金融工程學(xué)課件：10-1 衍生產(chǎn)品定價

1、第十章 衍生產(chǎn)品定價第一節(jié) 金融工程定價方法一、無套利定價法 1.無套利定價概念 如果市場是有效率的話，市場價格必然由于套利行為作出相應(yīng)的調(diào)整，重新回到均衡的狀態(tài)。這就是無套利的定價原則。 根據(jù)這個原則，在有效的金融市場上，任何一項金融資產(chǎn)的定價，應(yīng)當(dāng)使得利用該項金融資產(chǎn)進(jìn)行套利的機(jī)會不復(fù)存在。 1例1假設(shè) 6個月即期年利率為10%（連續(xù)復(fù)利，下同）， 1年期的即期利率是12%。 如果有人把今后6個月到1年期的遠(yuǎn)期利率定為11%，試問這樣的市場行情能否產(chǎn)生套利活動？答案是肯定的。2套利過程是： 第一步，交易者按10%的利率借入一筆6個月資金（假設(shè)1000萬元）。并將這筆資金按12%的利率貸出1

2、年期。 第二步，簽訂一份協(xié)議（遠(yuǎn)期利率協(xié)議），該協(xié)議規(guī)定該交易者可以按11%的價格6個月后從市場借入資金1051萬元（等于1000e0.100.5），用于償還上一步的借款1000萬元本息。 第三步，1年后收回1年期貸款，得本息1127萬元（等于1000e0.121），并用1110萬元（等于1051e0.110.5）償還遠(yuǎn)期利率協(xié)議半年期的債務(wù)后，交易者凈賺17萬元（1127萬元-1110萬元）。 3：10：協(xié)議6個月后以11的利率借入資金1051萬，到期歸還 1110萬1051e0.110.5：11：以10的利率借入6個月資金1000萬，到期歸還 1051萬1000e0.100.5：12：將借

3、入的資金以12利率貸出資金1000萬一年，到期收回 1127萬1000e0.121借1000借遠(yuǎn)1051還1051貸1000還1110收11271051無套利均衡：13.33%4 2.無套利定價方法的主要特征： 無套利定價原則首先要求套利活動在無風(fēng)險的狀態(tài)下進(jìn)行。 無套利定價的關(guān)鍵技術(shù)是所謂“復(fù)制”技術(shù)，即用一組證券來復(fù)制另外一組證券。 無風(fēng)險的套利活動從即時現(xiàn)金流看是零投資組合 （自融資組合）。3.無套利定價方式(1) 用金融工具模仿定價 即通過構(gòu)建一個金融工具組合使之與被模仿的金融工具具有相同或相似的盈虧狀況。 5例如，我們可以通過買入一份看漲期權(quán)同時賣出一份看跌期權(quán)來模仿股票的盈虧。6(

4、2) 用金融工具的合成定價金融工具的合成是指通過構(gòu)建一個金融工具組合使之與被模仿的金融工具具有相同價值。例如：合成股票的構(gòu)成是：一個看漲期權(quán)的多頭，一個看跌期權(quán)的空頭和無風(fēng)險債券。 SS= max(0,ST-X)-max(0,X- ST)+X= ST-X+X= ST S = c- p+Xe-r(T-t) 7例2 如何將無套利定價法運(yùn)用到期權(quán)定價中 ？假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價為10元，我們知道在3個月后，該股票價格要么是11元，要么是9元。假設(shè)現(xiàn)在的無風(fēng)險年利率等于10%，現(xiàn)在我們要找出一份3個月期協(xié)議價格為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價值。 8為了找出該期權(quán)的價值， 可構(gòu)建一個組合

5、 一單位看漲期權(quán)空頭 N單位的標(biāo)的股票多頭為了使該組合在期權(quán)到期時無風(fēng)險，即無論3個月后股票是上漲還是下跌，其組合價值都相同。N必須滿足下式： 11 N （1110.5）=9 N 0N=0.25即該組合無套利的均衡價值為2.25(90.25)9該無風(fēng)險組合的現(xiàn)值應(yīng)為：由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市場為10元，因此： 期權(quán)定價為：10General case假設(shè)一個無紅利支付的股票，當(dāng)前時刻t股票價格為 S，基于該股票的某個期權(quán)的價值是 f ，期權(quán)的有效期是 T，在這個有效期內(nèi)，股票價格或者上升到 Su，或者下降到 Sd。當(dāng)股票價格上升到 Su 時，我們假設(shè)

6、期權(quán)的收益為 fu，如果股票的價格下降到 Sd 時，期權(quán)的收益為 fd。 11SSuSdffufd12首先，構(gòu)造一個由N股股票多頭和一個期權(quán)空頭組成的證券組合，并計算出該組合為無風(fēng)險時的N值。無風(fēng)險證券組合應(yīng)滿足 即有13如果無風(fēng)險利率用 r 表示，則該無風(fēng)險組合的現(xiàn)值一定是 而構(gòu)造該組合的成本是 SNf ，在沒有套利機(jī)會的條件下，兩者必須相等。即 再將 N 代入上式，容易化簡得出：所以14二、風(fēng)險中性定價法 1.風(fēng)險中性定價法概念 在對衍生證券定價時，我們可以假定所有投資者都是風(fēng)險中性的，此時所有證券的預(yù)期收益率都可以等于無風(fēng)險利率r，所有現(xiàn)金流量都可以通過無風(fēng)險利率進(jìn)行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。這就是

