第十二章振動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)

1、第四篇 振動(dòng) 波動(dòng)和波動(dòng)光學(xué)我們生活在波的海洋中第11章 振動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)振動(dòng)：任何一個(gè)物理量(例如，物體的位置、電流強(qiáng)度、電場(chǎng)強(qiáng)度、磁場(chǎng)強(qiáng)度等)在某一定值附近的反復(fù)變化。機(jī)械振動(dòng)：物體在一定位置附近作來(lái)回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)。專題講座3包括教材P95-109簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的描述及其動(dòng)力學(xué)特征簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)：是最基本、最簡(jiǎn)單的振動(dòng)。 任何復(fù)雜的振動(dòng)都可以認(rèn)為是由若干個(gè)簡(jiǎn)單而又基本的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成的。一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征運(yùn)動(dòng)規(guī)律由余(正)弦函數(shù)表示彈簧振子單擺簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)表達(dá)式1、基本物理量A：振幅 單位：mA：振幅 離開(kāi)平衡位置的最大位移；：角頻率 單位：弧度/秒（rad/s）t+：位相或周相單位：弧度（rad）T：周期單

2、位：秒（s）：初相 ：頻率 單位：赫茲(Hz) (1/s)：角頻率 2秒內(nèi)往復(fù)振動(dòng)的次數(shù)；t+：位相或周相 決定任意時(shí)刻系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量；：初相 t = 0時(shí)的位相，與初始條件有關(guān)；：頻率 單位時(shí)間內(nèi)往復(fù)振動(dòng)的次數(shù)；T：周期 往復(fù)振動(dòng)一次的時(shí)間。2、振動(dòng)曲線周期、頻率與角頻率關(guān)系：txOAT3、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的速度與加速度2022/7/244、振動(dòng)表達(dá)式的建立關(guān)鍵：初相位的確定已知 t =0時(shí) (已知) ，振動(dòng)位移：x = x0 ，振動(dòng)速度：v = v0令左邊兩式中t =0，得基本方程：則振幅：初相位：注意：在區(qū)間（，）中， 可取兩個(gè)值，根據(jù)速度方向確定的值。例11-1:一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，

3、周期為2s。當(dāng)t = 0時(shí), 位移為6cm，速度為 cm/s。試寫出質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程。振幅：初相位：例11-1:一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，周期為2s。當(dāng)t = 0時(shí), 位移為6cm，速度為 。試寫出質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程。解：已知：T = 2s，所以= 12(cm)或基本方程：因?yàn)樗哉駝?dòng)方程例11-2: 一輕彈簧，一端固定，另一端連接一定質(zhì)量的物體。整個(gè)系統(tǒng)位于水平面內(nèi)，系統(tǒng)的角頻率為6.0rads-1。今將物體沿平面向右拉長(zhǎng)到x0=0.04m處釋放，試求：(1)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)表達(dá)式；(2)物體從初始位置運(yùn)動(dòng)到第一次經(jīng)過(guò)A/2處時(shí)的速度。解：已知t=0時(shí)， x0=0.04m=Av0=0(1)(2)由(1)中結(jié)

4、果依題意，v0則例11-3:一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅為12cm，周期為2s。當(dāng)t = 0時(shí), 位移為6cm，且向x軸正方向運(yùn)動(dòng)。求: 1、振動(dòng)方程。2、t = 0.5s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和加速度。3、如果在某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于x = -6cm，且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，求從該位置第一次回到平衡位置所需要的時(shí)間。解：1. 設(shè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式為已知： A = 12cm , T = 2s ，x = A cos(t + )初始條件：t = 0 時(shí)， x0 = 0.06m , v0 02. 所以3. 設(shè)在某一時(shí)刻 t1， x = 0.06 m代入振動(dòng)方程：由 可得在最大負(fù)位移的時(shí)刻OA A/2由最大負(fù)位移回到平

5、衡位置需四分之一周期，因而二、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖示法 旋轉(zhuǎn)矢量的模即為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅。 旋轉(zhuǎn)矢量的角速度即為振動(dòng)的角頻率。 旋轉(zhuǎn)矢量與x軸的夾角(t+)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相位。 t = 0時(shí)，旋轉(zhuǎn)矢量與x軸的夾角即為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的初相位。 旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)一周，P點(diǎn)完成一次全振動(dòng)。結(jié)論：投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。周期：幾何描述方法例11-4:一個(gè)沿x軸作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的彈簧振子，振幅為A，周期為T，t = 0時(shí)，振子的位置為x0=A/2，且向x的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)。試求振動(dòng)表達(dá)式。解：（旋轉(zhuǎn)矢量法）振動(dòng)表達(dá)式的標(biāo)準(zhǔn)形式為 由旋轉(zhuǎn)矢量法獲得，如圖，滿足x=A/2的位置有P1、P2，但是同時(shí)滿足負(fù)方向運(yùn)動(dòng)的只有P1，則 應(yīng)在

