第三章-中值定理與導數(shù)的應用-課件

1、第三章 中值定理與導數(shù)的應用 3.1 中值定理3.2 羅必達法則3.3 函數(shù)單調(diào)性的判別法3.4 函數(shù)的極值3.5 函數(shù)的最大值和最小值3.6 曲線的凹凸與拐點3.7 函數(shù)圖像的描繪3.8 曲率湖南教育出版社下頁3.1 中值定理1. 羅爾（Rolle）定理2. 拉格朗日（Lagrange)定理3. 柯西（Cauchy）定理首頁上頁下頁3.1 中值定理1. 羅爾（Rolle）定理定理1（羅爾定理）如果函數(shù)f(x)滿足：(1) 在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；(2) 在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導；(3) f(a)=f(b),則在(a,b)內(nèi)至少有一點使得首頁上頁下頁例1驗證函數(shù)定理的條件，并求出使的值.解所以，

2、在內(nèi)，使得的有兩個:3.1 中值定理上滿足羅爾首頁上頁下頁2. 拉格朗日（Lagrange)定理定理2（拉格朗日定理）如果函數(shù)f(x)滿足：(1) 在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；(2) 在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導；則在(a,b)內(nèi)至少有一點使得3.1 中值定理首頁上頁下頁格朗日定理的條件，并求 的值.例2驗證函數(shù)在區(qū)間0，1上滿足拉解拉格朗日定理（舍）3.1 中值定理所以在區(qū)間0，1上連續(xù)； 首頁上頁下頁推論1如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的導數(shù)恒為 零，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是一個常數(shù). 推論2如果函數(shù)f(x)和g(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導,且則在區(qū)間(a,b)內(nèi)兩個函數(shù)至多相差一個常數(shù)，

3、即 其中C為某個常數(shù).3.1 中值定理（用拉格朗日定理證） 首頁上頁下頁則在(a,b)內(nèi)至少有一點 ，使得3. 柯西（Cauchy）定理定理3（柯西定理）如果函數(shù)f(x)和g(x)滿足:(1) 在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；(2) 在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導，且3.1 中值定理首頁上頁下頁1. 未定式 型的極限求法 3.2 羅必達法則2. 未定式 型的極限求法 3. 其他類型的未定式極限的求法首頁上頁下頁可以除外），(2)在點的某鄰域內(nèi)（點1. 未定式 型的極限求法 3.2 羅必達法則羅必達法則1如果函數(shù)f(x)和g(x)滿足下述條件： (1)均存在且(3)存在（或為無窮大），則有首頁上頁下頁例1求解例

4、2求 解3.2 羅必達法則首頁上頁下頁例3求解3.2 羅必達法則首頁上頁下頁的某鄰域內(nèi)（點可以除外），2. 未定式 型的極限求法 羅必達法則2如果函數(shù)f(x)和g(x)滿足下述條件： (1)(2)在點均存在且(3)存在（或為無窮大），則有3.2 羅必達法則首頁上頁下頁例4求解3.2 羅必達法則首頁上頁下頁例5求解例6解求3.2 羅必達法則注意 洛必達法則是求未定式的一種有效方法，但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好.首頁上頁下頁例7求解例8求解方法失效 3.2 羅必達法則首頁上頁下頁3. 其他類型的未定式極限的求法例9 求解例10 求解3.2 羅必達法則首頁上頁下頁例11求解3.2 羅必達法則

5、首頁上頁下頁3.3 函數(shù)單調(diào)性判別法設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導.定理(1)如果在(a,b)內(nèi)，則函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加;(2)如果在(a,b)內(nèi)，則函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)減少.首頁上頁下頁證應用拉氏定理,得3.3 函數(shù)單調(diào)性判別法首頁上頁下頁表中“ ”表示單調(diào)增加，“ ”表示單調(diào)減少.例1判定函數(shù)的單調(diào)性.解003.3 函數(shù)單調(diào)性判別法首頁上頁下頁例2求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解x-1(-1,3)3003.3 函數(shù)單調(diào)性判別法首頁上頁下頁例3求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解1不存在3.3 函數(shù)單調(diào)性判別法首頁上頁下頁例4求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解0-0+3.3 函數(shù)單調(diào)性判別法首頁上頁下頁

