第十二章振動學基礎

1、第四篇 振動 波動和波動光學我們生活在波的海洋中第11章 振動學基礎振動：任何一個物理量(例如，物體的位置、電流強度、電場強度、磁場強度等)在某一定值附近的反復變化。機械振動：物體在一定位置附近作來回往復的運動。專題講座3包括教材P95-109簡諧運動的描述及其動力學特征簡諧運動：是最基本、最簡單的振動。 任何復雜的振動都可以認為是由若干個簡單而又基本的簡諧運動合成的。一、簡諧運動的運動學特征運動規(guī)律由余(正)弦函數(shù)表示彈簧振子單擺簡諧運動表達式1、基本物理量A：振幅 單位：mA：振幅 離開平衡位置的最大位移；：角頻率 單位：弧度/秒（rad/s）t+：位相或周相單位：弧度（rad）T：周期單

2、位：秒（s）：初相 ：頻率 單位：赫茲(Hz) (1/s)：角頻率 2秒內往復振動的次數(shù)；t+：位相或周相 決定任意時刻系統(tǒng)運動狀態(tài)的物理量；：初相 t = 0時的位相，與初始條件有關；：頻率 單位時間內往復振動的次數(shù)；T：周期 往復振動一次的時間。2、振動曲線周期、頻率與角頻率關系：txOAT3、簡諧運動的速度與加速度2022/7/244、振動表達式的建立關鍵：初相位的確定已知 t =0時 (已知) ，振動位移：x = x0 ，振動速度：v = v0令左邊兩式中t =0，得基本方程：則振幅：初相位：注意：在區(qū)間（，）中， 可取兩個值，根據(jù)速度方向確定的值。例11-1:一質點沿x軸作簡諧振動，

3、周期為2s。當t = 0時, 位移為6cm，速度為 cm/s。試寫出質點的振動方程。振幅：初相位：例11-1:一質點沿x軸作簡諧振動，周期為2s。當t = 0時, 位移為6cm，速度為 。試寫出質點的振動方程。解：已知：T = 2s，所以= 12(cm)或基本方程：因為所以振動方程例11-2: 一輕彈簧，一端固定，另一端連接一定質量的物體。整個系統(tǒng)位于水平面內，系統(tǒng)的角頻率為6.0rads-1。今將物體沿平面向右拉長到x0=0.04m處釋放，試求：(1)簡諧運動表達式；(2)物體從初始位置運動到第一次經過A/2處時的速度。解：已知t=0時， x0=0.04m=Av0=0(1)(2)由(1)中結

4、果依題意，v0則例11-3:一質點沿x軸作簡諧振動，振幅為12cm，周期為2s。當t = 0時, 位移為6cm，且向x軸正方向運動。求: 1、振動方程。2、t = 0.5s時，質點的位置、速度和加速度。3、如果在某時刻質點位于x = -6cm，且向x軸負方向運動，求從該位置第一次回到平衡位置所需要的時間。解：1. 設簡諧振動表達式為已知： A = 12cm , T = 2s ，x = A cos(t + )初始條件：t = 0 時， x0 = 0.06m , v0 02. 所以3. 設在某一時刻 t1， x = 0.06 m代入振動方程：由 可得在最大負位移的時刻OA A/2由最大負位移回到平

5、衡位置需四分之一周期，因而二、簡諧運動的旋轉矢量圖示法 旋轉矢量的模即為簡諧運動的振幅。 旋轉矢量的角速度即為振動的角頻率。 旋轉矢量與x軸的夾角(t+)為簡諧運動的相位。 t = 0時，旋轉矢量與x軸的夾角即為簡諧振動的初相位。 旋轉矢量旋轉一周，P點完成一次全振動。結論：投影點的運動為簡諧運動。周期：幾何描述方法例11-4:一個沿x軸作簡諧運動的彈簧振子，振幅為A，周期為T，t = 0時，振子的位置為x0=A/2，且向x的負方向運動。試求振動表達式。解：（旋轉矢量法）振動表達式的標準形式為 由旋轉矢量法獲得，如圖，滿足x=A/2的位置有P1、P2，但是同時滿足負方向運動的只有P1，則 應在

