3.2.1復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算及其幾何意義 (3)

1、數(shù)學(xué)不是“數(shù)”學(xué)話說無理數(shù)“數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)量關(guān)系 HYPERLINK /s?q=%E5%92%8C%E7%A9%BA%E9%97%B4&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 和空間形式的科學(xué)”的說法在中國曾經(jīng)十分流行，這可能與恩格斯 HYPERLINK /s?q=%E8%91%97%E4%BD%9C&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 著作的長期影響有關(guān)。對(duì)于數(shù)學(xué)，今天人們更加認(rèn)同于如下的說法： “數(shù)學(xué)是一個(gè)完全自成體系的知識(shí) HYPERLIN

2、K /s?q=%E9%A2%86%E5%9F%9F&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 領(lǐng)域數(shù)學(xué)僅僅討論它本身想象中的實(shí)體及關(guān)系”（科學(xué)技術(shù)百科全書 HYPERLINK /s?q=%E9%BA%A6%E6%A0%BC%E5%8A%B3-%E5%B8%8C%E5%B0%94&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 麥格勞-希爾圖書公司第1卷數(shù)學(xué)，科學(xué)出版社1980，235-236頁）； “到1900年，數(shù)學(xué)已經(jīng)從實(shí)在性中分裂出來了；它已經(jīng)明顯地而且無

3、可挽回地失去了它對(duì) HYPERLINK /s?q=%E8%87%AA%E7%84%B6%E7%95%8C&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 自然界 HYPERLINK /s?q=%E7%9C%9F%E7%90%86&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 真理的所有權(quán)，因而變成了一些沒有意義的東西的任意公理的必然推論的隨從了”（ 克萊因古今數(shù)學(xué)思想第4冊(cè)，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社1979，111頁）。 照此說法，數(shù)學(xué)就不是“數(shù)”學(xué)了。然而，數(shù)學(xué)與生俱來

4、的強(qiáng)大應(yīng)用性并不因?yàn)椤皵?shù)學(xué)已經(jīng)從實(shí)在性中分裂出來了”而有稍微的減弱。既是抽象的又有實(shí)在的一面，人們逐漸形成了對(duì)數(shù)學(xué)的主流看法數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀“一方面是其內(nèi)在的統(tǒng)一性，另一方面是外界應(yīng)用的更高的自覺性”，數(shù)學(xué)的兩種趨勢(shì)是“從外部尋求新問題和在內(nèi)部追求統(tǒng)一”（美國國家研究委員會(huì)振興美國數(shù)學(xué)90年代的 HYPERLINK /s?q=%E8%AE%A1%E5%88%92&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 計(jì)劃， HYPERLINK /s?q=%E5%8F%B6%E5%85%B6%E5%AD%9D&ie=utf-8&src=inte

5、rnal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 葉其孝等譯，世界圖書出版公司1993），而不再局限于給數(shù)學(xué)下一個(gè)定義。 畢達(dá)哥拉斯 無理數(shù)是一個(gè)能恰好地描述數(shù)學(xué) HYPERLINK /s?q=%E7%89%B9%E5%BE%81&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 特征的案例。從 HYPERLINK /s?q=%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%8F%91%E5%B1%95%E5%8F%B2&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t

6、 /q/_blank 數(shù)學(xué)發(fā)展史看， HYPERLINK /s?q=%E4%BA%BA%E7%B1%BB&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 人類對(duì)無理數(shù)的發(fā)蒙始于古希臘畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras，公元前582-497）學(xué)派，但二千四百年后才產(chǎn)生包括無理數(shù)在內(nèi)的實(shí)數(shù)嚴(yán)格定義；從當(dāng)今教育的知識(shí)體系看，學(xué)生在初中階段開始接觸無理數(shù)，直到大學(xué)畢業(yè)卻仍然不明白無理數(shù)的 HYPERLINK /s?q=%E5%AE%9E%E8%B4%A8&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn

7、 t /q/_blank 實(shí)質(zhì) HYPERLINK /s?q=%E5%90%AB%E4%B9%89&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 含義。 HYPERLINK /s?q=%E5%8E%86%E5%8F%B2%E4%B8%8E%E7%8E%B0%E5%AE%9E&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 歷史與現(xiàn)實(shí)兩者的契合正好說明無理數(shù)的兩面特征，應(yīng)用性使得它是常見的 HYPERLINK /s?q=%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%B7

