[工學(xué)]CH5_控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析課件

1、 穩(wěn)定性是線性控制系統(tǒng)中最重要的問題第五章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析本章目錄系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念系統(tǒng)的穩(wěn)定條件代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)應(yīng)用乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)分析延時系統(tǒng)的穩(wěn)定性對數(shù)幅頻特性(利用Bode圖)的穩(wěn)定性判據(jù)控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性 一個系統(tǒng)受到擾動，偏離了原來的平衡狀態(tài)，而當(dāng)擾動取消后，這個系統(tǒng)又能夠逐漸恢復(fù)到原來的狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。否則，稱這個系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。穩(wěn)定的概念Mbcoodfabcde條件穩(wěn)定系統(tǒng)b、c允許偏差范圍d、e規(guī)定偏差邊界穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng) 穩(wěn)定性反映在干擾消失后的過渡過程的性質(zhì)上。這樣，在干擾消失的時刻，系統(tǒng)與平衡狀態(tài)的偏差可以看作是系統(tǒng)的初始偏差。因此，控制

2、系統(tǒng)的穩(wěn)定性也可以這樣定義： 若控制系統(tǒng)在任何足夠小的初始偏差作用下，其過渡過程隨著時間的推移，逐漸衰減并趨于零，具有恢復(fù)原平衡狀態(tài)的性能，則稱該系統(tǒng)穩(wěn)定。否則，稱該系統(tǒng)不穩(wěn)定。 控制理論中所討論的穩(wěn)定性其實都是指自由振蕩下的穩(wěn)定性，也就是討論輸入為零，僅存在初始偏差時的穩(wěn)定性，即討論自由振蕩是收斂的還是發(fā)散的。至于機(jī)械工程系統(tǒng)往往用激振或外力的方法施以強(qiáng)迫振動或運(yùn)動，而造成系統(tǒng)共振或偏離平衡位置，這并不是控制理論所要討論的穩(wěn)定性。說明：)不穩(wěn)定現(xiàn)象的存在是由于反饋作用。)穩(wěn)定性是指自由響應(yīng)的收斂性。 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件ttt=0t- 反之，若特征根中有一個或多個根具有正實部，則零輸入響應(yīng)將隨

3、時間的推移而發(fā)散，這樣的系統(tǒng)就不穩(wěn)定。 可見，穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)自身的固有特性，它取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與輸入無關(guān)；對于純線性系統(tǒng)來說，系統(tǒng)的穩(wěn)定與否并不與初始偏差的大小有關(guān)。 控制理論所討論的穩(wěn)定性都是指自由振蕩下的穩(wěn)定性，即討論輸入為零，系統(tǒng)僅存在初始偏差時的穩(wěn)定性，即討論自由振蕩是收斂的還是發(fā)散的。 上述結(jié)論對于任何初始狀態(tài)（只要不超出線性工作范圍）都成立，且當(dāng)特征根具有相同值時，也成立。控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：系統(tǒng)特征方程式的根全部具有負(fù)實部。閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)全部具有負(fù)實部（位于左半s平面）。顯然，穩(wěn)定性與零點(diǎn)無關(guān)。roots(den)；pzmap(sys)；pole(s

4、ys)應(yīng)用MATLAB判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性系統(tǒng)穩(wěn)定的判別方法：1)特征方程根的分布；2)開環(huán)傳遞函數(shù)-閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性； 代數(shù)穩(wěn)定判據(jù) 為了避開對特征方程的直接求解，就只好討論特征根的分布，看其是否全部具有負(fù)實部，并以此來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這就產(chǎn)生了一系列穩(wěn)定判據(jù)。勞斯判據(jù)Hurwitz判據(jù)一、勞斯判據(jù)穩(wěn)定的必要條件： 特征方程中各項系數(shù)0穩(wěn)定的充分條件： 勞斯陣列中第一列所有項0勞斯陣列如下： 一直計算到最后一行算完為止。然后判斷陣列中第一列系數(shù)的符號，若全部0,則系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，第一列系數(shù)符號改變的次數(shù)，就為特征方程在右半s平面的根數(shù)。解：滿足必要條件 13-23-例K為何值時，系統(tǒng)穩(wěn)定 低階系

5、統(tǒng)的勞斯穩(wěn)定判據(jù) 二階系統(tǒng)勞斯陣列為：s2a0a2s1a10s0a2a00，a10，a20從而，二階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為： 三階系統(tǒng)勞斯陣列為：s3a0a2s2a1a3s1 0s0a3從而，三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：特征方程的各項系數(shù)大于零，且： a1a2-a0a30 例題例：系統(tǒng)方框圖如下，試確定開環(huán)增益K為何值時，系統(tǒng)穩(wěn)定。Xi(s)Xo(s)解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：由三階系統(tǒng)的穩(wěn)定條件，有：此系統(tǒng)為三階系統(tǒng)，特征方程為：即：當(dāng)0K30時系統(tǒng)穩(wěn)定。勞斯判據(jù)勞斯列陣中第一列所有項均為正號二階系統(tǒng)：三階系統(tǒng)：四階系統(tǒng): 例如： (1) (2) (3)一項為負(fù)， 不穩(wěn)定缺項， 不穩(wěn)定滿足必要條件

