《高等數(shù)學》空間曲面與空間曲線課件

1、曲面在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡曲面方程的定義：一、空間曲面與空間曲線研究空間曲面有兩個基本問題：（1）已知一曲面的幾何軌跡，建立曲面方程（2）已知一三元方程 研究曲面形狀以下給出幾例常見的曲面：解根據(jù)題意有所求方程為特別：球心在原點時方程為表示一個球面。一般地,方程例如:方程配方得這是球心在半徑為 的球面方程.解根據(jù)題意有所求方程為二、柱面觀察柱面的形成過程:這條定曲線 叫柱面的準線，動直線L 叫柱面的母線.給定一曲線如果動直線L沿曲線 平行移動 , 則動直線L所形成的曲面,稱為柱面.播放二、柱面觀察柱面的形成過程:這條定曲線 叫柱面的準線，動直線L 叫柱面的母線.給定一曲線如果動直

2、線L沿曲線 平行移動 , 則動直線L所形成的曲面,稱為柱面.二、柱面觀察柱面的形成過程:這條定曲線 叫柱面的準線，動直線L 叫柱面的母線.給定一曲線如果動直線L沿曲線 平行移動 , 則動直線L所形成的曲面,稱為柱面.二、柱面觀察柱面的形成過程:這條定曲線 叫柱面的準線，動直線L 叫柱面的母線.給定一曲線如果動直線L沿曲線 平行移動 , 則動直線L所形成的曲面,稱為柱面.二、柱面觀察柱面的形成過程:這條定曲線 叫柱面的準線，動直線L 叫柱面的母線.給定一曲線如果動直線L沿曲線 平行移動 , 則動直線L所形成的曲面,稱為柱面.二、柱面觀察柱面的形成過程:這條定曲線 叫柱面的準線，動直線L 叫柱面的

3、母線.給定一曲線如果動直線L沿曲線 平行移動 , 則動直線L所形成的曲面,稱為柱面.二、柱面觀察柱面的形成過程:這條定曲線 叫柱面的準線，動直線L 叫柱面的母線.給定一曲線如果動直線L沿曲線 平行移動 , 則動直線L所形成的曲面,稱為柱面.二、柱面觀察柱面的形成過程:這條定曲線 叫柱面的準線，動直線L 叫柱面的母線.給定一曲線如果動直線L沿曲線 平行移動 , 則動直線L所形成的曲面,稱為柱面.二、柱面觀察柱面的形成過程:這條定曲線 叫柱面的準線，動直線L 叫柱面的母線.給定一曲線如果動直線L沿曲線 平行移動 , 則動直線L所形成的曲面,稱為柱面.二、柱面觀察柱面的形成過程:這條定曲線 叫柱面的

4、準線，動直線L 叫柱面的母線.給定一曲線如果動直線L沿曲線 平行移動 , 則動直線L所形成的曲面,稱為柱面.二、柱面觀察柱面的形成過程:這條定曲線 叫柱面的準線，動直線L 叫柱面的母線.給定一曲線如果動直線L沿曲線 平行移動 , 則動直線L所形成的曲面,稱為柱面.二、柱面這條定曲線 叫柱面的準線，動直線L 叫柱面的母線.給定一曲線則動直線L所形成的曲面,稱為柱面.如果動直線L沿曲線 平行移動 , 觀察柱面的形成過程:下面建立母線平行某坐標軸,準線在與母線垂直的坐標平面上的柱面方程.設柱面的母線平行z軸,準線 是xoy平面上的一曲線求柱面 的方程. 在所求柱面上任取一點則M在某條母線上,該母線與

5、的交點為由母線平行z軸知即解:反之,若點滿足則而在過的母線上所以點M在所求曲面上.即又在上,故為所求曲面方程.綜上知:缺z坐標的方程在空間表示母線平行z軸的柱面,其準線方程是類似,缺y坐標的方程在空間表示母線平行y軸的柱面,其準線方程是缺x坐標的方程在空間表示母線平行x軸的柱面,其準線方程是例1表示母線平行z軸的圓柱面，準線是xoy平面上的圓,方程為表示母線平行y軸的拋物柱面，準線是xoz平面上的拋物線,方程為平面表示母線平行z軸的平面.橢圓柱面 / 軸雙曲柱面 / 軸拋物柱面 / 軸準線為：準線為：準線為：例2三、旋轉(zhuǎn)曲面定義 一條平面曲線繞其平面上的一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面

