一維離散型隨機(jī)變量及其分布(共13頁)

1、PAGE PAGE 12目 錄中文(zhngwn)摘要 1英文摘要(zhiyo) 1一、 引言(ynyn) 2二、離散型隨機(jī)變量的概念及分布 22.1 離散型隨機(jī)變量的概念 22.2 離散型隨機(jī)變量的分布 3三、離散型隨機(jī)變量的期望和方差 43.1 離散型隨機(jī)變量期望及其性質(zhì) 43.2 離散型隨機(jī)變量方差及其性質(zhì) 5四、常見的離散分布 64.1 二項分布 64.2 泊松分布 84.3 超幾何分布 10五、總結(jié) 11參考文獻(xiàn) 11一維離散型隨機(jī)變量(su j bin lin)及其分布摘要(zhiyo)：離散(lsn)型隨機(jī)變量是一種概率論中基本的、重要的隨機(jī)變量，通過對其概念、特征數(shù)及常見的幾種

2、離散分布的研究能夠延伸概率，同時能為統(tǒng)計學(xué)奠定基礎(chǔ)。同時揭示了離散型隨機(jī)變量的統(tǒng)計規(guī)律，深化了對隨機(jī)變量理論體系的認(rèn)識，溝通了概率與統(tǒng)計的聯(lián)系.關(guān)鍵詞：離散型；隨機(jī)變量；分布列；二項分布；泊松分布.中圖分類號：O211.5.One-dimensional discrete random variable and its distributionAbstract：Random variable is a basic and an important random variable in probability theory, through the study of its concept, t

3、he number and characteristics of several common discrete probability distribution ，we can extend probability theory and lay the foundation for statistics at the same time. Moreover it reveals a discrete random variable of the statistical law of random variables, deepens the understanding of the theo

4、retical system of the probability and statistics, and communicates them.Keywords：Discrete; random variables; distribution of the column;binomial distribution; Poisson Distribution.一引言(ynyn)概率是對隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律演繹的研究，而統(tǒng)計是對隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律歸納的研究，兩者雖有明顯的不同，但它們都是相互滲透、相互聯(lián)系的?！半x散型隨機(jī)變量的分布”作為概率與統(tǒng)計的橋梁與紐帶，它既是概率的延伸，也是學(xué)習(xí)統(tǒng)計學(xué)的理論基礎(chǔ)，

5、能起到承上啟下的作用。不僅是在理論上，在應(yīng)用(yngyng)上都有重要的作用，如在生產(chǎn)中控制產(chǎn)品的生產(chǎn)量是一個重要的指標(biāo)，要做很多這方面的調(diào)查(dio ch)統(tǒng)計，又如在經(jīng)濟(jì)中，人們要求經(jīng)濟(jì)學(xué)家對未來的經(jīng)濟(jì)趨勢進(jìn)行預(yù)測時，他們也要用到各種各樣的統(tǒng)計信息，“離散型隨機(jī)變量的分布”作為中介，對它的研究也至關(guān)重要.二離散型隨機(jī)變量的概念及分布21離散型隨機(jī)變量的概念隨機(jī)變量是將隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果數(shù)量化，把對隨機(jī)事件及概率的研究轉(zhuǎn)化為對隨機(jī)變量及概率的研究。而在隨機(jī)現(xiàn)象中有很多樣本點本身就是用數(shù)量表示的，由于樣本點呈現(xiàn)隨機(jī)性，其數(shù)量就呈現(xiàn)為隨機(jī)變量，如打撲克時抽到的數(shù)字、擲骰子出現(xiàn)的點數(shù)、電燈的壽命都可以

6、為隨機(jī)變量，有些本身不是數(shù)，需要設(shè)計一個隨機(jī)變量，如在“n重貝努里試驗中，事件A出現(xiàn)k次”這一事件的概率，若記=n重貝努里試驗中A出現(xiàn)的次數(shù)，則上述“n重貝努里試驗中，事件A出現(xiàn)k次”這一事件可以簡記為（=k）,從而有 并且的所有可能取值就是事件A可能出現(xiàn)的次數(shù)0，1，2，n.我們作出隨機(jī)變量的一般定義：定義2.1.1 定義在樣本空間上的實值函數(shù)X=X（）稱為隨機(jī)變量，常用大寫字母X，Y，Z等表示隨機(jī)變量，其取值用小寫字母x，y，z等表示。如果一個隨機(jī)變量僅取有限個或可列個值，則稱其為離散型隨機(jī)變量，由此可見隨機(jī)變量X是樣本點的一個函數(shù)，其自變量可以是數(shù)，也可以不是數(shù)，但因變量一定是實數(shù).22

