材料力學(xué)-扭轉(zhuǎn)變形（PPT共61頁(yè)）

1、第四章 扭轉(zhuǎn)第四章 扭 轉(zhuǎn)材料力學(xué)1第四章 扭轉(zhuǎn)第四章 扭轉(zhuǎn)41 工程實(shí)例、概念42 外力偶矩、扭矩43 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力、強(qiáng)度計(jì)算44 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形、剛度計(jì)算45 等直圓桿的扭轉(zhuǎn)超靜定問題46 非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)47 開口和閉合薄壁截面在自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力扭轉(zhuǎn)變形小結(jié)2第四章 扭轉(zhuǎn)一、工程實(shí)例1、螺絲刀桿工作時(shí)受扭。2、汽車方向盤的轉(zhuǎn)動(dòng)軸工作時(shí)受扭。41 工程實(shí)例、概念MMFFM3第四章 扭轉(zhuǎn)3、機(jī)器中的傳動(dòng)軸工作時(shí)受扭。4第四章 扭轉(zhuǎn)5第四章 扭轉(zhuǎn)6第四章 扭轉(zhuǎn)二、扭轉(zhuǎn)的概念受力特點(diǎn)：桿兩端作用著大小相等方向相反的力偶，且作用 面垂直桿的軸線。變形特點(diǎn)：桿任意兩截面繞軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。軸：

2、主要發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的桿。72、已知：功率 P馬力(Ps)，轉(zhuǎn)速 n轉(zhuǎn)分(rmin；rpm)。外力偶矩：第四章 扭轉(zhuǎn)一、外力：m （外力偶矩）1、已知：功率 P千瓦(KW），轉(zhuǎn)速 n轉(zhuǎn)分(rmin； rpm)。外力偶矩：42 外力偶矩、扭矩82、內(nèi)力的符號(hào)規(guī)定：以變形為依據(jù)，按右手螺旋法則判斷。右手的四指代表扭矩的旋轉(zhuǎn)方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向背離所在截面則扭矩規(guī)定為正值，反之為負(fù)值。第四章 扭轉(zhuǎn)T+T-mmTx1、內(nèi)力的大小：（截面法）二、內(nèi)力：T（扭矩）94、內(nèi)力圖（扭矩圖）：表示構(gòu)件各橫截面扭矩沿軸線變化的圖形。作法：同軸力圖：第四章 扭轉(zhuǎn)例 已知：一傳動(dòng)軸， n =300r/

3、min，主動(dòng)輪輸入 P1=500kW，從動(dòng)輪輸出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，試?yán)L制扭矩圖。nA B C Dm2 m3 m1 m4（1）、截開面上設(shè)正值的扭矩方向。（2）、在采用截面法之前不能將外力簡(jiǎn)化或平移。3、注意的問題10第四章 扭轉(zhuǎn)求扭矩（扭矩按正方向設(shè)）解：計(jì)算外力偶矩例 已知：一傳動(dòng)軸， n =300r/min，主動(dòng)輪輸入 P1=500kW，從動(dòng)輪輸出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，試?yán)L制扭矩圖。11第四章 扭轉(zhuǎn)nA B C Dm2 m3 m1 m4112233T1m2m2m3T2m4T3繪制扭矩圖9.56xT（kN.m）4.786

4、.3712一、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力（超靜定問題）幾何關(guān)系：由實(shí)驗(yàn)通過變形規(guī)律應(yīng)變的變化規(guī)律物理關(guān)系：由應(yīng)變的變化規(guī)律應(yīng)力的分布規(guī)律靜力關(guān)系：由橫截面上的扭矩與應(yīng)力的關(guān)系應(yīng)力的計(jì)算公式。一）、幾何關(guān)系：1、實(shí)驗(yàn)：第四章 扭轉(zhuǎn)43 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力、強(qiáng)度計(jì)算13第四章 扭轉(zhuǎn)142、變形規(guī)律：圓周線形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)不同的角度?？v向線傾斜了同一個(gè)角度，小方格變成了平行四邊形。3、平面假設(shè)：變形前的橫截面，變形后仍為平面，且形狀、大小、間距不變，半徑仍為直線。4、定性分析橫截面上的應(yīng)力（1）（2）因?yàn)橥粓A周上切應(yīng)變相同，所以同一圓周上切應(yīng)力大小相等，并且方向垂直于

