第八章　圓錐曲線方程

1、第八章圓錐曲線方程劉強(qiáng)1997年初，中國科學(xué)院紫金山天文臺發(fā)布了一條消息，從1997年2月中旬起，海爾波普彗星將逐漸接近地球，4月以后，又將漸漸離去，并預(yù)測3000年后，它還將光臨地球上空。1997年2月至3月間，許多人目睹了這一天文現(xiàn)象。天文學(xué)家是如何計算出彗星出現(xiàn)的準(zhǔn)確時間呢？原來海爾波普彗星運行的軌道是一個橢圓，通過觀察它運行中的一些有關(guān)數(shù)據(jù)，可以推算出它的運動軌道的方程，從而算出它運行的周期及軌道的周長。在太陽系中，天體運動的軌道除橢圓外，還有拋物線、雙曲線等。 在初中幾何里我們知道，用一個垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，得到的截面是一個圓。如果改變平面與圓錐軸線的夾角，會得到一些不同的圖

2、形，如章頭圖所示，他們分別是雙曲線、橢圓、拋物線等。 因此，通常把橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線。.8.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程下面我們?nèi)∫粭l一定長的細(xì)繩，把它的兩個端點固定在平面上的 和 兩點，當(dāng)繩長大于 和 的距離時，用鉛筆把繩子拉緊，使筆尖在平面上慢慢移動，就可以畫出一個圖形。那么這個時候得到的圖形是一個什么圖形呢？它是由一些什么點構(gòu)成的曲線？得到的圖形是一個橢圓，可以看出它是與 、 的距離的和等于定長(即這條繩長）的點的集合。下面我們通過作圖去觀察橢圓的形狀在繩長一定的時候與兩定點間距離存在什么關(guān)系！結(jié)論：兩定點間的距離越小，橢圓越圓；兩定點距離越大，橢圓越扁。（當(dāng)兩點重合的時候橢圓就

3、變?yōu)榱藞A）定義：平面內(nèi)與兩定點 、 的距離的和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距。由于橢圓的定義我們可以知道它的基本幾何特征，但是對于這種新曲線還有哪些特征，我們幾乎一無所知，因此需要建立橢圓的方程，以便于我們對其作進(jìn)一步的認(rèn)識請同學(xué)們回憶一下，求曲線方程的步驟是什么？建系、取點；列式；代換；化簡；證明一般情況下，步驟可以省略不寫，如有特殊情況，可予以必要的說明，另根據(jù)情況，也可以省略步驟，直接列出方程。接下來，大家在考慮一下建系的一般原則有那些？原點取在定點或定線段的中點，坐標(biāo)軸取在定直線上和圖形的對稱軸上。接下來我們一起根據(jù)橢圓的定義，

4、來求出橢圓的方程（利用前面作出的圖形）先請一位同學(xué)來建立坐標(biāo)系。以、的中點為原點，直線為軸，建立直角坐標(biāo)系。設(shè)是橢圓上任意一點。（）建系！取點?。?）列式注意（）代換！定義中提供的信息，動點與、的距離的和等于常數(shù)，這個常數(shù)可看作是已知的，這是其一；其二是兩定點、之間的距離可看作是已知的，于是我們可以設(shè)橢圓的焦距為c（c），那么、的坐標(biāo)分別是、又設(shè) 與 、 的距離的和等于 （請注意，我們把焦距設(shè)與為 ，避免了 、 的坐標(biāo)為分?jǐn)?shù)的形式）。上面所得的方程直接反映了橢圓定義所確定的橢圓的本質(zhì)屬性，但為了更進(jìn)一步利用方程探討橢圓的其他性質(zhì)，需要盡量簡化方程形式，使數(shù)量關(guān)系更加明朗化，那么怎么化簡呢？請同學(xué)們注意：對于含有根式的方程化簡時，如果方程中只有一個根式，則將根式單獨留在方程的一邊，把其他各項移至另一邊，之后方程兩邊同時乘方即可；如果方程中含有兩個根式，則需將它們分別放在方程兩邊，并使其中一邊只含有一個根式，之后再將方程同時乘方，再整理，再乘方。將式子有理化將這個方程移項后，兩邊平方得整理得上式兩邊再平方，得整理得由橢圓的定義可知即令其中代入式，得兩邊同時除以得