第三章　線性系統(tǒng)的時域分析法

1、第三章：線性系統(tǒng)的時域分析法教學(xué)目的時域分析是控制系統(tǒng)分析的一個十分重要的分析方法，通過本章學(xué)習(xí)，要使學(xué)生掌握時域分析方法和系統(tǒng)幾個重要時域指標(biāo)的物理意義、計算方法。如何應(yīng)用時域分析方法分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)誤差和過渡過程指標(biāo)，以及這些指標(biāo)的計算方法。教學(xué)重點(diǎn)本章是經(jīng)典控制理論中很重要的一章，需要掌握的重點(diǎn)內(nèi)容比較多。1、時域指標(biāo)及物理意義2、二階系統(tǒng)的時域分析，重點(diǎn)分析欠阻尼狀態(tài)。3、勞思穩(wěn)定判據(jù)4、穩(wěn)態(tài)誤差的概念及其計算教學(xué)學(xué)時本章教學(xué)學(xué)時數(shù)：12學(xué)時教學(xué)內(nèi)容 1、時域指標(biāo)的定義及物理意義 2、通過對簡單的一階系統(tǒng)分析入手，進(jìn)一步掌握時域指標(biāo)的概念及其計算方法。 3、二階系統(tǒng)的時域分析

2、，這是時域分析法中最重要的一節(jié)內(nèi) 容。 二階系統(tǒng)有完整準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型以及數(shù)學(xué)分析； 二階系統(tǒng)在實(shí)際應(yīng)用中的普遍性； 不少高階系統(tǒng)在一定的條件下可以用二階系統(tǒng)來近似分析； 二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，、n與極點(diǎn)關(guān)系，與系統(tǒng)性能的關(guān)系，以及時域指標(biāo)的計算； 二階系統(tǒng)的斜坡響應(yīng)，可一般簡介。教學(xué)內(nèi)容 4、二階系統(tǒng)的性能改善，通過增加系統(tǒng)中的控制環(huán)節(jié)，改善系統(tǒng)的性能，改善性能的實(shí)質(zhì)是改變了阻尼系數(shù)和振蕩頻率。 5、穩(wěn)定性分析，重點(diǎn)介紹勞思穩(wěn)定判據(jù)， 霍爾維茨穩(wěn)定判據(jù)留作自學(xué)。 6、穩(wěn)態(tài)誤差分析及計算，重點(diǎn)介紹靜態(tài)誤差系數(shù) 自學(xué)內(nèi)容： 1、二階系統(tǒng)的斜坡響應(yīng) 2、高階系統(tǒng)的時域分析 3、動態(tài)誤差系數(shù)第三章第一次

3、課一、時域指標(biāo)定義：使學(xué)生熟練了解時域指標(biāo)的定義五個基本動態(tài)指標(biāo)。 二、通過對一階系統(tǒng)的分析，使學(xué)生掌握如何應(yīng)用時域指標(biāo)的概念來計算上述五個動態(tài)指標(biāo)。 三、通過一階系統(tǒng)在三個典型信號（階躍、斜坡、加速度）的響應(yīng)，引出系統(tǒng)對信號的跟蹤概念（穩(wěn)態(tài)誤差） 重點(diǎn)分析階躍、斜坡信號作用于一階系統(tǒng)時的響應(yīng)，誤差表達(dá)式、穩(wěn)態(tài)誤差。 關(guān)于加速度信號作用于一階系統(tǒng)的響應(yīng)留作課堂練習(xí)和提問。第三章第一次課 作業(yè)題：31、32（1）、33（1） 思考題：32（2） 預(yù)習(xí)：第二節(jié)內(nèi)容第三章第二次課 一、二階系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型：讓學(xué)生熟練記住這個標(biāo)準(zhǔn)的二階系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。 二、二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)：分析、n這二個指標(biāo)對系統(tǒng)性能的

4、影響， 、n與系統(tǒng)極點(diǎn)的關(guān)系以及在s平面上的表示。 重點(diǎn)分析欠阻尼狀態(tài)。 三、自學(xué)內(nèi)容：二階系統(tǒng)的斜坡響應(yīng)。 作業(yè)題：34、35 思考題：36第三章第三次課 一、繼續(xù)講二階系統(tǒng)的時域分析中的幾種工作狀態(tài)。 二、二階系統(tǒng)的性能改善，關(guān)鍵是改變了阻尼比和振蕩頻率。 三、介紹主導(dǎo)極點(diǎn)的概念。 四、自學(xué)內(nèi)容：高階系統(tǒng)的時域分析 作業(yè)題：38 思考題：310第三章第四次課 一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：當(dāng)系統(tǒng)的特征根全部具有負(fù)實(shí)部，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，或當(dāng)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)全部處于右半s平面時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 二、勞斯（Roth）穩(wěn)定判據(jù)：不按書上33表的內(nèi)容講，要指出如何列勞斯表的方法，而不是簡單的死記33表。