5、其半徑方向。第四章 扭轉(zhuǎn)TO1A2155、切應(yīng)變的變化規(guī)律：第四章 扭轉(zhuǎn)二）物理關(guān)系：彈性范圍內(nèi)工作時(shí)方向垂直于半徑。16第四章 扭轉(zhuǎn) 應(yīng)力分布TtmaxtmaxtmaxtmaxT（實(shí)心截面）（空心截面）17三）靜力關(guān)系：第四章 扭轉(zhuǎn)TOdAA令代入物理關(guān)系式 得：圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上任一點(diǎn)的切應(yīng)力計(jì)算式。18第四章 扭轉(zhuǎn)橫截面上抗扭截面模量，單位：m3 mm3 。整個(gè)圓軸上等直桿：變直桿：三、公式的使用條件：1、等直的圓軸，2、彈性范圍內(nèi)工作。Ip截面的極慣性矩，單位： m4 mm4二、圓軸中max的確定19四、薄壁圓管（圓筒）扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力薄壁筒扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力均勻分布，與半徑垂直，指向與

6、扭矩的轉(zhuǎn)向一致.T20五、Ip, Wp 的確定 ：1、實(shí)心圓截面2、空心圓截面DdOdDOd21xdydzdxyz六、切應(yīng)力互等定理 1、在單元體左、右面（桿的橫截面）上只有切應(yīng)力，其方向與 y 軸平行. 可知，兩側(cè)面的內(nèi)力元素 dy dz 大小相等，方向相反，將組成 一個(gè)力偶。由平衡方程其矩為( dy dz) dx22xydydzzdx2、 要滿足平衡方程在單元體的上、下兩平面上必有大小相等，指向相反的一對(duì)內(nèi)力元素它們組成力偶，其矩為此力偶矩與前一力偶矩?cái)?shù)量相等而轉(zhuǎn)向相反，從而可得( dy dz) dx233、切應(yīng)力互等定理單元體兩個(gè)相互垂直平面上的切應(yīng)力同時(shí)存在，且大小相等，都指向（或背離

7、）該兩平面的交線.純剪切單元體：?jiǎn)卧w平面上只有切應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力，則稱為純剪切單元體.xydydzzdx24MeMel式中， r 為薄壁圓筒的外半經(jīng).七、剪切胡克定律由圖所示的幾何關(guān)系得到薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)外力偶 Me 在某一范圍內(nèi)時(shí)，與 Me （在數(shù)值上等于 T ）成正比. 25 彈性模量E，剪切彈性模量G與泊松比的 關(guān)系TO從 T 與 之間的線性關(guān)系，可推出 與 間的線性關(guān)系.該式稱為材料的剪切胡克定律.G 剪切彈性模量扭轉(zhuǎn) (torsion)O26八、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)斜截面上的應(yīng)力低碳鋼試件：沿橫截面斷開。鑄鐵試件：沿與軸線約成45的螺旋線斷開。因此還需要研究斜截面上的應(yīng)力。272

8、、max：=00， max=（=0）。橫截面上！1、max：=45。 max=（=0）。45斜截面！結(jié)論： 如果材料的抗剪切能力差，構(gòu)件就沿橫截面發(fā)生破壞（塑性材料）； 如果材料的抗拉壓能力差，構(gòu)件就沿45斜截面發(fā)生破壞（脆性材料）。分析：ttsmaxsmin4528九、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算1、強(qiáng)度條件：2、強(qiáng)度計(jì)算：1）校核強(qiáng)度；2）設(shè)計(jì)截面尺寸；3）確定外荷載。29一、變形：（相對(duì)扭轉(zhuǎn)角）44 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形、剛度計(jì)算 T=常量,且分段。T=常量單位：弧度（rad）。GIP抗扭剛度。第四章 扭轉(zhuǎn)注意： “T” 代入其“、”號(hào)30單位長(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)角，二、剛度條件：三、剛度計(jì)算：1、校核剛度；

