《保險精算》之三--生命表課件

1、 保險精算之三王 明 征大連理工大學管理學院2009年11月第三章 生命表2生命表相關定義生命表：反映在封閉人口的條件下，一批人從出生后陸續(xù)死亡的全部過程的一種統(tǒng)計表。封閉人口：指所觀察的一批人只有死亡變動，沒有因出生的新增人口和遷入或遷出人口。 3生命表基本函數(shù)lx：存活到確切整數(shù)年齡x歲的人口數(shù)，x=0,1,-1。 ndx：在xx+n歲死亡的人數(shù)，當n=1時，簡記為dxnqx：x歲的人在xx+n歲死亡的概率，當n=1時，簡記為qx4生命表基本函數(shù)5(1)(2)(3)生命表基本函數(shù)6npx： xx+n歲的存活概率,與nqx相對的一個函數(shù)。 當n=1，簡記為px 。生命表基本函數(shù)7nLx：x歲

2、的人在xx+n生存的人年數(shù)。人年數(shù)是表示人群存活時間的復合單位，1個人存活了1年是1人年，2個人每人存活半年也是1人年，在死亡均勻分布假設下，xx+n歲的死亡人數(shù)ndx平均來說存活了n/2年，而活到lx+n歲的人存活了n年，故當n=1時，生命表基本函數(shù)8 ：x歲人群的平均余壽，表明未來平均存活的時間。當x為0時，表示出生時平均余壽，即出生同批人從出生到死亡平均每人存活的年數(shù)。 Tx：x歲的人群未來累積生存人年數(shù)。在均勻分布假設下，生命表基本函數(shù)9：表示x歲的人存活n年并在第n+1年死亡的概率， 或x歲的人在x+nx+n+1歲死亡的概率。：表示x歲的人在x+nx+n+m歲之間死亡的概率。1011

3、12生存分布一、新生兒的生存函數(shù)二、x歲余壽的生存函數(shù)三、死亡力四、整值平均余壽與中值余壽13新生兒的生存函數(shù)14F(x)：新生兒未來存活時間（新生兒的死亡年齡）為x的分布函數(shù)。s(x)：生存函數(shù)，它是新生兒活到x歲的概率，以概率表示為xp0。 新生兒在xz歲間死亡的概率，以概率的方式表示為：新生兒的生存函數(shù)15生命表函數(shù)中的存活人數(shù)lx 正是生命表基數(shù)l0與x歲生存函數(shù)之積，lx=l0s(x)而s(x)曲線形狀如下圖所示，x歲余壽的生存函數(shù)16以（x）表示年齡是x歲的人，（x）的余壽以T(x)表示x歲的人在t時間內(nèi)存活的概率 tpx 當x=0時，T(0)=X ，正是新生兒未來余壽隨機變量。x

4、歲的人在t時間內(nèi)死亡的概率tqxx歲余壽的生存函數(shù)考慮x歲的人的剩余壽命時，往往知道這個人已經(jīng)活到了x歲 ，tqx實際是一個條件概率17x歲余壽的生存函數(shù)18x歲的人在x+tx+t+u的死亡概率 ，以概率的方式表示為： 整值剩余壽命定義： 未來存活的完整年數(shù)，簡記概率函數(shù)19死亡力定義： 的瞬時死亡率，簡記死亡力與生存函數(shù)的關系20死亡力2122死亡力23實際上生命表x歲平均余壽 正是T(x)隨機變量的期望值死亡力24生命表x歲死亡人數(shù)dx正是生存人數(shù)函數(shù)lx+t與死亡力之積在 01上的積分生命表x歲生存人年數(shù)Lx正是生存人數(shù)函數(shù)lx+t在01上的積分生命表x歲累積生存人年數(shù)Tx正是生存人數(shù)函

5、數(shù)lx+t在0上的積分 死亡力25對于x歲期望剩余壽命 ，可以證明：2627整值平均余壽與中值余壽 28x歲的整值平均余壽是指x歲未來平均存活的整數(shù)年數(shù)，不包括不滿1年的零數(shù)余壽，它是整值余壽隨機變量K(x)的期望值，以ex表示，整值平均余壽與中值余壽 29由于，所以 整值平均余壽與中值余壽 30由于故，在死亡均勻分布假設下，故，整值平均余壽與中值余壽 31中值余壽是(x)的余壽T(x)的中值，（x）在這一年齡之前死亡和之后死亡的概率均等于50 %，以m(x)表示x歲的中值余壽，則即， 非整數(shù)年齡存活函數(shù)的估計死亡均勻分布假設死亡力恒定假設巴爾杜奇(Balducci) 假設32有關非整數(shù)年齡的

6、假設 使用背景:生命表提供了整數(shù)年齡上的壽命分布,但有時我們需要分數(shù)年齡上的生存狀況,于是我們通常依靠相鄰兩個整數(shù)生存數(shù)據(jù),選擇某種分數(shù)年齡的生存分布假定， 估計分數(shù)年齡的生存狀況基本原理:插值法常用方法均勻分布假定(線性插值)常數(shù)死亡力假定(幾何插值)Balducci假定(調(diào)和插值)33死亡均勻分布假設34假設死亡在整數(shù)年齡之間均勻發(fā)生，此時存活函數(shù)是線性的。死亡均勻分布假設35 (0t, 0y,0t+y) 死亡力恒定假設 36當假設死亡力在xx+1上恒定時， (x為整數(shù)，0t1)，由死亡力的定義，死亡力恒定假設37若以表示，有此時， 巴爾杜奇(Balducci)假設38以意大利精算師巴爾杜

7、奇的名字命名，這一假設是當x為整數(shù)，0t1時，生存函數(shù)的倒數(shù)是t的線性函數(shù)，即巴爾杜奇(Balducci)假設39 （其中，0t1, 0y1, 0t+y1） 此時，三種假定下的生命表函數(shù)函數(shù)均勻分布常數(shù)死亡力Ballucci40生命表的編制一、生命表編制的一般方法二、選擇生命表41生命表編制的一般方法 實際同批人生命表：依據(jù)實際同時出生的一批人資料編制的。在實際中一般不采取實際同批人生命表。時期生命表(假設同批人生命表)：采用假設同批人方法編制，描述某一時期處于不同年齡人群的死亡水平，反映了假定一批人按這一時期各年齡死亡水平度過一生時的生命過程。 Dx：某年齡x歲的死亡人數(shù)； ： x歲的平均人數(shù)，即年初x歲人數(shù)與年末x歲人數(shù)的平均數(shù)，有時也用年中人數(shù)代替。 42生命表編制的一般方法43x歲的中心死亡率 （分年齡死亡率）為， 生命表分年齡中心死亡率 ：生命表分年齡死亡人數(shù)在分年齡生存人年數(shù)中的比例。 生命表編制的一般方法44在死亡均勻分布假設下，有，變換后，通常 與 非常接近，實際中常用 近似注： （1） 利用上面的關系，我們可以根據(jù)人口統(tǒng)計中的分年齡死亡編制生命表。 （2）我們也可以根據(jù)原始資料按統(tǒng)計方法直接估計分年齡死亡率 ，再編制生命表。 （3）根據(jù)原始資料估計的死亡率可能不光滑，需要運用生命表均修技術。 選擇期：把同一年齡上相鄰已投保年數(shù)死亡