8、%A5%E5%85%B7&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 數(shù)學(xué)工具之一，而抽象性又使所有非數(shù)學(xué)工作者不能真正認(rèn)識(shí)它。 克羅內(nèi)克 數(shù)系的擴(kuò)張過程以自然數(shù)為 HYPERLINK /s?q=%E5%9F%BA%E7%A1%80&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 基礎(chǔ)，德國數(shù)學(xué)家克羅內(nèi)克（Kronecker，1823-1891）說“上帝創(chuàng)造了 HYPERLINK /s?q=%E6%95%B4%E6%95%B0&ie=utf-8&src=inter

9、nal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 整數(shù)，其它一切都是人造的”（克萊因古今數(shù)學(xué)思想第4冊(cè)，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社1979，41頁）。零與自然數(shù)的產(chǎn)生源于人類在生存活動(dòng)中的原始沖動(dòng)，這一推測(cè)想來不會(huì) HYPERLINK /s?q=%E6%9C%89%E9%97%AE%E9%A2%98&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 有問題，人的雙手有十指與 HYPERLINK /s?q=%E5%8D%81%E8%BF%9B%E5%88%B6&ie=utf-8&src=internal_wenda_

10、recommend_textn t /q/_blank 十進(jìn)制的廣泛使用也當(dāng)然有密切關(guān)系； 類似于 2+3=5 的事實(shí)產(chǎn)生了加法的 HYPERLINK /s?q=%E6%A6%82%E5%BF%B5&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 概念，然而2加上幾會(huì)等于1呢？由此需要定義負(fù)數(shù)：一個(gè)數(shù)的“負(fù)數(shù)”即它與該數(shù)之和等于0；進(jìn)而定義減法。產(chǎn)生零、負(fù)自然數(shù)，合稱整數(shù)； 加法的重復(fù)進(jìn)行產(chǎn)生了 HYPERLINK /s?q=%E4%B9%98%E6%B3%95&ie=utf-8&src=internal_wenda_recomm

11、end_textn t /q/_blank 乘法，23=6 就是三個(gè)2相加。然而2乘以幾會(huì)等于1呢？由此需要定義倒數(shù)：一個(gè)數(shù)的“倒數(shù)”即它與該數(shù)之積等于1，進(jìn)而定義 HYPERLINK /s?q=%E9%99%A4%E6%B3%95&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 除法，產(chǎn)生既約分?jǐn)?shù)，合稱有理數(shù)。 以上過程不論用抽象的 HYPERLINK /s?q=%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%AF%AD%E8%A8%80&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /

12、q/_blank 數(shù)學(xué)語言還是通俗語言來描述都容易為人接受，可以說由于計(jì)數(shù)、測(cè)量的需要而擴(kuò)大了數(shù)系。 最早出現(xiàn)的無理數(shù)也與計(jì)數(shù)、測(cè)量有關(guān)。乘法的重復(fù)進(jìn)行產(chǎn)生了 HYPERLINK /s?q=%E4%B9%98%E6%96%B9&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 乘方，就是三個(gè)2相乘，然而哪個(gè)數(shù)的平方會(huì)等于2呢？畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出了這個(gè)問題， HYPERLINK /s?q=%E8%BE%B9%E9%95%BF&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank

13、 邊長為1的 HYPERLINK /s?q=%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 正方形的 HYPERLINK /s?q=%E5%AF%B9%E8%A7%92%E7%BA%BF&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 對(duì)角線的長度不是既約分?jǐn)?shù)，后來用表示對(duì)角線的長度，無理數(shù)的概念初步形成.雖然開方運(yùn)算可能產(chǎn)生無理數(shù)，但仿照上述辦法來擴(kuò)張數(shù)系會(huì)遇到困難。例如僅用開方定義新的數(shù)例如，（后來被稱為初等

14、無理數(shù)）是不夠的；(1+) 就不能通過對(duì)某有理數(shù)開方而得，那么(1+)是什么？試作一比較，任何有理數(shù)總可以乘以某整數(shù)而還原成整數(shù)，但(1+)的任何次乘方卻不可能得到有理數(shù)。 阿貝爾 考慮到此，容易想到的辦法是用有理數(shù)的 HYPERLINK /s?q=%E5%8A%A0%E5%87%8F%E4%B9%98%E9%99%A4&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 加減乘除、乘方、開方定義新的數(shù)，后來被稱為復(fù)合無理數(shù)，顯然它包含了初等無理數(shù)。畢竟擴(kuò)張數(shù)系的動(dòng)力之一是使 HYPERLINK /s?q=%E4%BB%A3%E6%9

