高中數(shù)學(xué)平面向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及常見題型精編

1、一.向量的基本概念與基本運(yùn)算1向量的概念：向量：既有大小又有方向的量，向量一般用a,b,c來表示，或用有向線段的起點(diǎn)與終 uuruuu點(diǎn)的大寫字母表示，如：AB.幾何表示法 AB , a ;坐標(biāo)表示法a xi yj （x, y）.向量uuur的大小即向量的模（長度），記作| AB即向量的大小，記作| a | 向量不能比較大小， 但向量的?？梢员容^大小.零向量：長度為0的向量，記為0,其方向是任意的，0與任意向量平行.零向量a = 0|rra I =0,由于0的方向是任意的，且規(guī)定0平行于任何向量，（注意與0的區(qū)別）單位向量：模為1個(gè)單位長度的向量 晌量a0為單位向量| a0 | = 1.平行向

2、量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量任意一組平行向量都可以移到同一 直線上 方向相同或相反的向量，稱為平行向量 .記作a / b .由于向量可以進(jìn)行任意的平移 （即自由向量），平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量 .相等向量：長度相等且方向相同的向量,相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為 a b大x x9yiy2小相等，方向相同（xyi）&里） 相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量.a的相反向量記作a.2向量加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法uur r uur rr uuu uuur uuu設(shè) AB a,BC b,WJa + b=AB BC =AC（1） 0 a

3、 a 0 a； （2）向量加法滿足交換律與結(jié)合律；“三角形法則”與“平行四邊形法則”（1）用平行四邊形法則時(shí)，兩個(gè)已知向量是要 共始點(diǎn)的，和向量是始點(diǎn)與已知向量的始點(diǎn) 重合的那條對(duì)角線，而差向量是另一條對(duì)角線，方向是從減向量指向被減向量(2)三角形法則的特點(diǎn)是“首尾相接”，由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的 有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)3向量的減法 相反向量：與a長度相等、方向相反的向量，叫做 a的相反向量 記作a,零向量的相反向量仍是零向量.關(guān)于相反向量有：(i) ( a)=a； (ii) a+( a)=( a)+a=0；(iii) 若a、b是

4、互為相反向量，則a= b,b= a , a + b =0.向量減法：向量a加上b的相反向量叫做a與b的差，記作：a b a ( b) .求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法.作圖法：a b可以表示為從b的終點(diǎn)指向a的終點(diǎn)的向量(a、b有共同起點(diǎn))4實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)人與向量a的積是一個(gè)向量，記作入a,它的長度與方向規(guī)定如下：(I ) a a ;(H)當(dāng)0時(shí)，入a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時(shí)，入a的方向與a的方向相反；當(dāng) 0時(shí)，a 0,方向是任意的.數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律5兩個(gè)向量共線定理：向量b與非零向量a共線有且只有一個(gè)實(shí)數(shù) ，使得b = a6平面向量的基本定理：如果062是一個(gè)

5、平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1, 2使：a iei 2金，其中不共線的向量ei,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底二.平面向量的坐標(biāo)表不1。平面向量的坐標(biāo)表下:如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：，rrJ r(i)右a Xi,yi ,bX2,y2 ，則 a bxiX2,yiy2uur(2)若 A”，yi ,B X2,y2 ,則 AB %V2yi，r-(3)右 a =(X,y),則a=(5)若 arXi,yi ,bX2,y2x, y)r r ,則 a / b又丫2X2yi0rXi，yi ,bx2,y2X1

6、x2yi V2X2yiy20.平面向量的數(shù)量積i兩個(gè)向量的數(shù)量積：r , r已知兩個(gè)非零向量a與b,它們的夾角為rr已知兩個(gè)向量a (x,y1),br(X2, y2)，則 a rb = X1X2yiy2uur2向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a與b ,作OA=a,uuu rOB=b，貝U/AOB= (0180)叫做向量a與b的夾角:cos =cos a,br ra?bXi X2yi y2a ?bXi2yi2. X222y2當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量a與b同方向時(shí)，9 =0,當(dāng)且僅當(dāng)a與b反方向時(shí)8 =180.4向量的模:r r r2 1rl2 a a a | a |什rr若a x,% ,bX2,y2 ,

