微分方程在經(jīng)濟(jì)方面應(yīng)用

1、-PAGE . z目 錄 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc399112608摘 要 PAGEREF _Toc399112608 h IHYPERLINK l _Toc399112609Abstract PAGEREF _Toc399112609 h IIHYPERLINK l _Toc399112610第1章 緒 論 PAGEREF _Toc399112610 h 1HYPERLINK l _Toc3991126111.1 課題研究背景及目的 PAGEREF _Toc399112611 h 1HYPERLINK l _Toc3991126121.2 研究現(xiàn)狀 P

2、AGEREF _Toc399112612 h 1HYPERLINK l _Toc3991126131.3 研究方法 PAGEREF _Toc399112613 h 1HYPERLINK l _Toc3991126141.4 研究容 PAGEREF _Toc399112614 h 2HYPERLINK l _Toc399112615第2章經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用微分方程的解法 PAGEREF _Toc399112615 h 3HYPERLINK l _Toc3991126162.1 微分方程的簡(jiǎn)介 PAGEREF _Toc399112616 h 3HYPERLINK l _Toc3991126172.2經(jīng)濟(jì)

3、中常用微分方程的解法 PAGEREF _Toc399112617 h 3HYPERLINK l _Toc399112618第3章三個(gè)經(jīng)濟(jì)模型 PAGEREF _Toc399112618 h 8HYPERLINK l _Toc3991126193.1價(jià)風(fēng)格整模型 PAGEREF _Toc399112619 h 8HYPERLINK l _Toc3991126203.2蛛網(wǎng)模型 PAGEREF _Toc399112620 h 9HYPERLINK l _Toc3991126213.3Logistic模型 PAGEREF _Toc399112621 h 10HYPERLINK l _Toc39911

4、2622第4章微分方程在經(jīng)濟(jì)的兩個(gè)分析中的應(yīng)用 PAGEREF _Toc399112622 h 12HYPERLINK l _Toc3991126234.1邊際分析 PAGEREF _Toc399112623 h 12HYPERLINK l _Toc3991126244.2彈性分析 PAGEREF _Toc399112624 h 12HYPERLINK l _Toc399112625結(jié) 語(yǔ) PAGEREF _Toc399112625 h 14HYPERLINK l _Toc399112626參考文獻(xiàn) PAGEREF _Toc399112626 h 15HYPERLINK l _Toc39911

5、2627附 錄 PAGEREF _Toc399112627 h 16HYPERLINK l _Toc399112628致 PAGEREF _Toc399112628 h 17-. z微分方程在經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用摘 要微分方程是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成局部，本文首先對(duì)微分方程的解法做了簡(jiǎn)要介紹，使下文的使用有根有據(jù)。然后通過經(jīng)濟(jì)學(xué)中的三個(gè)模型兩個(gè)概念分析，闡述了微分方程在經(jīng)濟(jì)中的廣泛應(yīng)用。關(guān)鍵詞：微分方程；經(jīng)濟(jì)模型；概念分析；應(yīng)用Research of AES Encryption AlgorithmAbstractThe theory of essential truth is not only an

6、important aspect of the Mar*ist theory of truth in journalism, but also a major principle and guideline in the course of socialistic journalism. However, there are more or less misunderstandings on putting this theory into practice. Even some journalists doubt and deny the feasibility of carrying th

7、is theory out. This thesis focuses on the practice of the theory of essential truth. The operation of this theory is an activity performed by the medium under the principle of the scientific view of cognition. On the premise of objectivity, fairness, plete and balance, journalists can achieve the go

8、al of essential truth by using the methods of report such as, successive report, serial report and integrated report on the basis of interaction and bination of individual efforts and group work.Key words: essential truth in journalism； operate； successive report； serial report；Integrated report-. z

9、第1章 緒論1.1 課題研究背景及目的數(shù)學(xué)，它涉及我們?nèi)粘Ｉ畹姆椒矫婷?，而如今，它的?yīng)用也普及幾乎所有的科技領(lǐng)域。如何將這門古老、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)理論應(yīng)用到實(shí)踐當(dāng)中去已經(jīng)成為現(xiàn)在眾多學(xué)者研究的主要課題。隨著經(jīng)濟(jì)社會(huì)的快速開展，數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的應(yīng)用越來(lái)越多。數(shù)學(xué)方法對(duì)經(jīng)濟(jì)問題的定性分析和定量分析是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、縝密的、可信的。而微分方程，作為高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，為研究?jī)蓚€(gè)或多個(gè)經(jīng)濟(jì)變量之間的關(guān)系和經(jīng)濟(jì)規(guī)律提供了一種機(jī)理分析的方法。經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一些理論，可以通過微分方程轉(zhuǎn)化為易懂、明了的公式。這就在一定程度上方便了人們對(duì)一些較難經(jīng)濟(jì)理論的理解，而且，數(shù)學(xué)的多樣性，在各領(lǐng)域應(yīng)用的廣泛性也使得這些理論可以解

