流體動(dòng)力學(xué)理論基礎(chǔ)流體運(yùn)動(dòng)學(xué)

1、流體動(dòng)力學(xué)理論基礎(chǔ)流體運(yùn)動(dòng)學(xué)本章內(nèi)容 流體運(yùn)動(dòng)的描述方法 流場(chǎng)的基本概念 流體運(yùn)動(dòng)的質(zhì)量守恒方程 流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)三、流體運(yùn)動(dòng)的質(zhì)量守恒方程 連續(xù)性、系統(tǒng)和控制體 一維恒定總流的連續(xù)性方程 三維流動(dòng)的連續(xù)性方程 在流體力學(xué)的研究中，把流體看作是連續(xù)介質(zhì)，即使是在運(yùn)動(dòng)流體內(nèi)部，流體質(zhì)點(diǎn)也是連續(xù)充滿所占據(jù)的空間，彼此間不會(huì)出現(xiàn)空隙。流體的這種性質(zhì)稱為連續(xù)性，用數(shù)學(xué)形式表達(dá)出來就是連續(xù)性方程，它是物質(zhì)不滅定律在流體力學(xué)中的具體體現(xiàn)，實(shí)質(zhì)上是質(zhì)量守恒方程。連續(xù)性控制體：控制體被流體所流過的，相對(duì)于某個(gè)坐標(biāo)系來說，固定不變的任何體積稱之為控制體。 控制體的邊界面，稱之為控制面。 控制面總是封閉表面。 占據(jù)

2、控制體的諸流體質(zhì)點(diǎn)隨著時(shí)間而改變?？刂企w邊界（控制面）的特點(diǎn)：控制體控制面相對(duì)于座標(biāo)系是固定的。在控制面上可以有質(zhì)量交換。在控制面上，受到控制體以外物體加在控制體之內(nèi)物體上的力。在控制面上可以有能量交換。實(shí)質(zhì)：質(zhì)量守恒連續(xù)性方程的微分形式oyxzdmxdmxdxdydzdt時(shí)間內(nèi)x方向：流入質(zhì)量流出質(zhì)量?jī)袅鞒鲑|(zhì)量三維流動(dòng)的連續(xù)性方程同理：dt時(shí)間內(nèi)，控制體總凈流出質(zhì)量：三維流動(dòng)的連續(xù)性方程由質(zhì)量守恒：控制體總凈流出質(zhì)量，必等于控制體內(nèi)由于密度變化而減少的質(zhì)量，即三維流動(dòng)的連續(xù)性方程恒定流三維流動(dòng)的連續(xù)性方程不可壓縮流體有兩種二元液流，其流速可表示為： （1）ux= -2y, uy=3x；（2）

3、ux=0, uy=3xy。試問這兩種液流是不可壓縮流嗎？（2）（1）例題四、流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng) 流體質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)運(yùn)動(dòng) 流體微團(tuán)的線變形運(yùn)動(dòng) 流體微團(tuán)的角變形運(yùn)動(dòng) 流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng) 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的合成流體微團(tuán)流體微團(tuán)：流體微團(tuán)是指體積微小，隨流體一起運(yùn)動(dòng)的一團(tuán)流體物質(zhì)。 包含無數(shù)個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)。 各流體質(zhì)點(diǎn)間存在相對(duì)位置變化。 能夠體現(xiàn)膨脹、變形、轉(zhuǎn)動(dòng)等尺度變化。流動(dòng)質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)平移、轉(zhuǎn)動(dòng)流動(dòng)質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn) 一般情況下，任一流體微元的運(yùn)動(dòng)可以分解為三個(gè)運(yùn)動(dòng)：隨同任意極點(diǎn)的平移，對(duì)于通過這個(gè)極點(diǎn)的瞬時(shí)軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)以及變形運(yùn)動(dòng)。流動(dòng)質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)xyzO亥姆霍茲速度