7、貝U ab b aXiy2 X2yi 06.向量垂直：如果a與b的夾角為900則稱a與b垂直，記作ab.a b a b = O x1x2 y1y2 0*平面向量常見題型題型1.基本概念判斷正誤：1.給出下列命題:若 ari =| bi,則ar=b；若A, B, C, D是不共線的四點(diǎn),UU UJIT則AB DC是四邊形ABCM平行四邊形的充要條件;3）若 a=b , b=c ,貝（J a=c , a=b的充要條件是| a|=| b|且a若a b, b c,則 a c,其中正確的序號(hào)是題型2.向量的加減運(yùn)算.下列命題中正確的是（ JJJ JJT JLUA. OA OB AB B T JJT TC

8、. 0 AB 0 DT.設(shè)a表示“向東走8kmi,）JUT JUT.AB BA 0 JUT JUT JJJl JJJT.AB BC CD ADTT Tb表示“向北走6kmf ,則|a b |UJUJur 山道 山山.化簡（AB MB） （BO BC） OMjut JJJ miJr.若菱形ABCD的邊長為2,則AB CB CD 5.UUT UUT UUTLULT已知AC為AB與AD的和向量，且 ACT UUJT a, BDTJJUb ,則 AB LUJT ad6.UUT 3 UULT已知點(diǎn)C在線段AB上，且AC 3 AB 5LUJT，則ACJJU LUU_ BC , ABJJU_ BC.題型3.

9、向量的數(shù)乘運(yùn)算T T T T1.計(jì)算：(1) 3(a b) 2(a b)TTT T T T TOC o 1-5 h z (2)2(2a5b3c)3( 2a3b2c)一，TT 一一 一 TIT2.已知 a (1, 4),b ( 3,8),貝3a -b2題型4.作圖法球向量的和T TT 1T T 3 T已知向量a,b,如下圖，請做出向量3a 1b和2a 3b. 22題型5.根據(jù)圖形由已知向量求未知向量JJT JUTuuM.已知在ABC中，D是BC的中點(diǎn)，請用向量AB,AC表示AD.TUT T UUT T JUT JJJT.在平行四邊形 ABCD中，已知AC a,BD b,求AB和AD . TOC

10、o 1-5 h z .已知向量 a (1,2) , b ( 2,3) , c (4,1),若用 a 和 b 表示 c ,貝U c =。 rrrr rr.已知a (5,10) , b ( 3, 4) , c (5,0),請將用向量a,b表小向量C.題型6.向量的坐標(biāo)運(yùn)算uur.已知AB (4,5) , A(2,3),則點(diǎn)B的坐標(biāo)是uur.已知PQ ( 3, 5) , P(3,7),則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是一. rrr,.右物體受三個(gè)力F1 (1,2), F2 ( 2,3), F3 ( 1, 4),則合力的坐標(biāo)為 -一，r - I 一 .、r r r r r r.已知 a ( 3,4) , b (5,2),

11、求 a b , a b , 3a 2b. ruuu.已知 A(1,2), B(3,2)，向量 a (x 2,x 3y 2)與 AB 相等，求 x, y 的值. uuruuuruuuruuin.已知 AB (2,3), BC (m,n), CD ( 1,4),則 DA . uuuuuir r uuu.已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A(2, 1),B( 4,8),且AB 3BC 0 ,求OC的坐標(biāo).題型7.結(jié)合三角函數(shù)求向量坐標(biāo)uuuo uur.已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第二象限，|OA| 2, xOA 150,求0A的坐標(biāo). uuu _ulu.已知O是原點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，|OA| 473 ,xOA 60,求

12、OA的坐標(biāo).題型8.求數(shù)量積.r r 一 r，rr r r rr1.已知 |a|3,|b| 4 ,且 a與 b 的夾角為60,求(1) a b, (2) a (ab),r 1 r rrrrr(a 1b) b , (4) (2a b) (a 3b). 2 一， r _r _,、 r rr r r_rr2.已知 a (2, 6),b ( 8,10),求(1) |a|,|b|, (2) a b, (3) a (2 a b), , r r r r(2a b) (a 3b).題型9.求向量的夾角r r r rr r.已知|a| 8,|b | 3, a b 12 ,求a與b的夾角.r - r r.已知 a