5、三、列勞斯表的幾種特殊情況：某行第一列為零和出現(xiàn)全零行。 四、勞斯穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用 五、自學(xué)內(nèi)容：赫爾維茨判據(jù) 作業(yè)題：312（1）、313、314第三章第五次課 一、線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差分析計算 1、誤差的概念及表達(dá)式：e(t)=r(t)-c(t)2、誤差傳遞函數(shù)3、穩(wěn)態(tài)誤差 4、系統(tǒng)類型：型、型、型系統(tǒng) 5、穩(wěn)態(tài)誤差和靜態(tài)誤差系數(shù) 6、結(jié)論：不同類型的系統(tǒng)對不同典型信號響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差不同。第三章第五次課 二、擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差 三、消除或減小穩(wěn)態(tài)誤差的措施 重點(diǎn)內(nèi)容：穩(wěn)態(tài)誤差分析與計算 讀書內(nèi)容：動態(tài)誤差系數(shù)內(nèi)容 注：本節(jié)內(nèi)容較多，講不完部分留到第六次講 作業(yè)題：315（1）（2）、316（1

6、）（2） 思考題：317、318第三章第六次課 一、本章遺留和補(bǔ)充內(nèi)容 二、使用Matlab分析控制系統(tǒng) 三、本章小結(jié) 作業(yè)：復(fù)習(xí)本章內(nèi)容 改正作業(yè)中出現(xiàn)的問題 預(yù)習(xí)第四章內(nèi)容31線性系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo)時域分析法直接在時間或中對系統(tǒng)進(jìn)行分析，具有直觀、準(zhǔn)確的優(yōu)點(diǎn)，可以提供系統(tǒng)時間響應(yīng)的全部信息。時域分析法的局限性是，除了簡單的一、二階系統(tǒng)外，要精確求解系統(tǒng)的動態(tài)指標(biāo)的解析表達(dá)式是很困難的。 時域分析法是經(jīng)典控制理論中的一種常用的系統(tǒng)分析方法。 系統(tǒng)的性能指標(biāo)，主要有動態(tài)性能指標(biāo)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)。1、典型信號研究一個系統(tǒng)，主要是針對某一輸入作用，研究其輸入輸出之間的關(guān)系。但在絕大多數(shù)情況下，輸

7、入信號以無法預(yù)測的方式變化，為了便于分析、設(shè)計，便于對各種系統(tǒng)的性能進(jìn)行比較，常假定一些基本輸入函數(shù)形式作為典型輸入信號。常用的典型信號有：單位階躍函數(shù)、單位斜波函數(shù)、單位加速度函數(shù)、正弦函數(shù)。對于某一具體系統(tǒng)，不同形式的輸入信號，所對應(yīng)的輸出響應(yīng)是不同的，但系統(tǒng)性能是由自身結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的，而與輸入信號無關(guān)。所以，通常在系統(tǒng)分析中以單位階躍函數(shù)作為典型輸入作用，則可以在一個統(tǒng)一的基礎(chǔ)上對各種控制系統(tǒng)的特性進(jìn)行比較。一般認(rèn)為，階躍輸入對系統(tǒng)來說是最嚴(yán)峻的工作狀態(tài)，如果系統(tǒng)在階躍函數(shù)作用下的動態(tài)性能滿足要求，那么系統(tǒng)在其他形式的函數(shù)作用下，也能滿足要求。1、典型信號2、動態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程 動態(tài)過程

8、：在典型輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出量以初始狀態(tài)到最終狀態(tài)（穩(wěn)態(tài)）的響應(yīng)過程。 系統(tǒng)在動態(tài)過程中的表現(xiàn)有：衰減、發(fā)散、等幅振蕩等形式。對于一個穩(wěn)定系統(tǒng)，其動態(tài)過程必須是衰減的。穩(wěn)態(tài)過程：時間t時，系統(tǒng)輸出量表現(xiàn)方式。3、動態(tài)性能與穩(wěn)定性能在假定系統(tǒng)的初始條件為零，系統(tǒng)在階躍函數(shù)作用下的動態(tài)性能指標(biāo)有：延遲時間td:響應(yīng)曲線第一次達(dá)到終值一半所需時間。上升時間tr有三個定義： a.響應(yīng)曲線從終值10%到90%所需時間； b.響應(yīng)曲線從終值5%到95%所需時間； c.響應(yīng)曲線第一次上升到終值所需時間。 tr越小，說明系統(tǒng)響應(yīng)速度越快。3、動態(tài)性能與穩(wěn)定性能 峰值時間tp：響應(yīng)曲線達(dá)到第一個峰值所需時間

9、。 調(diào)節(jié)時間ts：響應(yīng)曲線衰減到與穩(wěn)態(tài)值之差不超過5%或2%內(nèi)所需要的時間。 超調(diào)量%：最大偏離量h(tp)與終值h()之差的百分比3、動態(tài)性能與穩(wěn)定性能 在上述時域指標(biāo)中， 上升時間tr、峰值時間tp評價系統(tǒng)的響應(yīng)速度； 超調(diào)時%評價系統(tǒng)的阻尼程度； 調(diào)節(jié)時間ts綜合反映響應(yīng)速度和阻尼程度?？刂葡到y(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo) 暫態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)是以系統(tǒng)在單位階躍輸入作用下的衰減振蕩過程（或稱欠阻尼振蕩過程）為標(biāo)準(zhǔn)來定義的。 動態(tài)性能指標(biāo)：(1) 最大超調(diào)量(2) 延遲時間 td(4) 上升時間 tr(3) 峰值時間 tp（5) 調(diào)整時間 tsh(t)t時間tr上 升峰值時間tpAB超調(diào)量% =AB10

