB=

12、12,所以ACB=6或56,若ACB=56,則BDC=44+56,與三角形內角和定理矛盾,所以ACB=6,所以在ABC中,由余弦定理得AB=AC2+BC2-2ACBCcosACB=2+6-22632=2,所以AB=AC,所以B=6,所以在BDC中,由正弦定理可得CD=BCsinBsinBDC=61222=3.答案:318.如圖所示,經過村莊A有兩條夾角為60的公路AB,AC,根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域建一工廠P,分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M,N(異于村莊A),要求PM=PN=MN=2(單位:km).如何設計,使得工廠產生的噪聲對居民的影響最小(即工廠與村莊的距離最遠)?解:設AMN=,在AMN中,MNsin60=AMsin(120-).因為MN=2,所以AM=433sin(120-).在APM中,cos AMP=cos(60+).AP2=AM2+MP2-2AMMPcos AMP=163sin2(120-)+4-22433sin(120-)cos