13、 (73,1),b ( 273,2),求 a與 b 的夾角.已知 A(1,0), B(0,1), C(2,5),求 cos BAC .一，rr.已知 a (m,3) , b (2, 1),(1)若與b的夾角為鈍角，求m的范圍；r , .r ，、一,(2)若a與b的夾角為銳角，求m的范圍.r r仆 r r r r r rr r.已知兩單位向量a與b的夾角為1200,若C 2a b,d 3b a,試求c與d的夾角.r r r r r r rr r.若|a| 1,|b| 2,c a b,且c a,則向量a與b的夾角為.題型10.求向量的模r rr rrrrb|, （6）r 1 r|a -2b|.已知

14、 |a| 3,|b | 4 ,且a與 b 的夾角為 60,求（1） |a b|, （2） |2a 3b |.一， r _r _r r . . rr b|.已知a （2, 6）,b （ 8,10）,求（1）ia1,ibi,（5）1a.已知1a1 311b | 2, 13a 2b | 3 ,求13arr r題型11.求單位向量【與a平行的單位向量：e 阜】|a|.與a (12,5)平行的單位向量是 .與m （ 1,1）平行的單位向量是 2題型12.向量的平行與垂直r r rrr r rr r r.已知向量 a（1,2）, b（x,1）,ua2b , v2ab ,H u / v,求實(shí)數(shù) x 的值rr

15、r rr r.已知 a （6,2） , b （ 3,m）,當(dāng) m 為何值時(shí)，（1）a/b? （2） a b ?一，rr3.已知 a （1,2） , b(3,2) , (1) k為何值時(shí)，向量ka b與ar3b垂直?(2) k為何值時(shí)，向量kg4.已知a是非零向量，a b a c,且b r,求證：a (b C).r r（ma b）,則m的值為r r x ln r rrr6.已知 占 4,3 , b5 .若a 1, b 2, a與b的夾角為60 ,若（3a 5b）r r rrrr1,2 , m a b, n2ab,按下列條件求頭數(shù) 的化（1） mn;（2）mn ； m n題型13.三點(diǎn)共線問題1.

16、已知 A(0, 2),B(2,2), C(3,4),求證：A,B,C三點(diǎn)共線.A B、D三點(diǎn)共線. TOC o 1-5 h z uur. 2 r ruuw r r uuu rr.設(shè) AB(a5b),BC2a8b,CD3(ab),求證:2uurr r uurrr uurrr.已知ABa2b,BC5a6b,CD7a2b,則一定共線的三點(diǎn)是.已知A(1, 3), B(8, 1),若點(diǎn)C(2a 1,a 2)在直線AB上，求a的值.uui uuu uuur.已知四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)O(0,0) , A(3,4), B( 1,2) , C(1,1),是否存在常數(shù)t,使OA tOB OC成立？題型14.判斷多邊形的

17、形狀uuur uurr uuur uur1.若AB3e, CD5e,且| AD | |BC|,則四邊形的形狀是.2.已知 A(1,0),B(4,3) , C(2,4), D(0,2),證明四邊形ABCD是梯形.3.已知 A( 2,1),B(6, 3) , C(0,5),求證:ABC是直角三角形.4.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),uuuuuuuuirOA ( 1,8),OB ( 4,1),OC (1,3),求證:ABC是等腰直角三角形.平面向量的基礎(chǔ)訓(xùn)練1、化簡:(ABr.已知aCD) - ( ACr(1,3),b ( 2,BD尸2r r r1),貝U (3a 2b) (2 aCB ED DC FEr5b

18、)AF.已知ar(1,2), b (3,1),4.已知向量a和向量b的夾角為r r 30, |a| 2,|b|V3,則向量a和向量br的數(shù)量積a5.已知向量 a (1,1),b (1, 1),cr(1, 2),則 c (1r3 r 1 rA. a b B. a222rr6.向量 a (2,3) , b (3 r3b C.23 r 一 a2r1,2),若mar與D.2r rb與a3r 一 a2r2b平行，則m等于_-1A.2 B . 2 C .-2r r7.若a,b是非零向量且滿足（12 r2b)r r r r2a） b ,則a與b的夾角是（A. - B .8.設(shè) a (3,sin 2C . 2_ D . 5336r1 一 r),b (cos ,-),且 a b ,則銳角 為()3A. 300 B .600 C . 75 D , 450一， r9.已知 a (1,0),rrrb (2,1),當(dāng)k為何值時(shí)，向量ka b與a 3b平行？r10.已知兩向量arr r r r(3,4),b (2, 1),求當(dāng)a xbf a b垂直時(shí)的x的值.r11.已知兩向量arr r(1,3),b (2,