6、（2）求導數(shù)，并求使 或 不存在的點，得到各單調(diào)區(qū)間的分界點；3.3 函數(shù)單調(diào)性判別法綜合以上幾例，得到求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟如下：（1）求函數(shù)的定義域；（3）討論 在各區(qū)間內(nèi)的符號，判斷函數(shù) 在各區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性. 注意 如果函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)，只有個別點的導數(shù)等于零或不存在，但該區(qū)間內(nèi)其余各點的導數(shù)均大于（或小于）零，則函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)仍是單調(diào)增加（或減少）的. 首頁上頁下頁例5證明:當時，證令所以在內(nèi)是單調(diào)增加的且連續(xù). 3.3 函數(shù)單調(diào)性判別法首頁上頁下頁3.4 函數(shù)的極值1. 函數(shù)極值的定義2. 函數(shù)極值的判定和求法首頁上頁下頁3.4 函數(shù)的極值概念引入首頁上頁下頁3.4 函數(shù)的極值1. 函

7、數(shù)極值的定義定義設(shè)函數(shù)在的某個鄰域內(nèi)有定義.（1）如果對于該鄰域內(nèi)的任意點，都有（2）如果對于該鄰域內(nèi)的任意點，都有函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值， 使函數(shù)取得極值的點稱為函數(shù)的極值點.首頁上頁下頁取得極值，則函數(shù)在點可導，且在點2. 函數(shù)極值的判定和求法定理1（必要條件）設(shè)函數(shù)在點的導數(shù) 使函數(shù)的導數(shù)為零的點叫作函數(shù)的駐點（或穩(wěn)定點）3.4 函數(shù)的極值注意首頁上頁下頁3.4 函數(shù)的極值定理引入首頁上頁下頁在點的一個鄰域內(nèi)定理2（第一充分條件）設(shè)函數(shù)在點連續(xù)且可導（但可以不存在）.（1）如果在的鄰域內(nèi)，當時，當時，則函數(shù)取得極大值（2）如果在的去心鄰域內(nèi)，時，當時，則函數(shù)在點取得極小值3

8、.4 函數(shù)的極值（3）如果在的鄰域內(nèi)，當首頁上頁下頁（2）求導數(shù) ;3.4 函數(shù)的極值綜合上面兩個定理，得到求函數(shù)極值的一般步驟如下：（1）求函數(shù)的定義域；（3）求 的全部駐點或?qū)?shù)不存在的點；（4）討論各駐點或?qū)?shù)不存在的點是否為極值點，是極大值點還是極小值點；（5）求各極值點的函數(shù)值，得到函數(shù)的全部極值. 首頁上頁下頁例1求函數(shù)的極值.解（1）函數(shù)的定義域為（2）（3）令得駐點3.4 函數(shù)的極值（4）列表討論如下:x-2(-2,1)100極大值21極小值6首頁上頁下頁3.4 函數(shù)的極值首頁上頁下頁例2求函數(shù)的極值.（1）函數(shù)的定義域為解（2）（3）令得駐點（4）列表討論如下:x-1(-1,

9、0)0(0,1)1-0-0+0+極小值03.4 函數(shù)的極值首頁上頁下頁由上表知，函數(shù)的極小值為.駐點不是極值點，如下圖所示.3.4 函數(shù)的極值首頁上頁下頁例3求函數(shù)的極值.解（1）函數(shù)的定義域為（2）（3）令得駐點當時，導數(shù)不存在.（4）列表討論如下:x0(0,1)1+不存在-0+極大值0極小值3.4 函數(shù)的極值首頁上頁下頁由上表知，函數(shù)的極大值為3.4 函數(shù)的極值函數(shù)的極小值為首頁上頁下頁取得極小值.在點定理3（第二充分條件）設(shè)函數(shù)處具有二階導數(shù)且 （1）如果，則函數(shù)在點（2）如果，則函數(shù)在點取得極大值.3.4 函數(shù)的極值注意 充分條件來判定. 首頁上頁下頁3.4 函數(shù)的極值例4求函數(shù)在區(qū)間