15、5%B0%E6%96%B9%E7%A8%8B&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 代數(shù)方程有解，例如(1+)的產(chǎn)生使得方程有解。 但又有新的問題，挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾（Abel，1802-1829）于1825年證明“一般五次方程不能只用根式求解”，緊接著法國數(shù)學(xué)家伽羅瓦（Galois，1811-1832）解決“方程須有何種 HYPERLINK /s?q=%E6%80%A7%E8%B4%A8&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 性質(zhì)才可求根式解”的問

16、題，復(fù)合無理數(shù)立即黯然失色。 伽羅瓦 數(shù)學(xué)家頑強(qiáng)地推進(jìn)，索性將新的數(shù)系定義為所有有理系數(shù)方程的根（后來稱為代數(shù)數(shù)），有理數(shù)、初等無理數(shù)、復(fù)合無理數(shù)都被包括在內(nèi)。數(shù)系的擴(kuò)張本來是從現(xiàn)實(shí)需要出發(fā)的問題，但現(xiàn)在已經(jīng)開始變得抽象了，因?yàn)榇鷶?shù)數(shù)中那些不是有理數(shù)、初等無理數(shù)、復(fù)合無理數(shù)的“數(shù)”究竟什么樣子？這不僅不能回答，似乎也并不重要，重要的是這樣的“數(shù)”確實(shí)存在。 不得不面對(duì)的煩惱是，一個(gè)代數(shù)數(shù)的描述與運(yùn)算都必須通過相關(guān)的代數(shù)方程的系數(shù)，而且代數(shù)方程的根通常不是唯一的。 徹底摧毀這一定義 HYPERLINK /s?q=%E6%96%B9%E5%BC%8F&ie=utf-8&src=internal_w

17、enda_recommend_textn t /q/_blank 方式的是1844年柳維爾（Liouville，1809-1882）證明非代數(shù)數(shù)的存在。早在1830年代，e=1+(1/1!)+(1+2!)+.+(1/n!)+.與 HYPERLINK /s?q=%E5%9C%86%E5%91%A8%E7%8E%87&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 圓周率被證明是無理數(shù)，在柳維爾的 HYPERLINK /s?q=%E7%BB%93%E8%AE%BA&ie=utf-8&src=internal_wenda_recomme

18、nd_textn t /q/_blank 結(jié)論宣布后不久， HYPERLINK /s?q=1873%E5%B9%B4&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 1873年、 HYPERLINK /s?q=1883%E5%B9%B4&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 1883年數(shù)學(xué)家 HYPERLINK /s?q=%E5%9F%83%E5%B0%94%E7%B1%B3%E7%89%B9&ie=utf-8&src=internal_wenda_reco

19、mmend_textn t /q/_blank 埃爾米特(Hermite，1822-1901)與林德曼（Lindemann，1852-1939）先后證明e,不是代數(shù)數(shù)。 由于有理數(shù)可表示成 HYPERLINK /s?q=%E6%9C%89%E9%99%90%E5%B0%8F%E6%95%B0&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 有限小數(shù)或無限 HYPERLINK /s?q=%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E5%B0%8F%E6%95%B0&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend

20、_textn t /q/_blank 循環(huán)小數(shù)，人們想到用“無限不循環(huán)小數(shù)”來定義無理數(shù)，這也是直至 HYPERLINK /s?q=19%E4%B8%96%E7%BA%AA&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 19世紀(jì) HYPERLINK /s?q=%E4%B8%AD%E5%8F%B6&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 中葉以前的實(shí)際做法。它看起來很通俗，不明白無理數(shù)奧妙的人大體也是這樣理解無理數(shù)的。但這樣做遇到的困難更大：關(guān)鍵的問題是你無法