6、P1處，故振動表達式為：三、旋轉矢量法的應用：其中A、T為已知。例11-3:一質點沿x軸作簡諧振動，振幅為12cm，周期為2s。當t = 0時, 位移為6cm，且向x軸正方向運動。求: 1、振動方程。3、如果在某時刻質點位于x = 6cm，且向x軸負方向運動，求從該位置第一次回到平衡位置所需要的時間。解：1. 設簡諧振動表達式為已知： A = 12cm , T = 2s ，x = A cos(t + )初始條件：t = 0 時， x0 = 0.06m , v0 0所以3. 設在某一時刻 t1， x = 0.06 m代入振動方程：由 可得在最大負位移的時刻OA A/2由最大負位移的回到平衡位置需

7、四分之一周期，因而例11-5: 一質點沿x軸作簡諧運動，振幅為12cm，周期為2s。當t = 0時, 位移為6cm，且向x軸正方向運動。求: (1) 振動表達式；(3) 如果在某一時刻質點位于x =-6cm，且向x軸負方向運動，求從該位置回到平衡位置所需要的時間。解：t = 0時，質點位移為0.06m，而且向正方向運動，旋轉矢量的初始位置如圖所示，從而得x6cm(3)質點位于x= 6cm且向x軸負方向運動的位置如圖所示平衡位置如圖所示作業(yè)：教材：P128 11-3，11-4，11-5；指導：P211 3，6。四、簡諧運動的動力學描述1. 彈簧振子理想模型根據(jù)胡克定律：始終指向平衡位置的作用力回

8、復力振子質量：m由牛頓第二定律得令:簡諧運動的微分方程微分方程的解： 任何一個物理量，如果它隨時間的變化規(guī)律滿足簡諧運動的微分方程，或遵從余弦(或正弦)規(guī)律，則廣義地說，這一物理量在作簡諧運動。如：交流電壓U為常數(shù)得簡諧運動的微分方程。A和由初始條件確定2. 單擺的討論Ol mgT小球受力矩：根據(jù)轉動定律化簡得當很小時， 結論：單擺的振動是簡諧運動。為振動角位移，振幅為0例11-6: 證明圖示系統(tǒng)的振動為簡諧運動。其頻率為 xk1k2 x證明：設物體位移x，彈簧分別伸長x1和x2 ，從而聯(lián)立解得根據(jù)牛頓第二定律即振動為簡諧振動。其頻率為證畢。五、簡諧運動的能量振子勢能：振子動能：系統(tǒng)的總能量：

9、彈簧振子的能量曲線1、振子在振動過程中，動能和勢能分別隨時間變化，但任一時刻總機械能保持不變。2、位移最大，勢能最大，但動能最小。在振動曲線的峰值。位移為0，勢能為0，但動能最大，在振動曲線的平衡位置。作業(yè)：教材：P129 11-12， 11-14；指導：P211 7，P215 1，2。11-3 簡諧運動的合成設：某一質點在直線上同時參與兩個獨立的同頻率的簡諧運動，其運動表達式分別表示為令：則， 顯然，兩個同方向同頻率的諧振動的合成仍為諧振動。其中，合振幅：合振動的初位相：一、兩個同方向同頻率簡諧運動的合成（振幅、初相位不同）旋轉矢量法推導：x由幾何關系：同理可得合振幅： 的具體象限要根據(jù)1、

10、2 確定。討論：合振動的加強和減弱1、 位相差= 1 - 2 = 2kk=0，1，2，3，合振幅加強：2、 位相差= 1 - 2 =（2k+1）k=0，1，2，3，合振幅減弱：合振動的初位相：例11-5: 兩個同方向的簡諧運動曲線(如圖所示) (1) 求合振動的振幅。(2) 求合振動的振動方程。xTt解: (1) 由圖可知，兩振動互為反相， 合振幅(2)畫t = 0時的旋轉矢量圖：x例11-6: 兩個同方向，同頻率的簡諧運動，其合振動的振幅為20cm，與第一個振動的相位差為 。若第一個振動的振幅為 。則(1)第二個振動的振幅為多少？(2) 兩簡諧運動的相位差為多少？解：(1)依題意根據(jù)余弦定理(2)根據(jù)正弦定理二、兩個同方向不同頻率簡諧運動的合成 相對于 的轉動角速度為 平行四邊形形狀變化，