10、 上的極值. 解首頁上頁下頁（1）求函數(shù) 的導數(shù)，并求出所有的駐點和導數(shù)不存在的點. （3）比較上述各函數(shù)值的大小，其中最大的就是 在閉區(qū)間a，b上的最大值，最小的就是 在閉區(qū)間a，b上的最小值. 3.5 函數(shù)最大值和最小值求函數(shù) 在閉區(qū)間a，b上的最大值與最小值的步驟為：（2）求各駐點、導數(shù)不存在的點及各端點的函數(shù)值. 首頁上頁下頁3.5 函數(shù)最大值和最小值例1求函數(shù) 的最大值和最小值. 解令 所以最大值為，最小值為（2）求出區(qū)間端點及各駐點的函數(shù)值分別是（1）求函數(shù)的導數(shù)，得 首頁上頁下頁例2用一塊邊長為24cm的正方形鐵皮，在其四角各截去一塊面積相等的小正方形，做成無蓋的鐵盒，問截去的小

11、正方形邊長為多少時，做出的鐵盒容積最大？解設(shè)截去的小正方形邊長為xcm，鐵盒容積為Vcm3得3.5 函數(shù)最大值和最小值首頁上頁下頁令 得 又由問題得實際意義知，函數(shù)V的最大值在（0，12）內(nèi)取得，所以當x4時，函數(shù)V取得最大值，即當所截去的正方形邊長為4cm時，鐵盒的容積最大。3.5 函數(shù)最大值和最小值首頁上頁下頁例3在一條河的同旁有甲乙兩城，甲的城位于河岸邊，乙城離岸40km，乙城到岸的垂足與甲城相距50km，兩城在此河邊合建一水廠取水，從水廠到甲城和乙城的水管費用分別為每公里3萬元和5萬元，問此水廠應設(shè)在河邊的何處才能使水管費用最??？3.5 函數(shù)最大值和最小值解設(shè)水廠離甲城xkm，水管總費

12、用為y萬元，則首頁上頁下頁例4已知電源電壓為E，內(nèi)阻為r，求負載電阻R為多大時，輸出功率最大？解令 得 所以當 時，輸出功率最大.3.5 函數(shù)最大值和最小值首頁上頁下頁例5每單位產(chǎn)品的價格是134元，求使利潤最大的產(chǎn)量.解生產(chǎn)x個單位利潤為3.5 函數(shù)最大值和最小值某產(chǎn)品生產(chǎn)x單位的總成本為首頁上頁下頁因為 所以在 有極大值; 又因為 所以在 有極小值. 因此L(36)=996是L(X)的最大值.所以,生產(chǎn)36個單位時,有最大利潤996元.3.5 函數(shù)最大值和最小值首頁上頁下頁) 設(shè)曲線弧的方程為y=f(x)，且曲線弧上的每一點都有切線，如果在某區(qū)間內(nèi)，該曲線弧位于其上任意一點切線的下方，則稱

13、曲線弧在該區(qū)間內(nèi)是凹的；如果該曲線弧位于其上任一點切線的下方，則稱曲線弧在該區(qū)間內(nèi)是凸的。3.6 曲線的凹凸與拐點定義)首頁上頁下頁定理設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)有二階導數(shù).（1）如果在(a,b)內(nèi)，則曲線y=f(x)在(a,b)內(nèi)是凹的;（2）如果在(a,b)內(nèi)，則曲線y=f(x)在(a,b)內(nèi)是凸的.例1判定曲線的凹凸性. 解函數(shù)的定義域為所以曲線在 內(nèi)是凸的,在內(nèi)是凹的.3.6 曲線的凹凸與拐點首頁上頁下頁連續(xù)曲線上凹的曲線弧與凸的曲線弧的分界點叫作曲線的拐點.3.6 曲線的凹凸與拐點首頁上頁下頁例2求曲線凹凸區(qū)間和拐點. 解函數(shù)的定義域為令得x0(0,1)1+0-0+拐點(0,1)拐

14、點(1,0)3.6 曲線的凹凸與拐點首頁上頁下頁例3求曲線凹凸區(qū)間和拐點. 解函數(shù)的定義域為x0-不存在拐點(0,0)3.6 曲線的凹凸與拐點首頁上頁下頁例4判斷曲線是否有拐點?解函數(shù)的定義域為令 得 時，恒有因此點不是曲線得拐點，所以曲線沒有拐點.3.6 曲線的凹凸與拐點首頁上頁下頁3.7 函數(shù)圖像的描繪1. 曲線的水平漸近線和鉛直漸進線2. 函數(shù)圖像的描繪首頁上頁下頁3.7 函數(shù)圖像的描繪1. 曲線的水平漸近線和鉛直漸進線一般地則直線y=A叫作曲線y=f(x)的水平漸進線.則直線x=x0叫作曲線y=f(x)的鉛直漸進線.首頁上頁下頁例1求曲線 的漸進線. 解是曲線的水平漸進線. 例2求曲線