21、判斷一個(gè)數(shù)是無限不循環(huán)的，也不能將兩個(gè)無限不循環(huán)的數(shù)進(jìn)行加減乘除。 不循環(huán)的 HYPERLINK /s?q=%E6%97%A0%E9%99%90%E5%B0%8F%E6%95%B0&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 無限小數(shù)當(dāng)然是難以認(rèn)識(shí)，如果我們翻用一下列夫托爾斯泰著名小說安娜卡列尼娜中的名句“幸福的家庭都是幸福的；不幸的家庭各有各的不幸”，那就是：循環(huán)的小數(shù)都是一樣的循環(huán)，不循環(huán)的小數(shù)各有各的不循環(huán)！16世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家施蒂費(fèi)爾（Stifel，約1486-1567）說“當(dāng)我們想把它們數(shù)出來（用十進(jìn)小數(shù)表示）時(shí)，就發(fā)

22、現(xiàn)它們無止境地往遠(yuǎn)處跑，因而沒有一個(gè)無理數(shù)實(shí)質(zhì)上是能被我們準(zhǔn)確掌握住的。而本身缺乏準(zhǔn)確性的東西就不能稱其為真正的數(shù)。所以，正如 HYPERLINK /s?q=%E6%97%A0%E7%A9%B7%E5%A4%A7&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 無窮大的數(shù)并非數(shù)一樣，無理數(shù)也不是真正的數(shù)，而是隱藏在一種無窮迷霧后面的東西”（克萊因古今數(shù)學(xué)思想第1冊(cè)，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社1979， 292頁） 克萊因指出“所有在Weierstrass（德國數(shù)學(xué)家外爾斯特拉斯1815-1897引注）之前引進(jìn)無理數(shù)的人都采用了這樣的概念，

23、即無理數(shù)是一個(gè)以有理數(shù)為項(xiàng)的 HYPERLINK /s?q=%E6%97%A0%E7%A9%B7%E5%BA%8F%E5%88%97&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 無窮序列的極限。但是這個(gè)極限，假如是無理數(shù)，在 HYPERLINK /s?q=%E9%80%BB%E8%BE%91&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 邏輯上是不存在的，除非無理數(shù)已經(jīng)有了定義”（克萊因古今數(shù)學(xué)思想第4冊(cè)，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社1979，46頁）。 一本著名的數(shù)學(xué)教

24、材將“無限不循環(huán)小數(shù)”稱為“中學(xué)生的實(shí)數(shù)”，“用這個(gè)定義，實(shí)數(shù)是非常具體的對(duì)象，但在定義加法和乘法時(shí)所包含的困難是不容忽視的”，在介紹了加法定義的一種方式及指出乘法可類似處理后說“不過，乘法 HYPERLINK /s?q=%E9%80%86%E5%85%83%E7%B4%A0&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 逆元素的存在將又一次是最困難的”并就此打?。ㄋ蛊ね呖宋⒎e分下冊(cè)，張毓賢等譯，人民教育出版社1981，695頁）。 根據(jù)施蒂費(fèi)爾的說法我們只能說2不是有理數(shù)，而不能說它是無理數(shù)，因?yàn)槲覀冞€沒有定義什么是“無理數(shù)”

25、。前述古希臘人關(guān)于2無理性的證明應(yīng)當(dāng)是“不存在這樣的有理數(shù)使其平方等于2”。由于除了有理數(shù)就沒有數(shù)，2根本就不是“數(shù)”。 現(xiàn)在可以看到無理數(shù)問題的困難所在：從開方運(yùn)算的 HYPERLINK /s?q=%E9%80%86%E8%BF%90%E7%AE%97&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 逆運(yùn)算與確定邊長為1的正方形的對(duì)角線長度的需要，都應(yīng)當(dāng)在有理數(shù)的基礎(chǔ)上再擴(kuò)大，這與以往從自然數(shù)擴(kuò)大到整數(shù)、從整數(shù)擴(kuò)大到有理數(shù)沒有什么兩樣。然而在具體做法上，利用運(yùn)算的逆向進(jìn)行或通過對(duì)有理數(shù)進(jìn)行 HYPERLINK /s?q=%E4%

26、BB%A3%E6%95%B0&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 代數(shù)運(yùn)算或用代數(shù)方程的根而產(chǎn)生的“數(shù)”是不完全的，“無限不循環(huán)小數(shù)”的說法又不合理不嚴(yán)格。這一困難使 HYPERLINK /s?q=%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%8F%B2&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 數(shù)學(xué)史上數(shù)系的擴(kuò)張停滯了兩千多年。 進(jìn)一步擴(kuò)張數(shù)系的必要性是不成問題的，在很長 HYPERLINK /s?q=%E6%97%B6%E9%97%B4%E9%87

