高中數(shù)學(xué)學(xué)科命題典型案例

1、附件2 NO：2014年溫州市高中各學(xué)科命題競賽報(bào) 名 表 學(xué)校（全稱）： 楠 江 中 學(xué) 學(xué)科： 數(shù) 學(xué) 命題組成員： 趙萬雙 周東欣 王達(dá)成 朱城鑫 鄭曉曉 主命題者手機(jī)：1 3 7 8 0 1 6 3 1 6 62014年溫州市高中命題比賽數(shù)學(xué)試卷本卷有選擇題2題，填空題2題，解答題3題，滿分100分.一、選擇題：共2小題，每小題10分. 1.等腰中，M為所在平面內(nèi)的任一點(diǎn)，且，求的最大值是（ ） 解析：根據(jù)條件可確定建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，,即M在圓心，半徑的圓上 答案：C 考核目標(biāo)和命題意圖：利用平面向量幾何意義，把問題引入直角坐標(biāo)系，用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決，使得一些抽象的向量關(guān)

2、系用代數(shù)關(guān)系表示，達(dá)到“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化；體現(xiàn)思維想象能力與轉(zhuǎn)化化歸思想，較好考查學(xué)生的各種數(shù)學(xué)能力。題目來源：原創(chuàng)題難度系數(shù)：0.6. 2.已知函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為( )A. B. C. D. 解析：作出函數(shù)的圖象,直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)或，解得：或或，本題答案： B 考核目標(biāo)和命題意圖：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)、不等式與方程、圖象等基礎(chǔ)知識，以及轉(zhuǎn)化與劃歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，重點(diǎn)考查利用數(shù)形結(jié)合研究函數(shù)的零點(diǎn)、不等式與方程等問題.題目來源：原創(chuàng)題難度系數(shù)：0.55 二、填空題：共2小題，每小題10分. 3.對于，當(dāng)非零實(shí)數(shù)、滿足，且使最大時(shí)

3、，的最小值為_.解析：方法1：柯西不等式由柯西不等式得：，所以， ，當(dāng)時(shí)， 此時(shí)，所以=. 方法2：換元法 設(shè)，則，所以，即的最大值是，此時(shí)，所以，所以=.考核目標(biāo)和命題意圖：本題主要考查不等式、柯西不等式、方程等基礎(chǔ)知識，以及轉(zhuǎn)化與劃歸、不等式與方程等思想方法，重點(diǎn)考查利用柯西不等式研究不等式的最值問題.題目來源：改編題原題：(2013山東高考理科第10題)設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則當(dāng)取最大值時(shí)，的最最大值為( )A. 0 B. 1 C. D. 3難度系數(shù)：0.554.已知雙曲線與圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為，、為的左右焦點(diǎn)，若的內(nèi)切圓的圓心為點(diǎn)，當(dāng)圓的半徑最大值時(shí)，則圓心的坐標(biāo)為_.解析：設(shè)，則，所以，解

4、得：，所以=，內(nèi)切圓半徑，設(shè)， 則，當(dāng)半徑取到最大時(shí)，由雙曲線可得：設(shè)圓圓心坐標(biāo)為，因?yàn)椋?2，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是. 考核目標(biāo)和命題意圖：本題主要考查雙曲線定義與性質(zhì)、圓的方程與性質(zhì)，圖象等基礎(chǔ)知識，考查轉(zhuǎn)化與劃歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，重點(diǎn)考查利用圓錐曲線的定義、性質(zhì)，運(yùn)算求解能力，研究函數(shù)的最值問題.題目來源：改編題原題：已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過作圓的切線分別交雙曲線的左、右兩支于點(diǎn)，且,則雙曲線的漸近線方程為（ ） A. B. C. D. 難度系數(shù)：0.55 三、解答題：共3小題，每小題20分. 5.已知數(shù)列的前項(xiàng)和,數(shù)列滿足 （1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的

5、通項(xiàng)公式。（2）令，設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和為，若不等式對一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍？ 參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)： 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，得.1分當(dāng)時(shí)，即.3分 故當(dāng)時(shí)，.5分 而.6分 是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.8分 ，.10分 （2）.11分 .13分 恒成立，恒成立， 即.16分 方法1：，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號成立，實(shí)際上，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.20分 方法2:令，則 ，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 在上先減后增，故 ，.20分 考核目標(biāo)和命題意圖:本題主要考察數(shù)列中、等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)的求法、等比數(shù)列前n項(xiàng)求和及對數(shù)的運(yùn)算等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考察運(yùn)算求解能力；在條件中搭建好新數(shù)列，可以降低試題的難度。其中數(shù)列與不等式是數(shù)

6、學(xué)高考的重要考查內(nèi)容，含參數(shù)的問題是近幾年高考的一個(gè)熱門題型，也是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)。它以“參數(shù)處理”為主要特征，往往與函數(shù)的單調(diào)性、最值、基本不等式等性質(zhì)有關(guān)，求解含參問題的一種基本解題策略是合理地將參數(shù)分離出來。 題目來源：改編題 原題：已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足關(guān)系式 （1）令，求證：數(shù)列是等差數(shù)列； （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （3）對于數(shù)列，若存在常數(shù)M0，對任意的，恒有成立，稱數(shù)列為“差絕對和有界數(shù)列”，證明數(shù)列為“差絕對和有界數(shù)列”。 第一次改編：已知數(shù)列的前項(xiàng)和,數(shù)列滿足 （1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 （2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求滿足的的最大值。 預(yù)設(shè)試題難度

7、：0.60 6.如圖，菱形ABCD的邊長為2，且，等腰 所在平面垂直于平面ABCD. （1）求證：； （2）若面PDC與面PAB所成的二面角大小為，求直線PC與面PAB所成角的正弦值. 命題答案及解析：取DC的中點(diǎn)M，連接， （1）是等腰，在中，易得 ，又 .8分（2）設(shè)面PAB與面ABCD所成二面角大小為，而面PDC與面PAB所成的二面角大小為，知=，則.11分又,就是面PAB與面ABCD所成二面角的一個(gè)平面角，即又，（同時(shí)可知PM,AM,DC三邊兩兩垂直）在中，.14分 以M為原點(diǎn)，分別以MA、MC、MP所在的直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系 P(0,0,1),C(0,1,0)知 A

8、(,0,0),B(,2,0) )知設(shè)是面PAB的一個(gè)法向量，則，取18分而直線PC與面PAB所成角與互余直線PC與面PAB所成角的正弦值為20分考核目標(biāo)和命題意圖：解決線線垂直問題，需要構(gòu)造線面垂直；利用空間向量解決線面角；體現(xiàn)空間想象能力與轉(zhuǎn)化化歸思想，較好考查學(xué)生的各種數(shù)學(xué)能力。題目來源：原創(chuàng)題難度系數(shù)：0.6. 7.在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知為橢圓的左、右焦點(diǎn)，離心率（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）動(dòng)直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，且交圓于、兩點(diǎn)。設(shè)分別為的重心，直線、的斜率為、，是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求直線的方程；若不存在，說明理由。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)：解：（1）4分（2）則：6分消得，8分設(shè)由韋達(dá)定理得：.9分 .12分 .13分 .14分 .16分 .17分要使需滿足 .19分解得：，故不存在點(diǎn)，使得 .20分考核目標(biāo)和命題意圖：本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓、圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考察解析幾何的基本思想和綜合解題能力。題目來源：原創(chuàng)題解析幾何基本思想是用代數(shù)的手段