10、0%動態(tài)性能指標(biāo)定義1h(t)t調(diào)節(jié)時間tsh(t)t時間tr上 升峰值時間tpAB超調(diào)量% =AB100%調(diào)節(jié)時間tsh(t)t上升時間tr調(diào)節(jié)時間 ts動態(tài)性能指標(biāo)定義2h(t)tAB動態(tài)性能指標(biāo)定義3trtpts%=BA100%3、動態(tài)性能與穩(wěn)定性能系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能用穩(wěn)態(tài)誤差來描述，穩(wěn)態(tài)誤差是對系統(tǒng)精度的一種衡量，它表達(dá)了系統(tǒng)實(shí)際輸出值與希望輸出值的最終偏差。32一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 1、一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，如RC電路C(t)為輸出，r(t)為輸入，C(0)=0i(t)RCr(t)c(t)32一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 令：TRC并取Laplace變換：R(s)C(s)I(s)2、一階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)傳

11、遞函數(shù)1、一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)對于單位階躍輸入于是單位階躍響應(yīng)h(t)為 ：h(t)=1e-t/T 2、一階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng) 討論：當(dāng)t=0 h(0)=0 t h()=1 t=T h(T)=0.632 t=3T h(3T)=0.95根據(jù)上述數(shù)據(jù)可用實(shí)驗(yàn)方法測定系統(tǒng)是否為一階系統(tǒng)。2、一階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)一階系統(tǒng)的響應(yīng)曲線斜率：t=0時h(t) t=0=(1et/T) t=0=et/T(1/T) t=0=1/T當(dāng)t=T時h(t) t=T=0.368/T當(dāng)t=時h(t) t=0一階系統(tǒng)的響應(yīng)曲線斜率初始值為1/T，并隨時間下降，當(dāng)t時，動態(tài)過程結(jié)束，但工程上習(xí)慣取t=(3-5)T，認(rèn)為過渡過程結(jié)束。2、

12、一階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng) 根據(jù)動態(tài)指標(biāo)定義，求一階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo) a.求延遲時間td： 因?yàn)閔()=1，由td的定義，當(dāng)t=td時，h(td)=0.5 代入一階系統(tǒng)階躍響應(yīng)表達(dá)式，2、一階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng) b.求上升時間tr 由上升時間的定義，分別求出h(t1)=0.1；h(t2)=0.9 得：t1=0.1T；t2=2.3T 所以：tr=t2t1=2.2T c.同理可求出ts=3T d.一階系統(tǒng)沒有超調(diào)，所以不需要求tp和%。2、一階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)討論：動態(tài)指標(biāo)與時間常數(shù)T有關(guān)，T越小，其響應(yīng)過程越快，即慣性越小，一階系統(tǒng)又稱為“慣性系統(tǒng)”。2、一階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)當(dāng)輸入為單位脈沖函r(t)=(t)，求

13、其脈沖響應(yīng)。因?yàn)镽(s)=1，由脈沖響應(yīng)的意義，g(t)t3、一階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)一階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)為一單調(diào)下降指數(shù)曲線，其衰減到初始值5%所需時間仍為ts=3T。由于系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)與系統(tǒng)傳遞函數(shù)包含了相同的動態(tài)信息，工程上常用測量系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，來求出被測系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 工程上無法得到理想單位脈沖函數(shù)，一般用具有一定脈寬h和有限幅度的脈沖函數(shù)來近似代替，一般要求h1時，特征根是兩個不相等的負(fù)實(shí)數(shù)根2.當(dāng)=1時，特征根是兩個相等的負(fù)實(shí)數(shù)根 s1、2=n3.當(dāng)01時，系統(tǒng)具有不相等的兩個實(shí)極點(diǎn)，系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)還是隨時間按指數(shù)函數(shù)規(guī)律而單調(diào)衰減，只是衰減的快慢主要由靠近虛軸的那個實(shí)極點(diǎn)決

14、定。此時稱系統(tǒng)處于過阻尼情況。 3-3二階系統(tǒng)的時域分析單位階躍響應(yīng) 當(dāng)阻尼比 =1時，系統(tǒng)具有兩重實(shí)極點(diǎn)，于是系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)中沒有周期分量，暫態(tài)響應(yīng)將隨時間按指數(shù)函數(shù)規(guī)律而單調(diào)衰減。此時稱系統(tǒng)處于臨界阻尼情況。 3-3二階系統(tǒng)的時域分析單位階躍響應(yīng) 當(dāng)0 -1（右半平面有帶正實(shí)根的共軛虛根）時系統(tǒng)響應(yīng) -1（右半平面有相異正實(shí)根）時系統(tǒng)響應(yīng) 3-3二階系統(tǒng)的時域分析單位階躍響應(yīng)系統(tǒng)極點(diǎn)的位置與 、 、 及 之間的關(guān)系。對于標(biāo)出的一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn), 是從極點(diǎn)到s平面原點(diǎn)的徑向距離， 是極點(diǎn)的實(shí)部， 是極點(diǎn)的虛部，而阻尼比 等于極點(diǎn)到s平面原點(diǎn)間徑向線與負(fù)實(shí)軸之間夾角的余弦，即 =cos阻尼比 是

