第2講Maxwell方程Yee算法課件

1、第 2 講 Maxwell方程Yee算法本講介紹K.S. Yee提出的FDTD算法，它是電磁場(chǎng)FDTD分析的基礎(chǔ)。Yee的獨(dú)特之處是在空間為每一個(gè)電場(chǎng)和磁場(chǎng)分量的空間取樣選擇一種特殊的網(wǎng)格稱之為Yee網(wǎng)格，在時(shí)間上，采用了蛙跳算法，使得利用一階導(dǎo)數(shù)的二階中心差分近似從Maxwell方程獲得的FDTD公式，既滿足Maxwell方程的微分形式又滿足其積分形式。因此，Yee的FDTD算法非常穩(wěn)固，具有很廣的應(yīng)用領(lǐng)域。2.1 一維Maxwell方程的Yee算法（1）一維Maxwell方程利用一階導(dǎo)數(shù)的二階中心差分近似，上面的方程變?yōu)?.1 一維Maxwell方程的Yee算法（2）采用歸一化磁場(chǎng) 使得電

2、場(chǎng)與歸一化磁場(chǎng)有相同的數(shù)量級(jí)，于是可以得到FDTD迭代公式為式中， 為自由空間中的光速。2.1 一維Maxwell方程的Yee算法（3） 用計(jì)算機(jī)語(yǔ)言表示的FDTD公式式中，時(shí)間變量已隱含在迭代公式中，以及 只要給定了所有空間點(diǎn)上電/磁場(chǎng)的初值，就可以一步一步地求出任意時(shí)刻所有空間點(diǎn)上的電/磁場(chǎng)值。2.1 一維Maxwell方程的Yee算法（3）電場(chǎng)與磁場(chǎng)分量的空間-時(shí)間分布圖01232.1 一維Maxwell方程的Yee算法（4）Main loop in 1D FDTD C-program: for (k=0;k=kmax;k+) Hyk=0; Exk=0;for (n=1;n=nmax;n

3、+) Ex(0)=Source(n); for (k=0;kkmax;k+) Hyk=Hyk-cak*(Exk+1-Exk); for (k=1;knmax結(jié) 束NoYes2.3 以積分形式的Faraday和 Ampere 定理解釋Yee算法（1）上面介紹的FDTD算法是從點(diǎn)的觀點(diǎn)對(duì)Maxwell方程微分形式中的兩個(gè)旋度方程直接進(jìn)行導(dǎo)數(shù)二階中心差分近似得到的。這種觀點(diǎn)對(duì)理解FDTD如何模擬波在媒質(zhì)中的傳播是有用的。但是，當(dāng)模擬細(xì)幾何結(jié)構(gòu)如導(dǎo)線、槽和曲面時(shí)，點(diǎn)的觀點(diǎn)對(duì)于指導(dǎo)為了獲得適當(dāng)解需要作怎樣的算法修正卻幫助甚少。為了解決這一問(wèn)題，我們從積分形式的Ampere和Faraday定理出發(fā)來(lái)解釋Y

4、ee算法。2.3 以積分形式的Faraday和 Ampere 定理解釋Yee算法（2）僅討論自由空間的情況。考慮右圖中實(shí)線網(wǎng)格的y-z平面上包圍面積S1的矩形圍線C1。沿C1應(yīng)用Faraday定理:( i+1/2, j+1/2, k-1/2 )C2S2Ey( i , j, k )C1S1EzEyEzHxHxHxHzHz2.3 以積分形式的Faraday和 Ampere 定理解釋Yee算法（3）假設(shè)在圍線任一邊上和圍線所圍的面積上相應(yīng)的場(chǎng)值不變，時(shí)間導(dǎo)數(shù)采用中心差分近似，則Faraday定理近似為 整理后便可得到自由空間中FDTD公式。2.3 以積分形式的Faraday和 Ampere 定理解釋

5、Yee算法（4） 以相同的方式，把Ampere 定理應(yīng)用于圖中虛線網(wǎng)格的x-z平面上包圍面積S2的矩形圍線C2，并作類似的假設(shè)，也可以得到相應(yīng)的FDTD公式。 所以，F(xiàn)DTD公式既是微分形式的Maxwell旋度方程的中心差分近似，也自然滿足積分形式的Ampere和Faraday定律。 2.4 Yee算法的無(wú)散性（1）對(duì)于無(wú)源區(qū)域，滿足Maxwell兩個(gè)旋度方程的場(chǎng)也一定滿足Maxwell的兩個(gè)散度方程或它們的積分形式 下面證明對(duì)于從旋度方程近似而來(lái)的FDTD 公式也滿足兩個(gè)散度方程。 2.4 Yee算法的無(wú)散性（2）在自由空間的一個(gè)Yee網(wǎng)格上考慮 ，有利用磁場(chǎng)分量的FDTD公式，把與磁場(chǎng)分量

