遼寧省五校協(xié)作體2021-2022學(xué)年高三下第一次測試數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁
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文檔簡介

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1設(shè),分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),過的直線交橢圓于,兩點(diǎn),且,則橢圓的離心率為( )ABCD22019年某校迎國慶70周年歌詠比賽中,甲乙兩個(gè)合唱隊(duì)每場比賽得分的莖葉圖如圖所示(以十位數(shù)字為莖,個(gè)位數(shù)字為葉).若甲隊(duì)得分的中位數(shù)是86,乙隊(duì)得

2、分的平均數(shù)是88,則( )A170B10C172D123已知,為兩條不同直線,為三個(gè)不同平面,下列命題:若,則;若,則;若,則;若,則.其中正確命題序號(hào)為( )ABCD4設(shè)直線過點(diǎn),且與圓:相切于點(diǎn),那么( )AB3CD15某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( )ABCD6設(shè)全集,集合,則( )ABCD7下列函數(shù)中,既是奇函數(shù),又在上是增函數(shù)的是( )ABCD8偶函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,當(dāng)時(shí),求( )ABCD9已知命題,;命題若,則,下列命題為真命題的是()ABCD10已知正三角形的邊長為2,為邊的中點(diǎn),、分別為邊、上的動(dòng)點(diǎn),并滿足,則的取值范圍是( )ABCD11將一張邊長為的紙片按如圖(

3、1)所示陰影部分裁去四個(gè)全等的等腰三角形,將余下部分沿虛線折疊并拼成一個(gè)有底的正四棱錐模型,如圖(2)放置,如果正四棱錐的主視圖是正三角形,如圖(3)所示,則正四棱錐的體積是( )ABCD12一個(gè)超級(jí)斐波那契數(shù)列是一列具有以下性質(zhì)的正整數(shù):從第三項(xiàng)起,每一項(xiàng)都等于前面所有項(xiàng)之和(例如:1,3,4,8,16).則首項(xiàng)為2,某一項(xiàng)為2020的超級(jí)斐波那契數(shù)列的個(gè)數(shù)為( )A3B4C5D6二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13已知橢圓C:1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,橢圓的焦距為2c,過C外一點(diǎn)P(c,2c)作線段PF1,PF2分別交橢圓C于點(diǎn)A、B,若|PA|AF1|,則

4、_.14展開式中的系數(shù)為_.(用數(shù)字做答)15如圖,已知一塊半徑為2的殘缺的半圓形材料,O為半圓的圓心,殘缺部分位于過點(diǎn)C的豎直線的右側(cè),現(xiàn)要在這塊材料上裁出一個(gè)直角三角形,若該直角三角形一條邊在上,則裁出三角形面積的最大值為_.16已知、為正實(shí)數(shù),直線截圓所得的弦長為,則的最小值為_.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17(12分)已知圓:和拋物線:,為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)已知直線和圓相切,與拋物線交于兩點(diǎn),且滿足,求直線的方程;(2)過拋物線上一點(diǎn)作兩直線和圓相切,且分別交拋物線于兩點(diǎn),若直線的斜率為,求點(diǎn)的坐標(biāo)18(12分)已知函數(shù)在上的最大值為3.(1)求的值及函

5、數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若銳角中角所對(duì)的邊分別為,且,求的取值范圍.19(12分)已知函數(shù).(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn),求的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)時(shí),證明:20(12分)如圖,已知四棱錐,平面,底面為矩形,為的中點(diǎn),.(1)求線段的長.(2)若為線段上一點(diǎn),且,求二面角的余弦值.21(12分)如圖,在四棱錐中,側(cè)面為等邊三角形,且垂直于底面, ,分別是的中點(diǎn).(1)證明:平面平面;(2)已知點(diǎn)在棱上且,求直線與平面所成角的余弦值.22(10分)如圖,正方形所在平面外一點(diǎn)滿足,其中分別是與的中點(diǎn).(1)求證:;(2)若,且二面角的平面角的余弦值為,求與平面所成角的正弦值.參考答案一、選擇題:本題共12小