15、 的漸進線 .解是曲線的鉛直漸進線. 是曲線的水平漸進線. 3.7 函數(shù)圖像的描繪首頁上頁下頁3.7 函數(shù)圖像的描繪2. 函數(shù)圖像的描繪利用導數(shù)描繪函數(shù)的圖像的一般步驟是：（1）確定函數(shù) 的定義域，并討論函數(shù)的奇偶性；（2）求出 ，解出 在函數(shù)定義域內(nèi)的全部實根，并求出所有使一階導數(shù) 二階導數(shù) 不存在的點；（3）把函數(shù)的定義域分為幾個部分區(qū)間，列表討論函數(shù)的單調(diào)性與極值、曲線的凹凸性與拐點；（4）確定曲線的漸近線；（5）結(jié)合極值點、拐點以及必要的輔助點，把它們連成光滑的曲線，從而得到函數(shù) 的圖像. 首頁上頁下頁例3作函數(shù) 的圖像.（1）函數(shù)的定義域為解3.7 函數(shù)圖像的描繪所以, 是奇函數(shù)，它

16、的圖像關(guān)于原點對稱. 首頁上頁下頁（3）列表討論如下:x-1(-1,0)0(0,1)1-0+0-+0-極小值2極大值2曲線拐點(0,0)3.7 函數(shù)圖像的描繪首頁上頁下頁3.7 函數(shù)圖像的描繪首頁上頁下頁例4作函數(shù) 的圖像. (1)函數(shù)的定義域為解所以是偶函數(shù)，它的圖像關(guān)于y軸對稱.3.7 函數(shù)圖像的描繪(2)首頁上頁下頁(3)列表討論如下:x0000y極大值1曲線拐點拐點3.7 函數(shù)圖像的描繪直線y=0為水平漸進線.首頁上頁下頁3.7 函數(shù)圖像的描繪首頁上頁下頁例5作函數(shù) 的圖像.解(1) 函數(shù)的定義域為令 得 令 得 (3) 列表討論如下:3.7 函數(shù)圖像的描繪(2)首頁上頁下頁x3(3,

17、6)6-+0-0+極大值4曲線拐點3.7 函數(shù)圖像的描繪首頁上頁下頁所以直線y=1為水平漸進線，x=-3為鉛直漸進線.(5) 綜上所述得圖像3.7 函數(shù)圖像的描繪(4)首頁上頁下頁3.8 曲率1. 弧微分2. 曲率及其計算公式3. 曲率圓和曲率半徑首頁上頁下頁3.8 曲率1. 弧微分首頁上頁下頁3.8 曲率弧微分就是曲線上點M處的切線段|MT|. 通常把直角三角形MRT叫作曲線在點M的微分三角形.弧微分公式s=s(x)是x的單調(diào)增加函數(shù)，從而根號前應取正號， 首頁上頁下頁例1求正弦曲線的弧微分. 解例2求圓的弧微分. 解3.8 曲率首頁上頁下頁2. 曲率及其計算公式平均曲率曲率3.8 曲率首頁上頁下頁例3解已知圓的半徑為R,求：（1）圓上任意一段的平均曲率；（2）圓上任意一點的曲率.（1）（2）圓上任一點的曲率 3.8 曲率首頁上頁下頁3.8 曲率弧MN的平均曲率為在點M(x,y)的曲率為 首頁上頁下頁例4求等邊雙曲線xy=1在點(1,1)處的曲率.解代入曲率的計算公式得3.8 曲率曲率的計算公式(2)與(3)代入(1)得首頁上頁下頁3.8 曲率例5求拋物線 上曲率最大的點. 解當x=0時，分母最小. 所以，在頂點（0，0）處拋物線的曲率最大. 首頁上頁下頁3. 曲率圓和曲率半徑圓C與曲線y=f(x)有以下關(guān)系：(1)在點M有公共的切線；(