6、時(shí)間導(dǎo)數(shù)相關(guān)的電場(chǎng)空間有限差分代入上式中各項(xiàng)，可得 2.4 Yee算法的無(wú)散性（3）于是設(shè)初始時(shí)磁場(chǎng)為零，則 所以，對(duì)于無(wú)源區(qū)域，F(xiàn)DTD公式滿足磁場(chǎng)Gauss定理，即對(duì)于磁場(chǎng)是無(wú)散的。同理可以證明，對(duì)于電場(chǎng)，F(xiàn)DTD公式也滿足Gauss定理，即電場(chǎng)也是無(wú)散的。結(jié) 論 2 （1） 本講介紹了求解矢量Maxwell方程的FDTD Yee算法，歸納起來(lái)，Yee算法的主要特點(diǎn)有：Yee算法采用耦合的Maxwell旋度方程，同時(shí)在時(shí)間和空間求解電場(chǎng)和磁場(chǎng)，而不是采用波動(dòng)方程只求解電場(chǎng)或磁場(chǎng)。同時(shí)使用E和H信息比只使用其中一個(gè)的優(yōu)點(diǎn)是獲得的解更穩(wěn)固（robust），即算法可以適用非常廣泛的電磁波物理結(jié)構(gòu)

7、，并且電場(chǎng)和磁場(chǎng)的特性可以用更直接的方式模擬。如果同時(shí)使用電場(chǎng)和磁場(chǎng)，每一種場(chǎng)的獨(dú)立特性，如邊沿和角處切向磁場(chǎng)的奇異性、細(xì)線附近磁場(chǎng)的奇異性以及靠近點(diǎn)、邊沿和細(xì)導(dǎo)線處徑向電場(chǎng)的奇異性就能夠獨(dú)立地模擬。結(jié) 論 2 （2）Yee網(wǎng)格在三維空間這樣安排E和H分量，使得每一個(gè)E或H分量由四個(gè)H或E循環(huán)的分量所環(huán)繞。這提供了一幅三維空間中由相互交鏈的Faraday定理和Ampere定理圍線陣列構(gòu)成的優(yōu)美而簡(jiǎn)單的圖畫。保證了Yee算法同時(shí)模擬了Maxwell方程點(diǎn)意義上的微分形式和宏觀的積分形式。后者對(duì)于處理邊界條件和奇異性是極其有用的。旋度算子中空間導(dǎo)數(shù)的差分公式是二階精度的中心差分。如果不同材料的交界

8、面平行于Yee網(wǎng)格的一個(gè)坐標(biāo)軸，在交界面上切向E和H的連續(xù)性自然保持。在Yee算法隱含地執(zhí)行了兩個(gè)高斯定律。所以，同時(shí)保證了無(wú)源區(qū)域中電磁場(chǎng)的無(wú)散性。結(jié) 論 2（3）Yee算法以蛙跳算法在時(shí)間上安排E和H分量。在某一時(shí)刻，使用前一時(shí)刻的E數(shù)據(jù)計(jì)算所有H分量。然后，再使用剛計(jì)算的H數(shù)據(jù)計(jì)算所有的E分量。如此循環(huán)，直至完成時(shí)間步進(jìn)過(guò)程。蛙跳時(shí)間步進(jìn)過(guò)程是全顯式的，所以完全避免了因求解聯(lián)立方程和矩陣求逆所帶來(lái)的問(wèn)題。旋度方程中時(shí)間導(dǎo)數(shù)的差分公式是二階精度的中心差分。時(shí)間步進(jìn)算法是無(wú)數(shù)值損耗的，即在網(wǎng)格中傳播的數(shù)值波并不產(chǎn)生寄生衰減。習(xí) 題 22.1證明對(duì)于電場(chǎng)，Yee算法也滿足Gauss定理，即對(duì)于電場(chǎng)Yee算法也是無(wú)散的。2.2 試推導(dǎo)二維TE模（Ez=0）和TM模（Hz=0）的FDTD Yee 算法。2.3 編制二維TM模Yee 算法的程序。假設(shè)模擬區(qū)域?yàn)樽杂煽臻g單位正方形，時(shí)間步為 ，x方