6、題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1C【解析】根據(jù)表示出線段長度,由勾股定理,解出每條線段的長度,再由勾股定理構(gòu)造出關(guān)系,求出離心率.【詳解】設(shè),則由橢圓的定義,可以得到,在中,有,解得在中,有整理得,故選C項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查幾何法求橢圓離心率,是求橢圓離心率的一個(gè)常用方法,通過幾何關(guān)系,構(gòu)造出關(guān)系,得到離心率.屬于中檔題.2D【解析】中位數(shù)指一串?dāng)?shù)據(jù)按從小(大)到大(?。┡帕泻螅幵谧钪虚g的那個(gè)數(shù),平均數(shù)指一串?dāng)?shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù).【詳解】由莖葉圖知,甲的中位數(shù)為,故;乙的平均數(shù)為,解得,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖的應(yīng)用,涉及到中位數(shù)、平

7、均數(shù)的知識(shí),是一道容易題.3C【解析】根據(jù)直線與平面,平面與平面的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【詳解】根據(jù)面面平行的性質(zhì)以及判定定理可得,若,則,故正確;若,平面可能相交,故錯(cuò)誤;若,則可能平行,故錯(cuò)誤;由線面垂直的性質(zhì)可得,正確;故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷直線與平面,平面與平面的位置關(guān)系,屬于中檔題.4B【解析】過點(diǎn)的直線與圓:相切于點(diǎn),可得.因此,即可得出.【詳解】由圓:配方為,半徑.過點(diǎn)的直線與圓:相切于點(diǎn),;故選:B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量數(shù)量積的計(jì)算,考查圓的方程,屬于基礎(chǔ)題.5D【解析】結(jié)合三視圖可知,該幾何體的上半部分是半個(gè)圓錐,下半部分是一個(gè)底面邊長為4,高為4的正三棱柱

8、,分別求出體積即可.【詳解】由三視圖可知該幾何體的上半部分是半個(gè)圓錐,下半部分是一個(gè)底面邊長為4,高為4的正三棱柱,則上半部分的半個(gè)圓錐的體積,下半部分的正三棱柱的體積,故該幾何體的體積.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖,考查空間幾何體的體積,考查空間想象能力與運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.6A【解析】先求得全集包含的元素,由此求得集合的補(bǔ)集.【詳解】由解得,故,所以,故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查補(bǔ)集的概念及運(yùn)算,考查一元二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.7B【解析】奇函數(shù)滿足定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且,在上即可.【詳解】A:因?yàn)槎x域?yàn)椋圆豢赡軙r(shí)奇函數(shù),錯(cuò)誤;B:定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且滿足奇函數(shù),又

9、,所以在上,正確;C:定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且滿足奇函數(shù),在上,因?yàn)?,所以在上不是增函?shù),錯(cuò)誤;D:定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且,滿足奇函數(shù),在上很明顯存在變號(hào)零點(diǎn),所以在上不是增函數(shù),錯(cuò)誤;故選:B【點(diǎn)睛】此題考查判斷函數(shù)奇偶性和單調(diào)性,注意奇偶性的前提定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,屬于簡單題目.8D【解析】推導(dǎo)出函數(shù)是以為周期的周期函數(shù),由此可得出,代值計(jì)算即可.【詳解】由于偶函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,則,則,所以,函數(shù)是以為周期的周期函數(shù),由于當(dāng)時(shí),則.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的對(duì)稱性和奇偶性求函數(shù)值,推導(dǎo)出函數(shù)的周期性是解答的關(guān)鍵,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.9B【解析】解:命題p:x0,