6、. 這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸播放三、旋轉(zhuǎn)曲面定義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面. 這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸三、旋轉(zhuǎn)曲面定義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面. 這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸三、旋轉(zhuǎn)曲面定義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面. 這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸三、旋轉(zhuǎn)曲面定義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面. 這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸三、旋轉(zhuǎn)曲面定義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面. 這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸三、旋轉(zhuǎn)曲面定義

7、以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面. 這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸三、旋轉(zhuǎn)曲面定義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面. 這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸三、旋轉(zhuǎn)曲面定義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面. 這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸三、旋轉(zhuǎn)曲面定義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面. 這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸三、旋轉(zhuǎn)曲面定義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面. 這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸三、旋轉(zhuǎn)曲面定義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲

8、面稱為旋轉(zhuǎn)曲面. 這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸三、旋轉(zhuǎn)曲面定義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面. 這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸三、旋轉(zhuǎn)曲面定義 一條平面曲線繞其平面上的一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面. 這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸下面建立以yoz平面上的曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)的曲面方程.如圖將 代入設yoz平面上曲線在上,則有轉(zhuǎn)到時,滿足與 到z軸的距離相等,當將 代入得例2 將下列各曲線繞對應的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程解:旋轉(zhuǎn)雙曲面旋轉(zhuǎn)拋物面解:解:旋轉(zhuǎn)橢球面注意:上述例建立旋轉(zhuǎn)曲面方程的方法是在旋轉(zhuǎn)曲線和旋轉(zhuǎn)軸在同一個平面上的條件下進行的，若旋轉(zhuǎn)曲線和旋轉(zhuǎn)

9、軸不在同一個平面上，則必須用建立旋轉(zhuǎn)曲面的兩個不變條件進行例直線繞軸旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)曲面的方程解：在直線上取一點則當繞軸旋轉(zhuǎn)到則有與 到z軸的距離相等,用代入上式，化簡得即所求曲面方程為四、錐面設空間一定點和一定曲線過上每一點引一條過的直線，這些直線形成的曲面叫做錐面。定點稱為錐面的頂點.定曲線稱為錐面的準線.構成錐面的動直線,稱為錐面的母線.例1試建立頂點在原點,準線為的圓錐面方程.解:在準線上任取一點則作母線在上任取一點點M在所求錐面上,由M三點共線知,即有即代入得圓錐面常見錐面及方程:空間曲線的一般方程空間曲線可看作空間兩曲面的交線.五、空間曲線及其方程例如表示xoy平面上的圓心在原點半

10、徑為1的圓.該圓還可表示為下列形式:例1 方程組 表示怎樣的曲線？解表示圓柱面，表示平面，交線為橢圓.都表示xoy平面上的圓心在原點半徑為1的圓.或例2 方程組 表示怎樣的曲線？解上半球面,圓柱面,交線如圖.六、空間曲線的參數(shù)方程:t為參數(shù)解 動點從 出發(fā)，經(jīng)過 t ，運動到點 取時間 t 為參數(shù)，螺旋線的參數(shù)方程則得螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為七、空間曲線在坐標面上的投影如圖:投影曲線的研究過程.空間曲線投影柱面投影曲線設空間曲線的一般方程：將曲線方程組消去變量z后得：曲線關于 的投影柱面,求它在xoy平面上的投影曲線.方程中缺z坐標,表示母線平行z的柱面,稱為空間曲線在 面上的投影曲線,該柱面與xoy面交線為方程為類似地：可定義空間曲線在其他坐標面上的投影面上的投影曲線：面上的投影曲線：將曲線方程組消去變量y后得將曲線方程組消去變量x