7、離散型隨機(jī)變量(su j bin lin)的分布在認(rèn)識離散型隨機(jī)變量的過程中，我們(w men)不僅要知道X取哪些值，而且要知道其各自的概率是多少，我們就要用到分布來區(qū)分(qfn)一般的變量與隨機(jī)變量.定義2.2.1 設(shè)X是一個隨機(jī)變量，對任意實數(shù)x，稱F（x）=P（Xx）為隨即變量X的分布函數(shù)，稱X服從F（x），記為XF（x）.定義2.2.2 設(shè)離散型隨機(jī)變量X所有可能取得值是，則稱的概率為X的概率分布列，記為X.分布律也常用表2-1來表示：表2-1Xx1 x2 x3 xk pkp1 p2 p3 pk 由概率的性質(zhì)容易推得，任一離散型隨機(jī)變量的分布列，都具有下述兩個基本性質(zhì)：1（非負(fù)性）2.

8、（正則性）例2.1 設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需通過4盞信號燈，每盞燈以0.6的概率允許汽車通過，以0.4的概率禁止汽車通過（設(shè)各盞信號燈的工作相互獨立）.以X表示汽車首次停下時已經(jīng)通過的信號燈盞數(shù)，求X的分布列.解 以p表示每盞燈禁止汽車通過的概率，顯然X的可能取值為0，1，2，3，4，易知X的分布列為表2-2X0 1 2 3 4pkP （1-p）p （1-p）2 p p（1-p）3 p （1-p）4或?qū)懗桑?將p=0.4,1-p=0.6代入上式，所得(su d)結(jié)果如表2-3所示.表2-3X0 1 2 3 4pk0.4 0.24 0.144 0.0864 0.1296三離散型隨機(jī)變量(s

9、u j bin lin)的期望與方差3.1 離散(lsn)型隨機(jī)變量的期望及其性質(zhì)對于一個離散型隨機(jī)變量X，如果其可能的取值，若將n個數(shù)相加后除n作為“均值”是不行的，我們可給出其數(shù)學(xué)期望的定義：定義3.1 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為，如果，則稱為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.例3.1 一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0. 2 ,機(jī)器發(fā)生故障則全天停止工作.若一周 5 個工作日里無故障 ,可獲利潤 10 萬元;發(fā)生 1 次故障仍可獲利潤 5 萬元;發(fā)生 2 次故障所獲利潤0 元;發(fā)生3 次或 3 次以上故障就要虧損 2 萬元 ,求這個工廠一周的期望利潤.解 設(shè)為一周內(nèi)機(jī)器發(fā)生故障的天數(shù) ,則二項分布

10、 B (5 , 0. 2) ,以表示(biosh)所獲利潤 ,則的概率分布為:1050- 2P0. 3280. 4100. 2050. 057E（） = 10 0. 328 + 5 0. 410 + 0 0. 205 +( - 2) 0. 057 = 5.216(萬元) .故工廠一周(y zhu)內(nèi)期望利潤是 5. 216 萬元.性質(zhì)(xngzh)3.1.1 若c是常數(shù)，則E（c）=c.性質(zhì)3.1.2 對任意常數(shù)a，有E（aX）=aE（X）.性質(zhì)3.1.3對任意的兩個函數(shù)和，有.3.2離散型隨機(jī)變量方差的及其性質(zhì)定義3.2 若隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望存在，則稱偏差平方的數(shù)學(xué)期望為隨機(jī)變量X（或相應(yīng)分

11、布）的方差，若X為離散型隨機(jī)變量則方差.另外，如果隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望存在，其方差不一定存在；而當(dāng)X的方差存在時，則E（X）必定存在，原因是.性質(zhì)3.2.1 在實際計算方差時，這個比定義常用.性質(zhì)3.2.2 常數(shù)的方差為0，即，其中c是常數(shù).性質(zhì)(xngzh)3.2.3 若a，b為常數(shù)(chngsh)，則.例3.2 某人(mu rn)有一筆資金，可投入兩個項目：房產(chǎn)和商業(yè)，其收益都與市場狀態(tài)有關(guān)。若把未來市場經(jīng)濟(jì)劃分為好、中、差三個等級，其發(fā)生的概率分別為0.2、0.7、0.1.通過調(diào)查，該投資者認(rèn)為投資于房產(chǎn)的收益X（萬元）和投資于商業(yè)的收益Y（萬元）的分布分別為X113-3P0.20.70