27、%8C&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 時(shí)間里人們將無理數(shù)理解為其 HYPERLINK /s?q=%E8%BF%91%E4%BC%BC%E5%80%BC&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 近似值，從實(shí)用的角度來說，一個(gè)沒有嚴(yán)格定義的東西難道就不能存在、不能使用嗎？但是數(shù)學(xué)奉行嚴(yán)密邏輯的 HYPERLINK /s?q=%E7%90%86%E5%BF%B5&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn

28、 t /q/_blank 理念自歐幾里德幾何原本以來就堅(jiān)定不移，不以現(xiàn)實(shí)為 HYPERLINK /s?q=%E8%83%8C%E6%99%AF&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 背景的非歐幾何的產(chǎn)生（18世紀(jì)）加深了數(shù)學(xué)家對(duì)于擺脫實(shí)在性的趨同。 從整數(shù)產(chǎn)生有理數(shù)曾經(jīng)主要是根據(jù)測(cè)量、計(jì)數(shù)的需要，但現(xiàn)在要回到始點(diǎn)從頭做起。例如純粹從數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在動(dòng)力與邏輯展開來定義有理數(shù)： 設(shè)p,q是整數(shù)，則數(shù)偶(p,q)稱為有理數(shù)，規(guī)定兩個(gè)有理數(shù)的乘法、加法 HYPERLINK /s?q=%E8%A7%84%E5%88%99&ie=u

29、tf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 規(guī)則，證明它們符合 HYPERLINK /s?q=%E4%BA%A4%E6%8D%A2%E5%BE%8B&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 交換律、 HYPERLINK /s?q=%E7%BB%93%E5%90%88%E5%BE%8B&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 結(jié)合律等等。這是一個(gè)用以參考的范式：將某種“對(duì)象”定義為實(shí)數(shù)，其目標(biāo)與

30、要求應(yīng)當(dāng)是能包含以上已有的所有對(duì)象，有通常的加法乘法且符合運(yùn)算規(guī)則。 以下介紹的兩種定義中的“數(shù)”僅指有理數(shù)，而實(shí)數(shù)是用“數(shù)”按特定方式構(gòu)成的那樣一些“對(duì)象”或“東西”。 戴德金（Dadekind，1831-1916）定義：一個(gè)實(shí)數(shù)定義為有理數(shù)的一個(gè)集合，這個(gè)集合是 HYPERLINK /s?q=%E6%95%B0%E8%BD%B4&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 數(shù)軸上所有有理數(shù)從某處分開的左邊“一半”（數(shù)學(xué)術(shù)語為“分割”），且沒有最大的數(shù)。 按戴德金的定義，實(shí)數(shù)集合的每個(gè)元是有理數(shù)集合的一個(gè) HYPERLINK

31、 /s?q=%E5%AD%90%E9%9B%86&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 子集，一個(gè)實(shí)數(shù)是有理數(shù)的一個(gè)集合。例如所有小于2的有理數(shù)集合確定一個(gè)實(shí)數(shù)，它就是2；所有其平方小于2的有理數(shù)集合確定一個(gè)實(shí)數(shù)，它就是2。須注意這兩例有一個(gè)重要區(qū)別，對(duì)應(yīng)于有理數(shù)的“分割”其“右半”有最小的數(shù)2，對(duì)應(yīng)于無理數(shù)的“分割”其“右半”沒有最小的數(shù)。戴德金的定義來源于這樣的啟示：每個(gè)有理數(shù)作為有長度的 HYPERLINK /s?q=%E7%BA%BF%E6%AE%B5&ie=utf-8&src=internal_wenda_re

32、commend_textn t /q/_blank 線段，對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上的坐標(biāo)。邊長為1的正方形的對(duì)角線線段也應(yīng)對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)，這意味著如果只有有理數(shù)，數(shù)軸上存有“空隙”盡管有理數(shù)非常稠密。應(yīng)當(dāng)填補(bǔ)這些“空隙”使數(shù)軸成為完美的，歐幾里德幾何原本中曾記載過這一思想的雛形。 康托（Cantor，1845-1918）定義：一個(gè)實(shí)數(shù)定義為有理數(shù)的 HYPERLINK /s?q=%E6%9F%AF%E8%A5%BF%E5%BA%8F%E5%88%97&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 柯西序列a1,a2,.,an，此處an都