15、二階系統(tǒng)的重要特征參量。 3-3二階系統(tǒng)的時域分析單位階躍響應(yīng)一、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)1、欠阻尼情況(0 1 ) 這種情況下，C(s)/R(s)的兩個極點(diǎn)是兩個不等的負(fù)實(shí)數(shù)。對于單位階躍輸入量，R(s)=1/s，因此C(s)可以寫成其拉氏反變換為： 系統(tǒng)的響應(yīng)c(t)包含著兩個衰減的指數(shù)項。當(dāng) 遠(yuǎn)大于1時，在兩個衰減的指數(shù)項中，一個比另一個衰減的要快得多，因此衰減得比較快的指數(shù)項（相應(yīng)于較小時間常數(shù)的指數(shù)項），就可以忽略不計。s1s2欠阻尼二階系統(tǒng)動態(tài)性能分析與計算j0-nd=n1-2(s)=s2+2ns+n2n2S1,2=-nj1-2nnedh(t)= 1-1-21-ntsin(t+)得

16、tp= d令h(t)一階導(dǎo)數(shù)=0，取其解中的最小值， - d得 tr=令h(t)=1取其解中的最小值，edh(t)= 1-1-21-ntsin(t+)得 ts 3.5n由包絡(luò)線求調(diào)節(jié)時間得 % =e-/1-2100%由%=h()h(tp) h()100%欠阻尼二階系統(tǒng)的ts取sin項為1，則h(t)=1e-nt取誤差帶為=0.05,則有e-nt=0.05由此解出ts=ln20/1-2nn3.53-3二階系統(tǒng)的時域分析單位階躍響應(yīng)二、二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)指標(biāo) 當(dāng)系統(tǒng)為欠阻尼情況下，即0 1時，二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)的上升時間tr、峰值時間tp、最大超調(diào)量 的計算公式：上升時間tr峰值時間tp 由上式可見

17、，如欲減小tr ，當(dāng) 一定時，需增大 ，反之，若 一定時，則需減小 。3-3二階系統(tǒng)的時域分析單位階躍響應(yīng)最大超調(diào)量p 調(diào)整時間ts 當(dāng)00.8時當(dāng)采用5%允許誤差時當(dāng)采用2%允許誤差時 S1,2 =jnj0j0j0j0 1 10 1 0 2 - 1S1,2=- nnS1,2=- n-n=-j1- 2 nS1,2=n 2(s)=s2+2 ns+n2n2二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)定性分析j0j0j0j0T11T21 1 10 1 0h(t)= 1T2tT1T21e+T1tT2T11e+h(t)= 1-(1+nt) e- tnh(t)= 1-cosnt過阻尼臨界阻尼零阻尼 sin(dt+)e- t h(

18、t)=1- 211n欠阻尼3-3二階系統(tǒng)的時域分析脈沖響應(yīng)三、二階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)C(s)為 該方程的拉普拉斯反變換，就是時域響應(yīng)解c(t)，當(dāng)01時3-3二階系統(tǒng)的時域分析單位斜坡響應(yīng)當(dāng)輸入信號r(t)=t時，3-3二階系統(tǒng)的時域分析單位斜坡響應(yīng) 由上分析，二階系統(tǒng)可以跟蹤單位斜坡輸入，但有誤差。誤差響應(yīng)：3-3二階系統(tǒng)的時域分析舉例 例：圖示系統(tǒng)中 ， 弧度/秒。當(dāng)系統(tǒng)受到單位階躍輸入信號作用時，試求上升時間tr、峰值時間tp、最大超調(diào)量p和調(diào)整時間ts。 解：根據(jù)給定的 和 值，可以求得 和 。上升時間tr3-3二階系統(tǒng)的時域分析舉例峰值時間tp 最大超調(diào)量p 因此，

19、最大超調(diào)量百分比為9.5%。調(diào)整時間ts 對于2%允許誤差標(biāo)準(zhǔn)，調(diào)整時間為： 對于5%允許誤差標(biāo)準(zhǔn)，調(diào)整時間為： 3-3二階系統(tǒng)的時域分析舉例 例：下圖控制系統(tǒng)，輸入信號r(t)=t，放大器增益kA分別取13.5、200、1500，試分別寫出系統(tǒng)誤差響應(yīng)表達(dá)式，并估算其性能指標(biāo)。 解：將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)的開環(huán)的開環(huán)函數(shù)相比較。R(s)E(s)C(s)當(dāng)ka=13.5時，=2.1 n=8.2=2.11，系統(tǒng)屬于過阻尼二階系統(tǒng)。3-3二階系統(tǒng)的時域分析舉例 對于二階系統(tǒng)斜坡輸入的過阻尼誤差響應(yīng)，參見P87(3-40)式。 將和n代入(3-40)式，求出誤差響應(yīng)表達(dá)式。系統(tǒng)有二個衰減

20、因子 比較二個因子，后者的系數(shù)比前者小很多，而且衰減也比前者快，所以它在系統(tǒng)響應(yīng)中的影響可以忽略不計，因此，可近似為：可視為一階系統(tǒng)模型。 注意：二階系統(tǒng)在某些條件下，可近似等效為一階系統(tǒng)，工程上常這樣處理。3-3二階系統(tǒng)的時域分析舉例所以，可以用一階系統(tǒng)的性能指標(biāo)近似估算該系統(tǒng)的性能指標(biāo)。3-3二階系統(tǒng)的時域分析舉例 當(dāng)kA=200時，求得=0.551，n=31.6系統(tǒng)屬欠阻尼二階系統(tǒng)，在斜坡輸入下，二階系統(tǒng)欠阻尼誤差響應(yīng)參見P85(3-31)式，代入和n求得：3-3二階系統(tǒng)的時域分析舉例當(dāng)kA=1500時情況請大家計算。kA、n之間的關(guān)系，以及與穩(wěn)態(tài)誤差、動態(tài)性能的關(guān)系： 增大放大器增益會