10、ln(x+1)0,則命題p為真命題,則p為假命題;取a=1,b=2,ab,但a2b2,則命題q是假命題,則q是真命題pq是假命題,pq是真命題,pq是假命題,pq是假命題故選B10A【解析】建立平面直角坐標(biāo)系,求出直線,設(shè)出點(diǎn),通過,找出與的關(guān)系通過數(shù)量積的坐標(biāo)表示,將表示成與的關(guān)系式,消元,轉(zhuǎn)化成或的二次函數(shù),利用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí),求出其值域,即為的取值范圍【詳解】以D為原點(diǎn),BC所在直線為軸,AD所在直線為軸建系,設(shè),則直線 , 設(shè)點(diǎn), 所以 由得 ,即 ,所以,由及,解得,由二次函數(shù)的圖像知,所以的取值范圍是故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查解析法在向量中的應(yīng)用,以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用11B

11、【解析】設(shè)折成的四棱錐的底面邊長為,高為,則,故由題設(shè)可得,所以四棱錐的體積,應(yīng)選答案B12A【解析】根據(jù)定義,表示出數(shù)列的通項(xiàng)并等于2020.結(jié)合的正整數(shù)性質(zhì)即可確定解的個(gè)數(shù).【詳解】由題意可知首項(xiàng)為2,設(shè)第二項(xiàng)為,則第三項(xiàng)為,第四項(xiàng)為,第五項(xiàng)為第n項(xiàng)為且,則,因?yàn)?,?dāng)?shù)闹悼梢詾?;即?個(gè)這種超級(jí)斐波那契數(shù)列,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列新定義的應(yīng)用,注意自變量的取值范圍,對(duì)題意理解要準(zhǔn)確,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13【解析】根據(jù)條件可得判斷OAPF2,且|PF2|2|OA|,從而得到點(diǎn)A為橢圓上頂點(diǎn),則有bc,解出B的坐標(biāo)即可得到比值.【詳解】因?yàn)閨

12、PA|AF1|,所以點(diǎn)A是線段PF1的中點(diǎn),又因?yàn)辄c(diǎn)O為線段F1F2的中點(diǎn),所以O(shè)APF2,且|PF2|2|OA|,因?yàn)辄c(diǎn)P(c,2c),所以PF2x軸,則|PF2|2c,所以O(shè)Ax軸,則點(diǎn)A為橢圓上頂點(diǎn),所以|OA|b,則2b2c,所以bc,ac,設(shè)B(c,m)(m0),則,解得mc,所以|BF2|c,則.故答案為:2.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的基本性質(zhì),考查直線位置關(guān)系的判斷,方程思想,屬于中檔題.14210【解析】轉(zhuǎn)化,只有中含有,即得解.【詳解】只有中含有,其中的系數(shù)為故答案為:210【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式系數(shù)的求解,考查了學(xué)生概念理解,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.15【解析】

13、分兩種情況討論:(1)斜邊在BC上,設(shè),則,(2)若在若一條直角邊在上,設(shè),則,進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和三角函數(shù)關(guān)系式恒等變形和函數(shù)單調(diào)性即可求出最大值.【詳解】(1)斜邊在上,設(shè),則,則,從而.當(dāng)時(shí),此時(shí),符合.(2)若一條直角邊在上,設(shè),則,則,由知.,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,.當(dāng),即時(shí),最大.故答案為:.【點(diǎn)睛】此題考查實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù),三角函數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用,注意分類討論把所有情況考慮完全,屬于一般性題目.16【解析】先根據(jù)弦長,半徑,弦心距之間的關(guān)系列式求得,代入整理得,利用基本不等式求得最值.【詳解】解:圓的圓心為,則到直線的距離為,由直線截圓所得的弦長為可得,整理得,

14、解得或(舍去),令,又,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,則.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查直線和圓的位置關(guān)系,考核基本不等式求最值,關(guān)鍵是對(duì)目標(biāo)式進(jìn)行變形,變成能用基本不等式求最值的形式,也可用換元法進(jìn)行變形,是中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17(1);(2)或【解析】試題分析: 直線與圓相切只需圓心到直線的距離等于圓的半徑,直線與曲線相交于兩點(diǎn),且滿足,只需數(shù)量積為0,要聯(lián)立方程組設(shè)而不求,利用坐標(biāo)關(guān)系及根與系數(shù)關(guān)系解題,這是解析幾何常用解題方法,第二步利用直線的斜率找出坐標(biāo)滿足的要求,再利用兩直線與圓相切,求出點(diǎn)的坐標(biāo).試題解析:(1)解:設(shè),由和圓相切,得由消