9、2、設(shè)計(jì)截面尺寸；3、確定外荷載。第四章 扭轉(zhuǎn)31例 功率為150 kW，轉(zhuǎn)速為15.4 轉(zhuǎn)/秒的電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子軸如圖所示，許用切應(yīng)力 =30 M Pa, 試校核其強(qiáng)度。T1.55 kN.m解：求扭矩及扭矩圖計(jì)算并校核切應(yīng)力強(qiáng)度D3 =135D2=75D1=70ABCmmx第四章 扭轉(zhuǎn)32例 某傳動(dòng)軸設(shè)計(jì)要求轉(zhuǎn)速n = 500 r / min，輸入功率P1 = 500 馬力， 輸出功率分別 P2 = 200馬力及 P3 = 300馬力，已知：G=80 GPa ， =70 M Pa， =1/m ，試確定： AB 段直徑 d1和 BC 段直徑 d2 ？ 若全軸選同一直徑，應(yīng)為多少？ 主動(dòng)輪與從動(dòng)輪如何

10、安排合理？解：圖示狀態(tài)下,扭矩圖500400P1P3P2ACBTx7024 4210(Nm)第四章 扭轉(zhuǎn)33由剛度條件得：由強(qiáng)度條件：第四章 扭轉(zhuǎn)34綜上：全軸選同一直徑時(shí) 軸上的絕對(duì)值最大的扭矩越小越合理，所以，1輪和2輪應(yīng) 該換位。換位后, 軸的最大直徑才為 75mm。Tx 4210(Nm)2814第四章 扭轉(zhuǎn)P1P3P2ACB35第四章 扭轉(zhuǎn)已知：P7.5kW,n=100r/min, 許 用切應(yīng)力40MPa, 空心圓軸的內(nèi)外徑之比 = 0.5。求:：實(shí)心軸的直徑d1和空心軸 的外徑D2。解：P T=9549n7.5= 9549 100 =716.2 N.mmax=wp116 TT= d1

11、3=40 MPa=0.045( m)=45 mmd1=16 716. 2 40 106336第四章 扭轉(zhuǎn)max=40 MPawp2T16 T= D23(1- 4)d 2 =0.5D2=23 mmA1A2=d12D22(1- 2)=1.28=0.045( m)=45 mmD2 =16 716.2 (1- 0.5 4) 40 10633745 等直圓桿的扭轉(zhuǎn)超靜定問題解扭轉(zhuǎn)超靜定問題的步驟：平衡方程；幾何方程變形協(xié)調(diào)方程；補(bǔ)充方程：把物理方程（力與變形的關(guān)系）代入幾何方程得；解由平衡方程和補(bǔ)充方程組成的方程組。第四章 扭轉(zhuǎn)38例 長(zhǎng)為 L=2 m 的圓桿受均布力偶 m=20 Nm/m 的作用，如圖

12、，若桿的內(nèi)外徑之比為 =0.8 ，外徑 D=0.0226 m ，G=80 GPa，試求：固定端的反力偶。解：桿的受力圖如圖示， 這是一次超靜定問題。 平衡方程為：幾何方程：第四章 扭轉(zhuǎn)39 力的補(bǔ)充方程： 由平衡方程得：另:此題可由對(duì)稱性直接求得結(jié)果。第四章 扭轉(zhuǎn)x40第四章 扭轉(zhuǎn)低碳鋼41第四章 扭轉(zhuǎn)鑄鐵42第四章 扭轉(zhuǎn)六、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)斜截面上的應(yīng)力低碳鋼試件：沿橫截面斷開。鑄鐵試件：沿與軸線約成45的螺旋線斷開。因此還需要研究斜截面上的應(yīng)力。43mT第四章 扭轉(zhuǎn)方法：取單元體（單元體上的應(yīng)力認(rèn)為是均勻分布的）tttttttasax44第四章 扭轉(zhuǎn)設(shè)：ef 邊的面積為 dA 則tttasaxn

13、tefbeb邊的面積為dAcosbf邊的面積為dAsin45第四章 扭轉(zhuǎn)2、max：=00， max=（=0）。橫截面上！1、max：=45。 max=（=0）。45斜截面！結(jié)論： 如果材料的抗剪切能力差，構(gòu)件就沿橫截面發(fā)生破壞（塑性材料）； 如果材料的抗拉壓能力差，構(gòu)件就沿45斜截面發(fā)生破壞（脆性材料）。分析：ttsmaxsmin4546一、非圓截面桿與圓截面桿的區(qū)別圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí) 橫截面保持為平面；非圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí) 橫截面由平面變 為曲面（發(fā)生翹曲）。46 非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)第四章 扭轉(zhuǎn)47二、研究方法：彈性力學(xué)的方法研究三、非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的分類：1、自由扭轉(zhuǎn)（純扭轉(zhuǎn)）2、約束扭轉(zhuǎn)。四、分析兩種扭轉(zhuǎn)