7、風(fēng)險中性定價原理。 風(fēng)險中性假定僅僅是為了定價方便而作出的人為假定，但通過這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風(fēng)險中性情況，也適用于投資者厭惡風(fēng)險的所有情況。 152. 例 假設(shè)一種不支付紅利股票，目前的市價為10元，我們知道在3個月后，該股票價格要么是11元，要么是9元。假設(shè)現(xiàn)在的無風(fēng)險年利率等于10%，現(xiàn)在我們要找出一份3個月期協(xié)議價格為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價值。 16在風(fēng)險中性世界中，我們假定該股票上升的概率為P，下跌的概率為1-P。 P=0.6266這樣，根據(jù)風(fēng)險中性定價原理，我們就可以得出該期權(quán)的價值： 股票現(xiàn)金流期望期權(quán)現(xiàn)金流期望173.風(fēng)險中性定價的思路假定風(fēng)險中性世

8、界中股票的上升概率為P，由于股票未來期望值按無風(fēng)險利率貼現(xiàn)的現(xiàn)值必須等于該股票目前的價格，因此該概率可通過下式求得： 求得 同理，期權(quán)未來期望值按無風(fēng)險利率貼現(xiàn)的現(xiàn)值必須等于該期權(quán)目前的價格18三、狀態(tài)價格定價技術(shù)狀態(tài)價格指的是在特定的狀態(tài)發(fā)生時回報為1，否則回報為0的資產(chǎn)在當(dāng)前的價格。如果未來時刻有N種狀態(tài)，而這N種狀態(tài)的價格我們都知道，那么我們只要知道某種資產(chǎn)在未來各種狀態(tài)下的回報狀況以及市場無風(fēng)險利率水平，我們就可以對該資產(chǎn)進(jìn)行定價，這就是狀態(tài)價格定價技術(shù)。 19例A是有風(fēng)險證券，其目前的價格是PA，一年后其價格要么上升到uPA，要么下降到dPA。這就是市場的兩種狀態(tài)：上升狀態(tài)（概率是q

9、）和下降狀態(tài)（概率是1-q）。構(gòu)造兩個基本證券：基本證券1：價格上升時價值為1，下跌時價值為0；基本證券2：價格上升時價值為0，下跌時價值為1?；咀C券1現(xiàn)在的市場價格是u，基本證券2的價格是d。 20uPAdPAPAq1q21 購買uPA份基本證券1和dPA份基本證券2 組成一個假想的證券組合。該組合在 T 時刻無論發(fā)生什么情況，都能夠產(chǎn)生和證券A一樣的現(xiàn)金流。則必有假想證券組合與證券A現(xiàn)在的市場價格應(yīng)該相同: 又因為由單位基本證券組成的組合在 T 時刻無論出現(xiàn)什么狀態(tài)，其回報都是1元。這是無風(fēng)險的投資組合，其收益率應(yīng)該是無風(fēng)險收益率r 或22 所以只要有具備上述性質(zhì)的一對基本證券存在，我們

10、就能夠通過復(fù)制技術(shù)，為金融市場上的任何有價證券定價。關(guān)于有價證券的價格上升的概率p，它依賴于人們作出的主觀判斷，但是人們對p認(rèn)識的分歧不影響有價證券定價的結(jié)論。無套利分析（包括其應(yīng)用狀態(tài)價格定價技術(shù)）的過程與結(jié)果同市場參與者的風(fēng)險偏好無關(guān)。 23狀態(tài)價格定價法的應(yīng)用 假設(shè)某股票符合我們上面提到的兩種市場狀態(tài)，即期初價值是S0，期末價值是S1，這里S1只可能取兩個值： S1 = Su =uS0, u1, S1= Sd = dS0, d1。 我們現(xiàn)在想要確定的是依附于該股票的看漲期權(quán)的價值是多少？ 24 我們構(gòu)造這樣一個投資組合，以便使它與看漲期權(quán)的價值特征完全相同：以無風(fēng)險利率r借入一部分資金B(yǎng)（相當(dāng)于做空無風(fēng)險債券），同時在股票市場上購入N股標(biāo)的股票。該組合的成本是 N S0-B到了期末，該組合的價值 VN S1-RB R是利率因子對應(yīng)于S1的兩種可能，V有兩個取值： 如果S1=Su, 則 V = Vu = N Su - RB， 如果S1=Sd, 則 V = Vd = N Sd - RB。 25由于期初的組合應(yīng)該等于看漲期權(quán)的價值，即有 把N和B 代入本式中，得到看漲期權(quán)的價