21、導(dǎo)致系統(tǒng)的阻尼下降，雖可減小穩(wěn)態(tài)誤差，卻惡化了誤差響應(yīng)的動態(tài)性能，因此值不宜太小，而n值希望足夠大。在通常只有可調(diào)的系統(tǒng)中要同時滿足穩(wěn)態(tài)和動態(tài)兩方面特性要求是困難的。這是因?yàn)椋?-3二階系統(tǒng)的時域分析舉例1.改變開環(huán)增益就相當(dāng)于改變系統(tǒng)阻尼比的數(shù)值，但是，階躍響應(yīng)中的超調(diào)量和斜坡響應(yīng)中的穩(wěn)態(tài)誤差對的要求正好相反，要取得一個合適的折衷方案比較困難。2.即使能夠找到合適的開環(huán)增益值，滿足上述穩(wěn)態(tài)和動態(tài)兩方面的要求，也可能不滿足系統(tǒng)在擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差要求。3.在高精度控制系統(tǒng)中，需要采用高增益使死區(qū)、間隙和摩擦等非線性因素的影響減到最低程度，因此不能任意降低開環(huán)增益以換取較小的超調(diào)量。3-3二階

22、系統(tǒng)的時域分析二階系統(tǒng)性能改善 為什么要改善二階系統(tǒng)的性能？目的是什么？ 1.從前面講述中可以看到，動態(tài)指標(biāo)與靜態(tài)指標(biāo)對的要求是不一致的。 如：調(diào)節(jié)時間 穩(wěn)態(tài)誤差 如何協(xié)調(diào)動態(tài)、靜態(tài)的矛盾？ 2.動態(tài)指標(biāo)之間也存在不能同時達(dá)到最佳的問題。 二階系統(tǒng)常用比例微分控制和測速反饋控制來改善性能(1)比例微分控制比例微分控制特點(diǎn)：因?yàn)槲⒎挚刂品从车氖窍到y(tǒng)的動態(tài)性能，靜態(tài)時不起作用，而微分控制又是超前控制，可以在誤差出現(xiàn)之前提前產(chǎn)生修正作用，從而達(dá)到改善系統(tǒng)性能的目的。比例微分控制的實(shí)質(zhì)仍是改變阻尼系數(shù)(1)比例微分控制 比例微分控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。沒有TdS環(huán)節(jié)，系統(tǒng)是一個典型的二階系統(tǒng)，Td為微分時間常

23、數(shù)。 開環(huán)傳遞函數(shù)與閉環(huán)傳遞函數(shù)分別為Tds1R(s)C(s) 兩式表明，比例微分控制不改變系統(tǒng)的自然頻率，但可增大系統(tǒng)的阻尼比，由于和n均與K有關(guān)，所以適當(dāng)選擇開環(huán)增益和微分器時間常數(shù)，既可減小系統(tǒng)在斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差，又可使系統(tǒng)在階躍輸入時有滿意的動態(tài)性能。(1)比例微分控制由上述結(jié)構(gòu)圖和函數(shù)式，比例微分控制系統(tǒng)與二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)相比：1.無阻尼振蕩頻率n 沒有改變2.系統(tǒng)增加了一個零點(diǎn)-z，有關(guān)零點(diǎn)的作用以后再講3.增大了阻尼系數(shù)，由改變成d 由于微分環(huán)節(jié)Td只是在動態(tài)時起作用，靜態(tài)時不起作用，所以在動態(tài)時系統(tǒng)阻尼比是d起作用，使調(diào)節(jié)時間和超調(diào)量下降；而穩(wěn)態(tài)時是起作用，可使系統(tǒng)的穩(wěn)

24、態(tài)誤差減小。(1)比例微分控制 例：設(shè)單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：k為開環(huán)增益，已知系統(tǒng)在單位斜坡輸入時，穩(wěn)態(tài)誤差ess=1/k，若要求ess0.2rad，d=0.5，試確定k與Td的數(shù)值，并估算系統(tǒng)在階躍函數(shù)作用下的動態(tài)性能。 解：由ess=1/k，和ess0.2rad求得k5，取k5 根據(jù)比例微分控制系統(tǒng)模型，(341)式，(1)比例微分控制系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)穩(wěn)態(tài)誤差表達(dá)式（330）：比較加入PD前后系統(tǒng)的動態(tài)性能(1)比例微分控制（1）沒加入PD之前，(1)比例微分控制（2）加入PD之后，阻尼比變成d=0.5，n不變，用（324）曲線圖求出上升時間tr。求峰值時間用（347）式，求超調(diào)量用

25、（349）式，求調(diào)節(jié)時間用（350）式，分別求出：tp=1.63；%=42.4%；ts=3.73 ， 動態(tài)指標(biāo)都得到了改善。(1)比例微分控制參數(shù)加入PD之前加入PD之后tr1.021.2tp1.841.63%57.642.4ts11.73.73比較加入PD之前、后系統(tǒng)的參數(shù)變化。 比例微分控制可以增大系統(tǒng)的阻尼，使階躍響應(yīng)的超調(diào)量下降，調(diào)節(jié)時間縮短，且不影響常值穩(wěn)態(tài)誤差和自然頻率，由于采用微分控制后，允許選取較高的開環(huán)增益，因此在保證一定的動態(tài)性能條件下，可以減小穩(wěn)態(tài)誤差。應(yīng)當(dāng)指出，微分器對于噪聲的廣大作用遠(yuǎn)于對緩慢變化輸入信號的放大作用，因此在系統(tǒng)輸入噪聲較強(qiáng)的情況下，不宜采用比例微分控制