10、釋更多的經(jīng)濟(jì)問題。1.2 研究現(xiàn)狀國(guó)外對(duì)微分方程在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用的研究有很多。微分方程大致與微積分同時(shí)產(chǎn)生。格蘭數(shù)學(xué)家耐普爾創(chuàng)立對(duì)數(shù)的時(shí)候，就討論過微分方程的近似解。牛頓在建立微積分的同時(shí)，對(duì)簡(jiǎn)單的微分方程用級(jí)數(shù)來(lái)求解。后來(lái)瑞士數(shù)學(xué)家雅各布貝努利、歐拉、法國(guó)數(shù)學(xué)家克雷洛、達(dá)朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論。數(shù)學(xué)家們經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間研究，證明了求微分方程的通解一般是不可能的，逐步放棄了這一奢望，轉(zhuǎn)而研究定解問題、初值問題、邊值問題等。在當(dāng)代，微分方程展示了它強(qiáng)大的生命力與廣泛的應(yīng)用性，在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，它已經(jīng)成為重要的研究工具之一。1.3 研究方法在應(yīng)用微分方程解決經(jīng)濟(jì)問題時(shí)，一般有三

11、個(gè)步驟。第一步是建立模型，即根據(jù)實(shí)際問題建立實(shí)際的微分方程模型?？梢酝ㄟ^對(duì)實(shí)際問題的分析，做出合理的假設(shè)并將其簡(jiǎn)化或抽象成一個(gè)數(shù)學(xué)問題。根據(jù)微分方程構(gòu)造出函數(shù)、自變量及自變量導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系。第二步就是求解建立好的微分方程。第三步是對(duì)得出的結(jié)果進(jìn)展分析。對(duì)常系數(shù)和線性微分方程，往往能得出其解析解或準(zhǔn)確解。這對(duì)解決實(shí)際的經(jīng)濟(jì)問題有很大幫助。對(duì)于一些變系數(shù)及非線性的微分方程，可以通過特定的方法，如歐拉方程和拉普拉斯方程求解。1.4 研究容本文著重分析微分方程在價(jià)風(fēng)格整模型，蛛網(wǎng)模型,logistic模型三個(gè)模型及邊際分析，彈性分析兩個(gè)分析中的應(yīng)用，借這三個(gè)模型，兩個(gè)分析來(lái)說明微分方程在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用十分

12、廣泛。第2章經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用微分方程的解法2.1 微分方程的簡(jiǎn)介含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫做微分方程。未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程叫做常微分方程；未知函數(shù)是多元函數(shù)，從而出現(xiàn)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的方程，叫做偏微分方程。2.1.1方程的階微分方程中所含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程的階。假設(shè)一個(gè)微分方程的階為，則稱這個(gè)微分方程為階微分方程。2.1.2方程的解1、如果將一個(gè)函數(shù)代入微分方程后能使方程兩端恒等，則稱此函數(shù)為微分方程的解。2、求微分方程解的過程，叫做解微分方程。3、假設(shè)微分方程的解中含有任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的階數(shù)一樣，且任意常數(shù)之間不能合并，則稱為通解。當(dāng)通解中的各任意常數(shù)都取特定

13、值時(shí)所得到的解，這是微分方程的特解。通常，特解都是由給定的條件代入通解，確定出任意常數(shù)的特定值后得到的，這里用來(lái)確定特解的條件，叫做初始條件。一般地，一階微分方程的初始條件為：時(shí)，。二階微分方程的初始條件為：當(dāng)時(shí)，。2.2經(jīng)濟(jì)中常用微分方程的解法2.2.1一階微分方程的求解1變量別離方程：形如 1的方程。其中,分別為的連續(xù)函數(shù)。將1式寫成的形式，兩邊同時(shí)積分得到2例：求解方程解 將變量別離，得：兩邊積分，既得因而，通解為這里是任意常數(shù)。齊次微分方程：形如 3的方程。其中為的連續(xù)函數(shù)。作變量變換4即，于是 5將4，5代入3中，原方程變?yōu)檎砗螅玫?6是個(gè)變量別離方程?？砂醋兞縿e離的方法求解得到

14、結(jié)果。例：解 令，以代入。則原方程變?yōu)?，即兩邊同時(shí)積分，得到將代入得到通解一階線性微分方程：稱為一階齊次線性微分方程。其通解為其中是任意常數(shù)。其中，稱為一階非齊次線性微分方程。其通解為。2.2.2二階常系數(shù)線性微分方程的求解1.二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法形如其中為常數(shù)的方程稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程，其求解步驟如下：1求解方程的特征方程；2根據(jù)特征方程根的不同分為如下三種情形：1 當(dāng)時(shí)，兩特征值為，則原方程的通解為；2 當(dāng)時(shí)，特征方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，則原方程的通解為；3 當(dāng)時(shí)，特征方程有兩個(gè)共軛虛根，則原方程的通解為.例1：求的通解.解 方程的特征方程為，特征值為，原方程的通解為.