4、分解定理M0點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度亥姆霍茲速度分解定理對(duì)M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度采用泰勒級(jí)數(shù)展開亥姆霍茲速度分解定理在u的表達(dá)式中加入得亥姆霍茲速度分解定理在v的表達(dá)式中加入得亥姆霍茲速度分解定理M點(diǎn)速度與M0點(diǎn)速度和速度空間變化率平移、線變形、角變形、轉(zhuǎn)動(dòng)亥姆霍茲速度分解定理流體微團(tuán)的線變形運(yùn)動(dòng)x方向上流體微團(tuán)的線變形量為同理y方向上流體微團(tuán)的線變形量為存在各質(zhì)點(diǎn)在連線方向的速度梯度是產(chǎn)生線變形的原因流體微團(tuán)的線變形運(yùn)動(dòng)線變形速率：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)流體線的相對(duì)伸長(zhǎng)。同理流體微團(tuán)的線變形運(yùn)動(dòng)體積變形速率：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)流體微團(tuán)體積的相對(duì)變化。dt時(shí)間內(nèi)流體微團(tuán)的體積變化量流體微團(tuán)的線變形運(yùn)動(dòng)體積變形速率：體積

5、變形速率等于三個(gè)方向線變形速率之和。流體微團(tuán)的角變形與旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)只有角變形只有旋轉(zhuǎn)既有角變形又有旋轉(zhuǎn)存在不在質(zhì)點(diǎn)連線方向的速度梯度是產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)和角變形的原因流體微團(tuán)的角變形與旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)角度：流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)角速度：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角度。同理流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)角速度的矢量表達(dá)式：流體微團(tuán)的角變形運(yùn)動(dòng)流體微團(tuán)的角變形運(yùn)動(dòng)變形角：角變形：流體微團(tuán)的角變形運(yùn)動(dòng)角變形速率：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)流體微團(tuán)的角度變化。同理流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的合成平移、線變形、角變形、轉(zhuǎn)動(dòng)流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的合成三維情況：矢量形式：渦量及無旋運(yùn)動(dòng)渦量：流速場(chǎng)的旋度稱為渦量。渦量及無旋運(yùn)動(dòng)無旋運(yùn)動(dòng)：

6、流場(chǎng)中的流體微團(tuán)沒有旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。區(qū)別主要在于流體質(zhì)點(diǎn)是否繞自身軸旋轉(zhuǎn)與運(yùn)動(dòng)軌跡無關(guān)。有旋運(yùn)動(dòng)及無旋運(yùn)動(dòng)的區(qū)別有旋運(yùn)動(dòng)及無旋運(yùn)動(dòng)的區(qū)別有旋流：亦稱“渦流”。流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)中不僅發(fā)生平動(dòng)或變形，而且繞著自身的瞬時(shí)軸線作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。無旋流：亦稱“勢(shì)流”、“有勢(shì)流”。流體在運(yùn)動(dòng)中，流體微團(tuán)只有平動(dòng)或變形，但不發(fā)生旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，即不繞其自身的瞬時(shí)軸線作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。已知流體流動(dòng)的流速場(chǎng)為 試判斷該流動(dòng)是無旋流還是有旋流。故液體流動(dòng)是無旋流。例題解：例：平面流場(chǎng)ux=ky，uy=0（k為大于0的常數(shù)），分析流場(chǎng)運(yùn)動(dòng)特征解：流線方程：線變形：角變形：旋轉(zhuǎn)角速度：xyo（流線是平行與x軸的直線族）（無線變形）（有角變形）

7、（順時(shí)針方向?yàn)樨?fù)）例：速度場(chǎng)ur=0 ，u=b/r（b為常數(shù)），流線是以原點(diǎn)為中心的同心圓，此流場(chǎng)是有旋流動(dòng)還是無旋流動(dòng)？解：用直角坐標(biāo)：xyoruxuyup是無旋流（微元平動(dòng)）小結(jié)：流動(dòng)作有旋運(yùn)動(dòng)或無旋運(yùn)動(dòng)僅取決于每個(gè)流體微元本身是否旋轉(zhuǎn)，與整個(gè)流體運(yùn)動(dòng)和流體微元運(yùn)動(dòng)的軌跡無關(guān)。無旋有勢(shì)1.速度勢(shì)函數(shù)類比：重力場(chǎng)、靜電場(chǎng)作功與路徑無關(guān)勢(shì)能無旋條件：由全微分理論，無旋條件是某空間位置函數(shù)(x,y,z)存在的充要條件函數(shù)稱為速度勢(shì)函數(shù)，無旋流動(dòng)必然是有勢(shì)流動(dòng)速度勢(shì)函數(shù)由函數(shù)的全微分：得：（ 的梯度）2.拉普拉斯方程由不可壓縮流體的連續(xù)性方程將代入得即拉普拉斯方程為拉普拉斯算子， 稱為調(diào)和函數(shù)不可