26、方式。(2)測速反饋控制ktsR(s)C(s)E(s) 將輸出的速度信號反饋到系統(tǒng)輸入端，并與誤差信號比較，也可以增大系統(tǒng)阻尼，改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。如圖所示，如果沒有kts則系統(tǒng)是標(biāo)準(zhǔn)的二階系統(tǒng)， kts是系統(tǒng)測速反饋環(huán)節(jié)。內(nèi)環(huán)等效為一個環(huán)節(jié)，求傳遞函數(shù)(2)測速反饋控制ktsR(s)C(s)E(s)(2)測速反饋控制討論：(1)當(dāng)kt=0，開環(huán)增益當(dāng)kt0時，測速反饋降低了開環(huán)增益，從而加大系統(tǒng)斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差。(2)測速反饋不改變自然頻率n(3)測速增大了系統(tǒng)阻尼比由t，故改善了系統(tǒng)動態(tài)性能(4)測速反饋不形成閉環(huán)零點(diǎn)，所以對系統(tǒng)動態(tài)性能的改善程度與PD控制不同。(5)由于測速反饋降低

27、了開環(huán)增益，加大了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，所以在設(shè)計時測速反饋控制系統(tǒng)時，可適當(dāng)增大系統(tǒng)的開環(huán)增益。 (1)附加阻尼來源：比例微分控制的阻尼作用產(chǎn)生于系統(tǒng)的輸入端誤差信號的速度，而測速反饋控制的阻尼作用來源于系統(tǒng)輸出響應(yīng)的速度，因此，對于給定的開環(huán)增益和指令輸入速度，后者對應(yīng)較大的穩(wěn)態(tài)誤差值。 (2)使用環(huán)境：比例微分控制對噪聲有明顯的放大作用，當(dāng)系統(tǒng)輸入端噪聲嚴(yán)重時，一般不宜選用比例微分控制，同時為優(yōu)化信噪比，要求選用高質(zhì)量的放大器；而測速反饋對系統(tǒng)輸入端噪聲有濾波作用，對系統(tǒng)組成元件沒有過高的質(zhì)量要求。比例微分控制與測速反饋控制的比較1 (3)對開環(huán)增益和自然頻率的影響：比例微分控制對系統(tǒng)的開環(huán)增

28、益和自然頻率均無影響，但測速反饋會降低開環(huán)增益。 因此，對于確定的常值穩(wěn)態(tài)誤差，測速反饋控制要求有較大的開環(huán)增益。開環(huán)增益的加大，必然導(dǎo)致系統(tǒng)自然頻率增大，在系統(tǒng)存在高頻噪聲時，可能引起系統(tǒng)共振。 (4)對動態(tài)性能的影響：比例微分控制相當(dāng)于在系統(tǒng)中加入實(shí)零點(diǎn)，可以加快上升時間，在相同阻尼比的條件下，比例微分控制系統(tǒng)的超調(diào)量會大于測速反饋控制系統(tǒng)的超調(diào)量。比例微分控制與測速反饋控制的比較235線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 穩(wěn)定是控制系統(tǒng)能夠運(yùn)行的首要條件，不穩(wěn)定的系統(tǒng)是不能工作的。 1、穩(wěn)定的基本概念：任何系統(tǒng)在受到干擾作用后都會偏離原平衡狀態(tài)，產(chǎn)生初始的偏差，當(dāng)干擾作用消失后，系統(tǒng)能夠恢復(fù)平衡狀態(tài)，則

29、系統(tǒng)是穩(wěn)定的。若干擾消失后，系統(tǒng)不能回復(fù)到平衡狀態(tài)，而且偏差越來越大，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 穩(wěn)定性定義：若線性控制系統(tǒng)在初始擾動的影響下，其動態(tài)過程隨時間的推移逐漸衰減，并趨于零，則稱系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定；反之系統(tǒng)的動態(tài)過程隨時間的推移而發(fā)散，則稱系統(tǒng)不穩(wěn)定。35線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 2、線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 系統(tǒng)受到一擾動(t)后，會產(chǎn)生一個輸出偏差c(t)，當(dāng)t時，35線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件（討論）1)對于實(shí)數(shù)特征根sj0。則系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是上述特征方程式所有系數(shù)均為正數(shù)。 35線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析勞斯赫爾維茨判據(jù)2、勞斯判據(jù)將系統(tǒng)的特征方程寫成如下標(biāo)準(zhǔn)形式：將各

30、系數(shù)組成如下排列的勞斯表： sna0a2a4sn-1a1a3a5sn-2b1b2b3sn-3c1c2c3s2e1e2s1f1s0an 表中的有關(guān)系數(shù)為：35線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析勞斯赫爾維茨判據(jù)列出了勞斯表以后，可能出現(xiàn)以下幾種情況：(1) 第一列所有系數(shù)均不為零的情況。 這時，勞斯判據(jù)指出，系統(tǒng)極點(diǎn)實(shí)部為正實(shí)數(shù)根的數(shù)目等于勞斯表中第一列的系數(shù)符號改變的次數(shù)。系統(tǒng)極點(diǎn)全部在復(fù)平面的左半平面的充分必要條件是方程的各項系數(shù)全部為正值，并且勞斯表的第一列都具有正號。35線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析勞斯赫爾維茨判據(jù)例1:三階系統(tǒng)的特征方程為試判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列出勞斯表：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：35線性