12、.1Y64-1P0.20.70.1請問：該投資者如何投資為好？解 先考慮數(shù)學(xué)期望（平均收益）（萬元）（萬元）從平均收益看，投資房產(chǎn)收益大，可比投資商業(yè)多收益0.1萬元.下面我們再來計算他們各自的方差因為方差越大，則收益的波動大，從而風(fēng)險也大。所以從方差看，投資房產(chǎn)的風(fēng)險比投資商業(yè)的風(fēng)險大一倍多。若收益與風(fēng)險綜合權(quán)衡，該投資者還是應(yīng)該選擇投資商業(yè)為好，雖然平均收益少0.1元，而風(fēng)險要小一半以上.四常見的的離散分布4.1 二項分布4.1.1二項分布的定義(dngy)若用X表示(biosh) n 重貝努利概型中事件(shjin)A 發(fā)生的次數(shù)，它的分布列為則稱X服從參數(shù)為n，p（0p0是一常數(shù)，n是

13、任意正整數(shù)），則對任意一固定的非負(fù)整數(shù)k,有.證 由pn=/n，有對任意固定的k，當(dāng)n時，故定理得證.通過對用二項分布直接計算與利用泊松分布做近似計算的數(shù)據(jù)的對比發(fā)現(xiàn)，兩者的結(jié)果是很接近的，當(dāng)n100，np10的時候，效果更好.例4.2某十字路口(shzlku)有大量汽車通過，假設(shè)每輛汽車在這里發(fā)生交通事故的概率為0.001，如果每天有5000輛汽車通過這個十字路口，求發(fā)生交通事故的汽車數(shù)不少于2的概率.解 設(shè)X表示發(fā)生(fshng)交通事故的汽車數(shù)，則Xb(n,p),此處n=5000，p=0.001，令=np=5，PX2=1-PX2=1-=.可得PX2=1-0.00674-0.03369=0

14、.95957.4.2.4泊松分布(fnb)的用途：泊松分布是概率論中一種重要的分布，在實際問題中得到廣泛地應(yīng)用。例如，一本書某一頁中的印刷誤數(shù)；某一醫(yī)院在一天內(nèi)的急診病人數(shù)；某一地區(qū)一個時間間隔內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)等都服從泊松分布.4.3超幾何分布4.3.1超幾何分布的定義超幾何分布的樣本是一個不放回抽樣,設(shè)有N個產(chǎn)品，有M個不合格品，若從中不放回地隨機(jī)抽取n個，則其中含有的不合格品的個數(shù)X服從超幾何分布，記為Xh（n，N，M），其概率分布列為其中r=minM，n，且n,N,M均為正整數(shù).4.3.2超幾何分布的數(shù)學(xué)期望和方差，則其方差為例4.3 有外觀完全一樣的包子(bo zi)12個，其中有

15、肉餡包子8個，素餡包子4個，先從中隨機(jī)取出3個包子，記其中的素餡包子的個數(shù)為X，求X的分布(fnb)列.解 依題意(t y)，可知X服從超幾何分布，它的所有可能取值為0,1,2,3。其中所以X的分布列是：X0123P4.3.3超幾何分布的用途：超幾何分布常被用于產(chǎn)品抽樣檢查的問題，也就是已經(jīng)知道某個事件的發(fā)生概率，判斷從中取出一個小樣本，該事件以某一個機(jī)率出現(xiàn)的概率問題，也被用于生物工程等.五總結(jié)通過對離散型隨機(jī)變量的概念、特征數(shù)及幾種常見的離散分布的研究，離散型隨機(jī)變量的分布列反映了隨機(jī)變量的概率分布，將實驗的各個孤立事件聯(lián)系起來，從整體上研究隨機(jī)現(xiàn)象，并為定義離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差奠定基礎(chǔ)，揭示了離散型隨機(jī)變量的統(tǒng)計規(guī)律，深了對隨機(jī)變量理論體系的認(rèn)識，溝通