6、，可能穩(wěn)定1、某一行第一個元素為零，而其余各元素均不為零、或部分不為零勞斯判據(jù)的兩種特殊情況： 第一列系數(shù)符號改變兩次，系統(tǒng)有兩個右根，所以，系統(tǒng)不穩(wěn)定。10102第一列系數(shù)符號無改變，故系統(tǒng)沒有正實部的根。S 行為0， 上下兩行的符號相同，表明系統(tǒng)有一對共軛虛根，所以，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。 由該行的上一行元素來解決：（1）構(gòu)成輔助多項式，并求導(dǎo)，用其系數(shù)代替全為零的行；（2）構(gòu)成輔助方程，并解出這些大小相等但位置徑向相反的特征根。2、某一行所有元素均為零 表明在 S 平面內(nèi)存在大小相等但位置徑向相反的根，即存在兩個大小相等、符號相反的實根和（或）一對共軛虛根，S顯然，這些根的數(shù)目一定是偶數(shù)。輔助多

7、項式 1 3 第一列符號全為正，說明系統(tǒng)無右根，但有共軛虛根，可由輔助方程解出。輔助方程3 8 8 1 6 80 0 系統(tǒng)臨界穩(wěn)定 用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性 系統(tǒng)相對穩(wěn)定性可通過極點(diǎn)距虛軸的距離來表征。為了使系統(tǒng)具有良好的動態(tài)響應(yīng)，常希望極點(diǎn)與虛軸具有一定的距離。為此，可將原 s 平面虛軸向左平移期望的最小距離a，即用 sa 替換原特征方程中的s，得到新的特征方程，再利用勞斯判據(jù)即可判斷系統(tǒng)的特征根是否位于垂線s = a的左邊。解：令ss - 1：要使D1(s)的特征根實部均小于0，即D(s)的特征根實部均小于1，須：例：已知若要求特征根的實部均小于-1，判斷K的取值范圍。 乃奎斯特穩(wěn)定

8、判據(jù)該判據(jù)的優(yōu)點(diǎn)：當(dāng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)無法直接寫出時，可用實驗方法獲得系統(tǒng)的各個環(huán)節(jié)然后是整個系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線，即可分析系統(tǒng)閉環(huán)以后的穩(wěn)定性；應(yīng)用乃氏判據(jù)可以解決代數(shù)判據(jù)不能解決的諸如包含延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)穩(wěn)定性問題。乃氏判據(jù)還能指出系統(tǒng)的穩(wěn)定儲備，即系統(tǒng)相對穩(wěn)定性定量指標(biāo)，以及進(jìn)一步提高和改善系統(tǒng)動態(tài)性能(包括穩(wěn)定性)的途徑。-利用開環(huán)頻率特性分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性1、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)-0002、米哈伊洛夫定理 證明Nyquist判據(jù)的一個引理 證明：先看一次式000再來研究根在右半S平面的一次式00 例判別系統(tǒng)穩(wěn)定性-1-1-K為何值時,系統(tǒng)穩(wěn)定例0-1 5.5 由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性

9、一、Nyquist圖與Bode圖的對應(yīng)關(guān)系 二、利用Bode圖判斷穩(wěn)定性穩(wěn)定不穩(wěn)定：Frequency (rad/sec)Phase (deg); Magnitude (dB)bode plot-150-100-50050From: U(1)10-210-1100101102103-300-250-200-150-100-50To: Y(1)Frequency (rad/sec)Phase (deg); Magnitude (dB)bode plot-100-50050100From: U(1)10-310-210-1100101102103-300-250-200-150-100-50To:

10、 Y(1)利用Nyquist判據(jù)判斷使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。Nyquist曲線剛好通過（-1，j0）點(diǎn)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。求使系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界K值忽略忽略若采用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍注意： 利用Nyquist判據(jù)的結(jié)論與利用勞斯判據(jù)的結(jié)論 不一致，其原因是Bode圖用的是漸進(jìn)線，有誤差。只要 兩種方法結(jié)論一致。 5-7 控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性一、利用勞斯判據(jù)看系統(tǒng)相對穩(wěn)定性S這便是通常所說的相對穩(wěn)定性，它通過 對（-1，j0）點(diǎn)的靠近程度來度量。定量表示為：二、利用乃氏判據(jù)看系統(tǒng)相對穩(wěn)定性 及其相對穩(wěn)定性指標(biāo) 1、相位裕量 正相位裕量 具有正相位裕量的系統(tǒng)不僅穩(wěn)定，而且還有相當(dāng)?shù)姆€(wěn)定儲備，它可以

11、在 的頻率下，允許相位再增加 度才達(dá)到臨界穩(wěn)定條件。因此相位裕量也叫相位穩(wěn)定性儲備。2、幅值裕量當(dāng) 時，開環(huán)幅頻特性 的倒數(shù)。在Bode圖上， 正相位裕量 線以上正幅值裕量0dB線以下正幅值裕量負(fù)幅值裕量負(fù)相位裕量 線以下負(fù)幅值裕量0dB線以上 G(j)具有負(fù)幅值裕量及負(fù)相位裕量時，閉環(huán)不穩(wěn)定。負(fù)相位裕量 工程實踐中，為使系統(tǒng)有滿意的穩(wěn)定儲備，一般希望： 如果僅以相位裕量來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性,就會得出系統(tǒng)穩(wěn)定程度很高的結(jié)論,而系統(tǒng)的實際穩(wěn)定程度絕不是高,而是低。所以,必須同時根據(jù)相位裕量和幅值裕量全面地評價系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性,避免得出不合實際的結(jié)論。num=5*0.0167 1;den=conv(conv(1,0,0.03,1),conv(0.0025,1,0.001,1);G=tf(num,den);w=logspace(0,4,50);Bode(G,w)