15、去,并整理得,由,得,即,或(舍)當(dāng)時(shí),故直線的方程為(2)設(shè),則設(shè),由直線和圓相切,得,即設(shè),同理可得:故是方程的兩根,故由得,故同理,則,即,解或當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),故或18(1),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2).【解析】(1)運(yùn)用降冪公式和輔助角公式,把函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)解析式形式,根據(jù)已知,可以求出的值,再結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)由(1)結(jié)合已知,可以求出角的值,通過正弦定理把問題的取值范圍轉(zhuǎn)化為兩邊對(duì)角的正弦值的比值的取值范圍,結(jié)合已知是銳角三角形,三角形內(nèi)角和定理,最后求出的取值范圍.【詳解】解:(1) 由已知,所以 因此令得因此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 (2

16、)由已知,由得,因此所以 因?yàn)闉殇J角三角形,所以,解得因此,那么【點(diǎn)睛】本題考查了降冪公式、輔助角公式,考查了正弦定理,考查了正弦型三角函數(shù)的單調(diào)性,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.19(1)遞減區(qū)間為(-1,0),遞增區(qū)間為(2)見解析【解析】(1)根據(jù)函數(shù)解析式,先求得導(dǎo)函數(shù),由是函數(shù)的極值點(diǎn)可求得參數(shù).求得函數(shù)定義域,并根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可判斷單調(diào)區(qū)間.(2)當(dāng)時(shí),.代入函數(shù)解析式放縮為,代入證明的不等式可化為,構(gòu)造函數(shù),并求得,由函數(shù)單調(diào)性及零點(diǎn)存在定理可知存在唯一的,使得成立,因而求得函數(shù)的最小值,由對(duì)數(shù)式變形化簡可證明,即成立,原不等式得證.【詳解】(1)函數(shù)可求得,則解得所以,定義域?yàn)椋趩?/p>

17、調(diào)遞增,而,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,此時(shí)是函數(shù)的極小值點(diǎn),的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為(2)證明:當(dāng)時(shí),因此要證當(dāng)時(shí),只需證明,即令,則,在是單調(diào)遞增,而,存在唯一的,使得,當(dāng),單調(diào)遞減,當(dāng),單調(diào)遞增,因此當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最小值,故,從而,即,結(jié)論成立.【點(diǎn)睛】本題考查了由函數(shù)極值求參數(shù),并根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式恒成立,構(gòu)造函數(shù)法的綜合應(yīng)用,屬于難題.20(1)的長為4(2)【解析】(1)分別以所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè),根據(jù)向量垂直關(guān)系計(jì)算得到答案.(2)計(jì)算平面的法向量為,為平面的一個(gè)法向量,再計(jì)算向量夾角得到答案.【詳解】(1)分別以所在直線

18、為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè),則,所以.,因?yàn)?,所以,即,解得,所以的長為4.(2)因?yàn)?,所以,又,?設(shè)為平面的法向量,則即取,解得,所以為平面的一個(gè)法向量.顯然,為平面的一個(gè)法向量,則,據(jù)圖可知,二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中的線段長度,二面角,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.21(1)證明見解析;(2).【解析】(1)由平面幾何知識(shí)可得出四邊形是平行四邊形,可得面,再由面面平行的判定可證得面面平行;(2)由(1)可知,兩兩垂直,故建立空間直角坐標(biāo)系,可求得面PAB的法向量,再運(yùn)用線面角的向量求法,可求得直線與平面所成角的余弦值.【詳解】(1),,又,,而、分別是、的中點(diǎn), 故面,又且,故四邊形是平行四邊形,面,又,是面內(nèi)的兩條相交直線, 故面面. (2)由(1)可知,兩兩垂直,故建系如圖所示,則,, 設(shè)是平面PAB的法向量,,令,則, 直線NE與平面所成角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查空間的面面

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