15、例2：求的通解.解 方程的特征方程為，特征值為，原方程的通解為.例3: 求的通解.解 方程的特征方程為，特征值為，原方程的通解為.2. 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解形如其中為常數(shù)的方程稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，根據(jù)的不同形式可將求特解方程分為如下兩種情況：1情形一：假設(shè)非特征值，令.如：，令；情形二：假設(shè)與一個(gè)特征值一樣，令.如：，令；情形三：假設(shè)與兩個(gè)特征值都一樣，令.如：，令.代入原方程整理后的式子為：，特別地，假設(shè)與一個(gè)特征值一樣，則；假設(shè)與兩個(gè)特征值一樣，則.2 令， 情形一：假設(shè)不是特征值，則令； 情形二：假設(shè)是特征值，則令. 例：設(shè)，求該方程的特解形式. 解 由得特征

16、值，因?yàn)榍覟樘卣髦?，所以該方程的特解形式?第3章三個(gè)經(jīng)濟(jì)模型微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，有關(guān)經(jīng)濟(jì)量的變化、變化率問題常轉(zhuǎn)化為微分方程的定解問題一般應(yīng)先根據(jù)*個(gè)經(jīng)濟(jì)法則或*種經(jīng)濟(jì)假說建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，經(jīng)濟(jì)模型從狀態(tài)上分一般有兩類,靜態(tài)模型和動(dòng)態(tài)模型。靜態(tài)模型涉及均衡狀態(tài),就是一旦到達(dá)均衡狀態(tài)就會(huì)保持住這種狀態(tài)。在動(dòng)態(tài)模型中,時(shí)間或明顯地成為一個(gè)變量,或隱含地成為滯后變量的形式。我們?cè)谶@里討論的是動(dòng)態(tài)模型，建立動(dòng)態(tài)模型的數(shù)學(xué)工具就是微分方程和差分方程。下面就介紹幾個(gè)用微分方程求解的經(jīng)濟(jì)模型。3.1價(jià)風(fēng)格整模型在完全競(jìng)爭(zhēng)的市場(chǎng)條件下，商品的價(jià)格由市場(chǎng)的供求關(guān)系決定，或者說，*商品的供給量及需

17、求量與該商品的價(jià)格有關(guān)，假設(shè)供給函數(shù)與需求函數(shù)分別為其中,均為常數(shù)，且；為實(shí)際價(jià)格滿足均衡狀態(tài)，即供求相等?？傻贸鲆韵玛P(guān)系式：由上式可得靜態(tài)模型的均衡價(jià)格為在市場(chǎng)條件下，假設(shè)商品的供給不能馬上滿足社會(huì)總需求，即超額需求為正，商品的價(jià)格會(huì)上升。假設(shè)超額需求為負(fù)，即社會(huì)上商品的供給供大于求，此時(shí)商品價(jià)格會(huì)下降。因此，商品在市場(chǎng)上的價(jià)格會(huì)隨時(shí)間的變化而變化，且價(jià)格變化率與超額需求成正比。價(jià)格變化率滿足以下的微分方程：化簡(jiǎn),得，其中，它反映價(jià)風(fēng)格整速度。利用上文中的方法求解這個(gè)一階可別離變量的微分方程，有通解。當(dāng)時(shí)，可解出。解得。由可知：，這說明實(shí)際價(jià)格 最終趨向于均衡價(jià)格。3.2蛛網(wǎng)模型蛛網(wǎng)模型考察

18、的是生產(chǎn)周期較長(zhǎng)的商品，它的根本假定是：商品的本期產(chǎn)量決定于前一期的價(jià)格，即供給函數(shù)為，商品本期需求量取決于本期的價(jià)格，即需求函數(shù)為。根據(jù)以上假設(shè)，蛛網(wǎng)模型可表示為： 1 2 3將1，2代入3中得 4第期的產(chǎn)品價(jià)格為：在市場(chǎng)均衡時(shí)，均衡價(jià)格，所以由4可得均衡價(jià)格為：進(jìn)一步得出：分析上式，可知蛛網(wǎng)模型分析了在生產(chǎn)周期較長(zhǎng)時(shí)，即假設(shè)時(shí)商品價(jià)格與產(chǎn)量波動(dòng)的三種情況：(1) ，即時(shí)，說明當(dāng)市場(chǎng)因?yàn)楦蓴_偏離原有的均衡狀態(tài)后，隨著時(shí)間的增加，市場(chǎng)上商品的實(shí)際價(jià)格將以越來(lái)越小的幅度圍繞著均衡價(jià)格波動(dòng)，最后回復(fù)到均衡價(jià)格，形成收斂型蛛網(wǎng)。(2) ,即時(shí)，說明當(dāng)市場(chǎng)因?yàn)楦蓴_偏離原有的均衡狀態(tài)后，隨著時(shí)間的增加，