6、P1處，故振動(dòng)表達(dá)式為：三、旋轉(zhuǎn)矢量法的應(yīng)用：其中A、T為已知。例11-3:一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅為12cm，周期為2s。當(dāng)t = 0時(shí), 位移為6cm，且向x軸正方向運(yùn)動(dòng)。求: 1、振動(dòng)方程。3、如果在某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于x = 6cm，且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，求從該位置第一次回到平衡位置所需要的時(shí)間。解：1. 設(shè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式為已知： A = 12cm , T = 2s ，x = A cos(t + )初始條件：t = 0 時(shí)， x0 = 0.06m , v0 0所以3. 設(shè)在某一時(shí)刻 t1， x = 0.06 m代入振動(dòng)方程：由 可得在最大負(fù)位移的時(shí)刻OA A/2由最大負(fù)位移的回到平衡位置需

7、四分之一周期，因而例11-5: 一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振幅為12cm，周期為2s。當(dāng)t = 0時(shí), 位移為6cm，且向x軸正方向運(yùn)動(dòng)。求: (1) 振動(dòng)表達(dá)式；(3) 如果在某一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于x =-6cm，且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，求從該位置回到平衡位置所需要的時(shí)間。解：t = 0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)位移為0.06m，而且向正方向運(yùn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)矢量的初始位置如圖所示，從而得x6cm(3)質(zhì)點(diǎn)位于x= 6cm且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)的位置如圖所示平衡位置如圖所示作業(yè)：教材：P128 11-3，11-4，11-5；指導(dǎo)：P211 3，6。四、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)描述1. 彈簧振子理想模型根據(jù)胡克定律：始終指向平衡位置的作用力回

8、復(fù)力振子質(zhì)量：m由牛頓第二定律得令:簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的微分方程微分方程的解： 任何一個(gè)物理量，如果它隨時(shí)間的變化規(guī)律滿足簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的微分方程，或遵從余弦(或正弦)規(guī)律，則廣義地說(shuō)，這一物理量在作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。如：交流電壓U為常數(shù)得簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的微分方程。A和由初始條件確定2. 單擺的討論Ol mgT小球受力矩：根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律化簡(jiǎn)得當(dāng)很小時(shí)， 結(jié)論：?jiǎn)螖[的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。為振動(dòng)角位移，振幅為0例11-6: 證明圖示系統(tǒng)的振動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。其頻率為 xk1k2 x證明：設(shè)物體位移x，彈簧分別伸長(zhǎng)x1和x2 ，從而聯(lián)立解得根據(jù)牛頓第二定律即振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。其頻率為證畢。五、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量振子勢(shì)能：振子動(dòng)能：系統(tǒng)的總能量：

9、彈簧振子的能量曲線1、振子在振動(dòng)過(guò)程中，動(dòng)能和勢(shì)能分別隨時(shí)間變化，但任一時(shí)刻總機(jī)械能保持不變。2、位移最大，勢(shì)能最大，但動(dòng)能最小。在振動(dòng)曲線的峰值。位移為0，勢(shì)能為0，但動(dòng)能最大，在振動(dòng)曲線的平衡位置。作業(yè)：教材：P129 11-12， 11-14；指導(dǎo)：P211 7，P215 1，2。11-3 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成設(shè)：某一質(zhì)點(diǎn)在直線上同時(shí)參與兩個(gè)獨(dú)立的同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)表達(dá)式分別表示為令：則， 顯然，兩個(gè)同方向同頻率的諧振動(dòng)的合成仍為諧振動(dòng)。其中，合振幅：合振動(dòng)的初位相：一、兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成（振幅、初相位不同）旋轉(zhuǎn)矢量法推導(dǎo)：x由幾何關(guān)系：同理可得合振幅： 的具體象限要根據(jù)1、

10、2 確定。討論：合振動(dòng)的加強(qiáng)和減弱1、 位相差= 1 - 2 = 2kk=0，1，2，3，合振幅加強(qiáng)：2、 位相差= 1 - 2 =（2k+1）k=0，1，2，3，合振幅減弱：合振動(dòng)的初位相：例11-5: 兩個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)曲線(如圖所示) (1) 求合振動(dòng)的振幅。(2) 求合振動(dòng)的振動(dòng)方程。xTt解: (1) 由圖可知，兩振動(dòng)互為反相， 合振幅(2)畫t = 0時(shí)的旋轉(zhuǎn)矢量圖：x例11-6: 兩個(gè)同方向，同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其合振動(dòng)的振幅為20cm，與第一個(gè)振動(dòng)的相位差為 。若第一個(gè)振動(dòng)的振幅為 。則(1)第二個(gè)振動(dòng)的振幅為多少？(2) 兩簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相位差為多少？解：(1)依題意根據(jù)余弦定理(2)根據(jù)正弦定理二、兩個(gè)同方向不同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成 相對(duì)于 的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為 平行四邊形形狀變化，