8、壓縮流體無旋流動(dòng)的連續(xù)性方程注意：只有無旋流動(dòng)才有速度勢(shì)函數(shù)，它滿足拉普拉斯方程3.極坐標(biāo)形式（二維）不可壓縮平面流場(chǎng)滿足連續(xù)性方程：即：由全微分理論，此條件是某位置函數(shù)（x，y）存在的充要條件函數(shù)稱為流函數(shù)有旋、無旋流動(dòng)都有流函數(shù)流函數(shù)由函數(shù)的全微分： 得：流函數(shù)的主要性質(zhì)：（1）流函數(shù)的等值線是流線；證明：流線方程（2）兩條流線間通過的流量等于兩流函數(shù)之差；證明：（3）流線族與等勢(shì)線族正交；斜率：斜率：等流線等勢(shì)線利用（2）、（3）可作流網(wǎng)（4）只有無旋流的流函數(shù)滿足拉普拉斯方程證明：則：將代入也是調(diào)和函數(shù)得：在無旋流動(dòng)中例：不可壓縮流體，ux=x2y2，uy= 2xy，是否滿足連續(xù)性方程

9、？是否無旋流？有無速度勢(shì)函數(shù)？是否是調(diào)和函數(shù)？并寫出流函數(shù)。解：（1） 滿足連續(xù)性方程（2） 是無旋流（3）無旋流存在勢(shì)函數(shù)：?。▁0，y0）為（0，0）（4） 滿足拉普拉斯方程， 是調(diào)和函數(shù)（5）流函數(shù)?。▁0，y0）為（0，0）1.均勻平行流速度場(chǎng)（a,b為常數(shù)）速度勢(shì)函數(shù)等勢(shì)線流函數(shù)流線uxyo112323幾種簡(jiǎn)單的平面勢(shì)流當(dāng)流動(dòng)方向平行于x軸當(dāng)流動(dòng)方向平行于y軸112211222.源流與匯流（用極坐標(biāo)）（1）源流：1122o34ur源點(diǎn)o是奇點(diǎn)r0 ur速度場(chǎng)速度勢(shì)函數(shù)等勢(shì)線流函數(shù)流線（2）匯流 流量1122o34匯點(diǎn)o是奇點(diǎn)r0 ur（3）環(huán)流勢(shì)渦流（用極坐標(biāo)）注意：環(huán)流是無旋流！速

10、度勢(shì)函數(shù)流函數(shù)速度場(chǎng)環(huán)流強(qiáng)度逆時(shí)針為正1122o34u也滿足同理，對(duì)無旋流：勢(shì)流疊加原理勢(shì) 流 疊 加 原 理（1）半無限物體的繞流（用極坐標(biāo)）模型：水平勻速直線流與源流的疊加（河水流過橋墩）流函數(shù)：速度勢(shì)函數(shù)：即視作水平流與源點(diǎn)o的源流疊加u0S幾個(gè)常見的勢(shì)流疊加的例子作流線步驟：找駐點(diǎn)S：將代入（舍去）將代入得駐點(diǎn)的坐標(biāo)：u0Sors（1）（2）由（2）由（1）將駐點(diǎn)坐標(biāo)代入流函數(shù)，得則通過駐點(diǎn)的流線方程為給出各值，即可由上式畫出通過駐點(diǎn)的流線流線以為漸進(jìn)線外區(qū)均勻來流區(qū)；內(nèi)區(qū)源的流區(qū)（“固化”、半體）（2）等強(qiáng)源匯流（用極坐標(biāo)直角坐標(biāo)）模型：源流與匯流疊加（電偶極子）xyoaarr1r2P(x,y)12q-q勢(shì)函數(shù)流函數(shù)源流和匯流的疊加當(dāng)a0，q，2qa常數(shù)M偶極流