19、市場(chǎng)上的實(shí)際價(jià)格將以越來(lái)越大的幅度偏離均衡價(jià)格。形成發(fā)散型蛛網(wǎng)。(3) ，則可以求出，為一個(gè)常數(shù)。說明當(dāng)市場(chǎng)因?yàn)楦蓴_偏離原有的均衡狀態(tài)后，實(shí)際產(chǎn)量和實(shí)際價(jià)格適中按同一幅度圍繞均衡點(diǎn)上下波動(dòng)，既不偏離也不靠近。形成封閉型蛛網(wǎng)。通過上述分析我們可以看到，當(dāng)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)趨向不穩(wěn)定時(shí)政府有兩種干預(yù)方法，一種方法是使盡量小，假設(shè)，這樣，不管如何改變，總成立，價(jià)格總能回復(fù)均衡，經(jīng)濟(jì)總是穩(wěn)定的，實(shí)際上這種方法相當(dāng)于政府控制物價(jià)，無(wú)論商品數(shù)量多少，命令價(jià)格不得改變。另一種方法是使盡量大，極端情況是，于是不管供給曲線如何，經(jīng)濟(jì)也總是穩(wěn)定的。這相當(dāng)于控制市場(chǎng)上商品品數(shù)量，當(dāng)供給量少于需求時(shí)，政府從外地收購(gòu)或調(diào)撥，投入

20、市場(chǎng)；當(dāng)供過于求時(shí)，政府收購(gòu)過剩局部，維持商品上市量不變。3.3Logistic模型在一個(gè)確定的環(huán)境考察*一單種群。當(dāng)種群規(guī)模增大，即此種群的密度增大時(shí)，每個(gè)個(gè)體的食物的平均分配量必然減少，從而將使種群規(guī)模的增長(zhǎng)率減少。Verhulst假設(shè)種群規(guī)模的相對(duì)增長(zhǎng)率上是種群規(guī)模的線性減少函數(shù)，從而得到 1方程1稱為L(zhǎng)ogistic方程，其中常數(shù)稱為種群的稟增長(zhǎng)率，它是此種群個(gè)體的平均出生率與平均死亡率之差，反映了物種在的特性；反映了資源豐富的程度。當(dāng)時(shí)，種群的規(guī)模不再增大。因而表示環(huán)境能容納此種群個(gè)體的最大數(shù)量，稱為環(huán)境的容納量。Logistic方程說明：種群規(guī)模的相對(duì)增長(zhǎng)率與當(dāng)時(shí)所剩資源份量是成正

21、比。Logistic模型在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用實(shí)例有：產(chǎn)品推廣模型。設(shè)有*種新產(chǎn)品要推向市場(chǎng), 時(shí)刻的銷量為,時(shí)刻產(chǎn)品銷量的增長(zhǎng)率與成正比。同時(shí), 考慮到產(chǎn)品銷售存在一定的市場(chǎng)容量, 統(tǒng)計(jì)說明,與尚未購(gòu)置該產(chǎn)品的顧客潛在的銷售數(shù)量也成正比。于是有 2其中常數(shù), 為比例系數(shù)。對(duì)2別離變量得 3對(duì)3積分, 可以解得方程稱為。上述例子所建立的模型2就是 Logistic模型。第4章微分方程在經(jīng)濟(jì)的兩個(gè)分析中的應(yīng)用4.1邊際分析邊際分析即分析增加一單位用于增加的比率。如：邊際本錢就是指每一單位新增生產(chǎn)的產(chǎn)品或購(gòu)置的產(chǎn)品帶來(lái)的總本錢的增量。如果設(shè)本錢函數(shù)為其中為總本錢，為產(chǎn)品數(shù)量。則邊際本錢為。與之類似的還有邊際消費(fèi)，邊際效應(yīng)，邊際收益等。其中，設(shè)儲(chǔ)蓄函數(shù)為，消費(fèi)函數(shù)為，因?yàn)橄M(fèi)函數(shù)與儲(chǔ)蓄函數(shù)互為補(bǔ)數(shù)，即。則邊際儲(chǔ)蓄傾向。下面，通過舉例來(lái)說明：例： 如果人們收入每增加一個(gè)單位,儲(chǔ)蓄將增加。當(dāng)收入為0時(shí)