2011屆數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)全套精品課件：第05單元第2節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式

1、第二節(jié) 同角三角函數(shù)的根本關(guān)系與誘導(dǎo)公式根底梳理1. 同角三角函數(shù)根本關(guān)系式1平方關(guān)系： ;(2)商數(shù)關(guān)系：即同一個角的正弦、余弦的 等于1， 等于角的正切.2. 商數(shù)關(guān)系 成立的角的取值范圍是平方和商sin2+cos2=12021屆高考迎考復(fù)習(xí)更多資源請點擊： :/高中教學(xué)網(wǎng)3. 誘導(dǎo)公式(1)公式一sin(+k2)= sin ,cos(+k2)= cos ,tan(+k2)= tan , 其中kZ.(2)公式二sin(-)= -sin ,cos(-)= cos ,tan(-)= -tan .(3)公式三sin(-)= sin ,cos(-)= -cos ,tan(-)= -tan .(4)

2、公式四sin(+)= -sin ,cos(+)= -cos ,tan(+)= tan .(5)公式五(6)公式六即+k2(kZ),-,的三角函數(shù)值，等于的 函數(shù)值，前面加上一個把看成 時原函數(shù)值的符號； 的正弦余弦函數(shù)值，分別等于的 函數(shù)值，前面加上一個把看成銳角時原函數(shù)值的符號.4. 必須對一些特殊角的三角函數(shù)值熟記，做到“見角知值，見值知角. 角030456090120150180270 角的弧度數(shù)0sin 010-1cos 10-10tan 01不存在0不存在同名銳角余弦正弦題型一 三角函數(shù)式的求值【例1】分析 由cos 求sin ,可利用公式sin2+cos2=1,同時要注意象限的劃分

3、.典例分析解 0,是第二或第三象限角.假設(shè)是第二象限角，那么sin 0,tan 0,假設(shè)是第三象限角，那么sin 0,tan 0,學(xué)后反思 (1)掌握常用的勾股數(shù)組：“3,4,5;“5,12,13;“8,15,17.(2)要根據(jù)問題的需要對公式sin2+cos2=1進(jìn)行變形及1的代換，即sin2=1-cos2,cos2=1-sin2,1=sin2+cos2.(3)根據(jù)一個角的正弦、余弦、正切中的一個值求其余兩個值(可簡稱為“知一求二)時,要注意由于這個角所在象限的情況不同,從而可能出現(xiàn)一組或兩組結(jié)果:如果三者之中其一的具體值且角所在的象限也已指定,那么只有一組結(jié)果;如果三者之中其一的具體值但未

4、指定角所在的象限,那么要按角所在的象限進(jìn)行討論,這時一般有兩組結(jié)果.舉一反三1. sin(-)-cos(+)= ,求以下各式的值：1sin -cos ;(2) .解析: 由sin(-)-cos(+)= ,得sin+cos= .將兩邊平方，得1+2sincos= ,2sincos=- .又 ,sin0,cos0.(1) =1-2sincos= ,sin-cos= .(2)題型二 三角函數(shù)式的化簡【例2】化簡：分析 化簡上式，要認(rèn)真觀察“角，顯然需利用誘導(dǎo)公式，注意誘導(dǎo)公式的合理選用.解 方法一：方法二：學(xué)后反思 當(dāng)角中含有 , ,2加減某個角時，要考慮用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡.1誘導(dǎo)公式應(yīng)用原那么是：

5、負(fù)化正、大化小、化到銳角為終了.22-可以化為+(-),也可以化為2+(-),-可以化為-(+),也可以化為-2+(-).舉一反三2. 化簡 題型三 三角函數(shù)恒等變形中的分類討論思想【例3】化簡：分析 化簡時注意觀察題設(shè)中的角出現(xiàn)了k,需討論k是奇數(shù)還是偶數(shù). 解析： 原式 解當(dāng)k=2n(nZ)時，當(dāng)k=2n+1(nZ)時， 綜上，原式=-1.學(xué)后反思 對角中含有k的三角函數(shù)化簡時，要對k分為偶數(shù)和奇數(shù)進(jìn)行討論：k為偶數(shù)時，參照2進(jìn)行化簡;k為奇數(shù)時，去掉偶數(shù)倍的后，參照進(jìn)行化簡.3. 求證： ,kZ.舉一反三證明： 假設(shè)k是偶數(shù)，即k=2n(nZ)，那么左邊= ;假設(shè)k是奇數(shù)，即k=2n+1

6、(nZ)，那么左邊= .原式成立.題型四 三角函數(shù)公式在解三角形中的應(yīng)用【例4】(14分)在ABC中，假設(shè)求ABC的三個內(nèi)角.分析 由誘導(dǎo)公式可化簡得sin A= sin B, cos A= cos B,進(jìn)而由sin2A+cos2A=1可求出角A，進(jìn)一步即可求出角B和角C.解由得 sin A= sin B, cos A= cos B，2 兩式平方相加,得 ，6 10 學(xué)后反思 在ABC中，A+B+C=,2A+2B+2C=2, sin(A+B)=sin(-C)=sin C,cos(A+B)=cos(-C)=-cos C,tan(A+B)=tan(-C)=-tan C.以上結(jié)論要牢記，另外要注意“

7、三角形這一條件的限制作用.舉一反三4. 在銳角三角形ABC中，求證：sin A+sin B+sin Ccos A+cos B+cos C.12 14 證明 :ABC是銳角三角形，A+B ,即 A -B0,sin Asin( -B),即sin Acos B;同理sin Bcos C,sin Ccos A,sin A+sin B+sin Ccos A+cos B+cos C.易錯警示【例】(2021曲阜月考)直線l的傾斜角是，且 ,那么直線l的斜率k=_錯解 因為直線l的傾斜角是,所以0,),又因為 ,sin2+cos2=1,所以 .于是l的斜率錯解分析 在解答此題時，考生很容易因無視傾斜角的取值

8、范圍，不注意對進(jìn)行分類討論，而只得到 的錯誤結(jié)果.因此在解決此類問題中，一定要養(yǎng)成全面考慮、分析問題的習(xí)慣.正解 因為直線l的傾斜角是，所以0,),又因為sin = ,sin2+cos2=1,所以于是l的斜率考點演練10. sin(3+)= ,求 的值.解析: sin(3+)= ,sin =- ,原式11. (2021揚州模擬)sin +cos = ,(0,),求tan 的值.解析：方法一：sin +cos = ,兩邊平方,得(sin +cos )2=1+2sin cos = 2sin cos = 又(0,),sin 0,又sin cos 0,cos 0, ,且sin -cos 0,由解得sin = ,cos = ,tan =sin cos = 方法二：聯(lián)立方程,由得cos = -sin ,代入,得整理,得25sin2-5sin -12=0,解得sin = 或sin = (0,),sin 0,sin = 12 . 在ABC中，角A,B,C的對邊分別為a，b，c，tan C= (1)求cos C; (2)假設(shè)CBCA= ,且a+b=9,求