31、系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析勞斯赫爾維茨判據(jù)例2: 系統(tǒng)的特征方程為 試判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由表可以看出，第一列各數(shù)值的符號改變了兩次，由+2變成-1，又由-1改變成+9，因此該系統(tǒng)有兩個正實(shí)部的極點(diǎn)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 s5114s4235s3-130（各元素乘以2）s2950s132（各元素乘以9）s05解：列出勞斯表：35線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析勞斯赫爾維茨判據(jù) 在計算勞斯表中各元素的數(shù)值時，如果某行的第一列的數(shù)值等于零，而其余的項中某些項不等于零，那么可以用一有限小的數(shù)值來代替為零的那一項，然后按照通常方法計算陣列中其余各項。如果零（）上面的系數(shù)符號與零（）下面的系數(shù)符號相反，表明這里有一個符號變化。

32、（2）某行第一列的系數(shù)等于零，而其余項中某些項不等于零的情況。35線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析勞斯赫爾維茨判據(jù)例3: 系統(tǒng)的特征方程為 試判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列出勞斯表：111220（0）12- 2/0s4s3s2s1s01現(xiàn)在考察第一列中各項數(shù)值。當(dāng)趨近于零時，2-2/的值是一很大的負(fù)值，因此可以認(rèn)為第一列中的各項數(shù)值的符號改變了兩次。按勞斯判據(jù)，該系統(tǒng)有兩個極點(diǎn)具有正實(shí)部，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 35線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析勞斯赫爾維茨判據(jù)(3) 某行所有各項系數(shù)均為零的情況 如果勞斯表中某一行的各項均為零，或只有等于零的一項，這表示在s平面內(nèi)存在一些大小相等符號相反的實(shí)極點(diǎn)和（或）一些共軛虛數(shù)極點(diǎn)。為

33、了寫出下面各行，將不為零的最后一行的各項組成一個輔助方程，由該方程對s求導(dǎo)數(shù)，用求導(dǎo)得到的各項系數(shù)來代替為零的各項，然后繼續(xù)按照勞斯表的列寫方法，寫出以下的各行。至于這些根，可以通過解輔助方程得到。但是當(dāng)一行中的第一列的系數(shù)為零，而且沒有其它項時，可以像情況（2）所述那樣，用代替為零的一項，然后按通常方法計算陣列中其余各項。35線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析勞斯赫爾維茨判據(jù)例4: 系統(tǒng)的特征方程為 試判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：勞斯表中的 各項為：s6182016s5212160s4168（各元素乘以1/2）s3000由上表看出，s3行的各項全為零。35線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析勞斯赫爾維茨判據(jù)為了求出s3 s0

34、各項，將s4行的各項組成輔助方程： 將輔助方程A(s)對s求導(dǎo)數(shù)，得s6182016s5212160s4168s3412s238s14/3s08用上式中的各項系數(shù)作為s3行的各項系數(shù)，得勞斯表為： 從左表的第一列可以看出，各項符號沒有改變，因此可以確定在右半平面沒有極點(diǎn)。另外，由于s3行的各項皆為零，這表示有共軛虛數(shù)極點(diǎn)。這些極點(diǎn)可由輔助方程求出。 輔助方程是：求得大小相等符號相反的虛數(shù)極點(diǎn)為：設(shè)系統(tǒng)特征方程為：s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0勞 斯 表s6s5s0s1s2s3s41246357(64)/2=11(10-6)/2=227124635710(6-14)/1= -

35、8-8 41 2勞斯判據(jù)小結(jié)勞斯表特點(diǎn)4 每兩行個數(shù)相等1 右移一位降兩階2 行列式第一列不動3 次對角線減主對角線5 分母總是上一行第一個元素7 第一列出現(xiàn)零元素時，用正無窮小量代替。6 一行可同乘以或同除以某正數(shù)2+87-8(2 +8) -7271 2 7 -8勞斯判據(jù)小結(jié)系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件:有正有負(fù)一定不穩(wěn)定!缺項一定不穩(wěn)定!系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件:勞斯表第一列元素不變號!若變號系統(tǒng)不穩(wěn)定!變號的次數(shù)為特征根在s右半平面的個數(shù)!特征方程各項系數(shù)均大于零!-s2-5s-6=0穩(wěn)定嗎？勞斯判據(jù)小結(jié)（勞斯表出現(xiàn)零行）設(shè)系統(tǒng)特征方程為：s4+5s3+7s2+5s+6=0勞 斯 表s0s1s2s3s4