33、是有理數(shù)，且滿足對(duì)于任意自然數(shù)p必有自然數(shù)N，使當(dāng)mN,nN時(shí)有|am-an|1/q?？低械亩x來源于如下的啟示：若只限于有理數(shù)，則“微積分”的命題“單調(diào)有界數(shù)列必收斂”可能不成立，例如有理數(shù) HYPERLINK /s?q=%E6%95%B0%E5%88%97&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 數(shù)列x0=1,xn+1=(xn+2/xn)/2 是單調(diào)遞減的、 HYPERLINK /s?q=%E6%9C%89%E7%95%8C&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /

34、q/_blank 有界的，其極限是2。 在以上兩種定義中還要分別規(guī)定實(shí)數(shù)之間的 HYPERLINK /s?q=%E5%A4%A7%E5%B0%8F&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 大小比較、如何運(yùn)算然后證明運(yùn)算是符合熟知的規(guī)則的。另一個(gè)需要解決的重要問題是，這兩種實(shí)數(shù)定義所規(guī)定的這些“東西”在抽象意義上是不是相同的？如果不能肯定回答豈不會(huì)帶來一片混亂，何況還會(huì)有其它形式的實(shí)數(shù)定義。這些問題當(dāng)然都已一一妥帖解決。 試對(duì)兩種定義做一比較評(píng)判：康托的定義較實(shí)在，由于明顯涉及了無限（必定有時(shí)間如何發(fā)展的直覺）的概念稱為是動(dòng)

35、態(tài)的。例如，說數(shù)列1,1.4,1.41,1.414,1.4142,.定義無理數(shù)2，必須附加對(duì)于數(shù)列變化規(guī)律的種種說明。戴德金的定義較虛幻，但是是 HYPERLINK /s?q=%E9%9D%99%E6%80%81&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 靜態(tài)的，它擺脫了由時(shí)間直覺所附加的束縛。 為了加深印象，現(xiàn)在我們必須用最簡(jiǎn)明最通俗的語言來描述一下“實(shí)數(shù)”：按戴德金的說法，一個(gè)實(shí)數(shù)是有理數(shù)的一個(gè)集合；按康托的說法，一個(gè)實(shí)數(shù)是有理數(shù)的一個(gè)（柯西）序列。數(shù)學(xué)史上還有別的實(shí)數(shù)定義，在那里實(shí)數(shù)又有另外一副面孔。 幾乎在構(gòu)建實(shí)數(shù)

36、HYPERLINK /s?q=%E4%BD%93%E7%B3%BB&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 體系的同時(shí)，1874年康托還證明了無理數(shù)比有理數(shù)多得多、非代數(shù)數(shù)比代數(shù)數(shù)多得多！這也意味著，無形的、不是根式的無理數(shù)竟比直觀的、根式的無理數(shù)多得多！數(shù)軸上代表有理數(shù)的點(diǎn)雖然是稠密的任何兩個(gè)有理數(shù)點(diǎn)之間恒有無數(shù)多有理數(shù)點(diǎn)，但是除有理數(shù)點(diǎn)外的“空隙”更多?！翱障丁币坏┨顫M，稠密概念發(fā)展成了連續(xù)的概念，數(shù)軸上點(diǎn)與實(shí)數(shù)完全對(duì)應(yīng)，無理數(shù)問題 HYPERLINK /s?q=%E7%94%BB%E4%B8%8A&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 畫上了永遠(yuǎn)的 HYPERLINK /s?q=%E5%8F%A5%E5%8F%B7&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn t /q/_blank 句號(hào)。這里涉及關(guān)于集合中元素“個(gè)數(shù)”的比較問題，本文限于篇幅就此打住了。 實(shí)數(shù)體系的建立，使得諸如32表示什么得以明確，“高等數(shù)學(xué)”中命題“單調(diào)有界數(shù)列必收斂”、閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)得以證明。 然而從應(yīng)用角度或?qū)τ诜菙?shù)學(xué)工作者（絕大多數(shù)人）而言，卻是再次回到古希臘。無理