14、：1、自由扭轉(zhuǎn)：各橫截面翹曲程度不受任何約束（可自由凹凸），任意兩相鄰截面翹曲程度相同。受力特點(diǎn)：兩端受外力偶作用。變形特點(diǎn):相鄰兩截面翹曲完全相同，縱向長(zhǎng)度不變，所以縱 向應(yīng)變等于零。應(yīng)力特點(diǎn)：橫截面上正應(yīng)力等于零，切應(yīng)力不等于零。2、約束扭轉(zhuǎn)：由于約束條件或受力限制，造成桿各橫截面翹 曲程度不同。受力特點(diǎn)：兩端受外力偶作用。第四章 扭轉(zhuǎn)48變形特點(diǎn):相鄰兩截面翹曲不相同，縱向長(zhǎng)度發(fā)生變化，所以 縱向應(yīng)變不等于零。應(yīng)力特點(diǎn)：橫截面上正應(yīng)力不等于零，切應(yīng)力不等于零。五、矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)：1、分布：2、應(yīng)力計(jì)算： （整個(gè)橫截面上最大的切應(yīng)力）。短邊中點(diǎn)3、變形：長(zhǎng)邊中點(diǎn)第四章 扭轉(zhuǎn)hbht

15、1T t max 注意！b49六、非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的有關(guān)規(guī)律：1、截面周邊各點(diǎn)處切應(yīng)力的方向與周邊平行（相切）。2、在凸角處的切應(yīng)力等于零。第四章 扭轉(zhuǎn)50一、切應(yīng)力流的方向與扭矩的方向一致。二、開口薄壁截面桿在自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力分布如圖（a），厚 度中點(diǎn)處，應(yīng)力為零。47 開口和閉合薄壁截面在自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力第四章 扭轉(zhuǎn)51三、閉口薄壁截面桿在自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力分布如圖（b），同 一厚度處，應(yīng)力均勻分布。第四章 扭轉(zhuǎn)52四、閉口薄壁截面桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力計(jì)算，在（c）圖上取 單元體如圖（d）。圖（c）d xd 2d1t1t2圖（d）第四章 扭轉(zhuǎn)53第四章 扭轉(zhuǎn)54例 圖示橢圓形薄壁截面桿，橫

16、截面尺寸為：a=50 mm， b=75 mm，厚度t =5 mm，桿兩端受扭轉(zhuǎn)力偶 T=5000 Nm， 試求此桿的最大切應(yīng)力。解：閉口薄壁桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的最大切應(yīng)力：bat第四章 扭轉(zhuǎn)55第四章 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)變形小結(jié)一、扭轉(zhuǎn)的概念受力特點(diǎn)：桿兩端作用著大小相等方向相反的力偶，且作用面 垂直桿的軸線。變形特點(diǎn)：桿任意兩截面繞軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。二、外力：m （外力偶矩）功率 P千瓦，轉(zhuǎn)速 n轉(zhuǎn)分。三、內(nèi)力：T（扭矩）功率 P馬力，轉(zhuǎn)速 n轉(zhuǎn)分。1、內(nèi)力的大小確定、畫內(nèi)力圖56第四章 扭轉(zhuǎn)2、內(nèi)力的符號(hào)規(guī)定：右手的四指代表扭矩的旋轉(zhuǎn)方向，大拇指代表其矢量方，若其矢量方向背離所在截面則扭矩規(guī)定為正值，反之為負(fù)值。（1）、截開面上設(shè)正值的扭矩方向。（2）、在采用截面法之前不能將外力簡(jiǎn)化和平移。3、注意的問題四、薄壁圓筒橫截面上的應(yīng)力五、剪切虎克定律幾何關(guān)系：由實(shí)驗(yàn)通過變形規(guī)律應(yīng)變的變化規(guī)律1、公式推導(dǎo)六、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力重點(diǎn)57第四章 扭轉(zhuǎn)靜力關(guān)系：由橫截面上的扭矩與應(yīng)力的關(guān)系應(yīng)力的計(jì)算公式。圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上任一點(diǎn)的切應(yīng)力計(jì)算式。等直桿：變直桿：2、圓軸中max的確定3、公式的使用條件：（1）、等直的圓軸，（2）、彈