36、51756116601 勞斯表何時會出現(xiàn)零行?2 出現(xiàn)零行怎么辦?3 如何求對稱的根? 由零行的上一行構(gòu)成輔助方程: 有大小相等符號相反的特征根時會出現(xiàn)零行s2+1=0對其求導(dǎo)得零行系數(shù): 2s1211繼續(xù)計算勞斯表1第一列全大于零,所以系統(tǒng)穩(wěn)定錯啦!由綜合除法可得另兩個根為s3,4= -2,-3解輔助方程得對稱根: s1,2=j勞斯表出現(xiàn)零行系統(tǒng)一定不穩(wěn)定35線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析勞斯應(yīng)用例3-7 設(shè)反饋控制系統(tǒng)如圖31所示，求滿足穩(wěn)定要求時K的臨界值。 解： 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)是 其特征方程為 D(s)=s(s+1)(s+5)+K=0 或s315s26Ks0Ks1 列出勞斯表 按勞斯判據(jù)，要使

37、系統(tǒng)穩(wěn)定，其第 一列數(shù)值應(yīng)為正數(shù)，即K0，30-K0則有0K0的情況下，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是上述各行列式的各階主子式均大于零，即對穩(wěn)定系統(tǒng)來說要求： 例3-9 三階系統(tǒng)特征方程為：試判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：35線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析勞斯赫爾維茨判據(jù)36線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算實(shí)際控制系統(tǒng)中，由于系統(tǒng)本身的原因和干擾信號的多源性，誤差是不可避免的，控制系統(tǒng)設(shè)計者的任務(wù)之一，就是要盡量減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差或者使誤差控制在較小范圍內(nèi)。 穩(wěn)態(tài)性能用系統(tǒng)的靜態(tài)誤差ess表示，是指在穩(wěn)態(tài)條件下（即對于穩(wěn)定系統(tǒng)）輸入加入后經(jīng)過足夠長的時間，其暫態(tài)響應(yīng)已經(jīng)衰減到微不足道時，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的期望值

38、與實(shí)際值之間的誤差。 穩(wěn)態(tài)誤差是某特定類型的輸入作用于控制系統(tǒng)后,達(dá)到穩(wěn)態(tài)時系統(tǒng)精度的度量。 誤差定義G(s)H(s)R(s)E(s)C(s)B(s)輸入端定義：E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)H(s)G(s)H(s)R(s)E(s)C(s)H(s)1R(s)輸出端定義：E(s)=C希-C實(shí)= -C(s)R(s)H(s)G(s)R(s)E(s)C(s)C(s)E(s)=R(s)-C(s)G1(s)H(s)R(s)C(s)G2(s)N(s)En(s)=C希-C實(shí)= Cn(s)總誤差怎么求？36線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算一、典型輸入信號(1) 單位階躍函數(shù) (2) 單位斜坡函數(shù) (3)

39、 單位加速度函數(shù) (4) 單位脈沖函數(shù) R(s)=1(5) 正弦函數(shù) r(t)=sint 最常用的典型信號為單位階躍、單位斜坡、單位加速度三種。 36線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算二、靜態(tài)誤差和誤差傳遞函數(shù)其閉環(huán)傳遞函數(shù)為：應(yīng)用終值定理誤差信號e(t)和輸入信號r(t)之間的關(guān)系是：（其中e(t)為輸入信號和反饋信號之差）傳遞函數(shù)為：36線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)： K是系統(tǒng)的開環(huán)比例系數(shù)。分母中的因子 表明開環(huán)傳遞函數(shù)中含有個積分單元。將系統(tǒng)按照=0，1，2分別將其分為0型，1型，2型。 三、系統(tǒng)類型36線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算四、階躍輸入和靜態(tài)位置誤差系數(shù)：當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù) 其靜態(tài)

40、誤差為： 定義靜態(tài)位置誤差系數(shù)對于0型系統(tǒng)，=0，所以kp=k對于型或高于型的系統(tǒng)， 0， kp=36線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算階躍輸入和靜態(tài)位置誤差系數(shù) 結(jié)論：0型系統(tǒng)中沒有積分環(huán)節(jié)，對階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為一定值，它的大小差不多與系統(tǒng)開環(huán)傳遞系數(shù)k成反比，k越大，ess越小，除非k為無窮大，否則0型系統(tǒng)總是有誤差。若要求系統(tǒng)對階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零，則系統(tǒng)必須是型或高于型，即前向通道中必須在積分環(huán)節(jié)。36線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算斜坡輸入和靜態(tài)速度誤差系數(shù)五、輸入為單位斜坡函數(shù) 時其靜態(tài)誤差為： 定義靜態(tài)速度誤差系數(shù)36線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算斜坡輸入和靜態(tài)速度誤差系數(shù)結(jié)論： 0型系統(tǒng)不能跟蹤斜坡輸入

41、，穩(wěn)態(tài)誤差為；型系統(tǒng)其輸出能跟蹤斜坡輸入，但總有一定的誤差R/k，為減小誤差，系統(tǒng)的k值必須足夠大；對于型或高于型系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)誤差為零。36線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算加速度輸入和靜態(tài)加速度誤差系數(shù)六、輸入為單位加速度函數(shù)其靜態(tài)誤差為： 定義靜態(tài)加速度誤差系數(shù)對于0型系統(tǒng)， Ka=0 ess=；對于型系統(tǒng)， Ka=0 ess=；對于型系統(tǒng)， Ka=k ess=1/k對于型以型以上系統(tǒng)， Ka=； ess=0穩(wěn)態(tài)誤差與靜態(tài)誤差系數(shù)r(t)=R1(t)ess= 1+ksRlim0sr(t)=Vtess= sVlim0sksr(t)=At2/2ess= s2Alim0sks型0型型R1(t) R1+ kV kVt000A kAt2/2R1(t)VtAt2/2kkk