高三一輪復(fù)習(xí)2021版第四章第7講正弦定理與余弦定理

1、第7講 正弦定理與余弦定理理教材,教材回版基礎(chǔ)自測(cè).工知快赫理.正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容sin A - sin呂三山。一叢優(yōu)為人47外為圓半徑)a2=尸+c2-2從 co_ 4 b2 = /+=2/?sinB,c=2/?sinC：sin A =玲，sin B二4,c csin C=rr：a b c=sii_4 : siB : siiC： i+b+c_ asin A+sin sin C sin A戶(hù) cos A一返；。2 + 岸 一/3SB- 2ca ;a2+b2c2 C0S C- 2ab2 .三角形解的判斷A為銳角A為鈍角或直角圖形z Aa限AS - Br*關(guān)系式a=hsin

2、Absin Aab解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解3 ,三角形中常用的面積公式(l)5=1t/?(/?表示邊a上的高):(2)S=1/?csin A =acsinB=cihsin C；(3)S=7p (-o)(p-h)(p-c),其中 p=；(a+c)、基礎(chǔ)自測(cè))Q判斷正誤(正確的打“ J ”，錯(cuò)誤的打“ x ”)(1)在A(yíng)BC中，已知”，和角8,能用正弦定理求角A；已知”，和角。，能用余弦 定理求邊c.()(2)在三角形中，已知兩角和一邊或已知兩邊和一角都能解三角形.()(3)在A(yíng)BC中，sin Asin B的充分不必要條件是AB.()(4)在A(yíng)BC中，是2MBC為鈍角三角形的充分不必要條件.()(

3、5)在A(yíng)BC的角A, B, C,邊長(zhǎng)”，b, c中，已知任意三個(gè)可求其他三個(gè).()答案： J (2)7 X (4)V (5)X在ZiABC 中，A=45 , 8=60，a=10,則等于(A. 5娘C邛B. 10/2D. 5平所以由正弦定理總二磊,得10sin 45 sin 60lOsin 60,解之可得- = 5/6sin 45 v解析：選 D.因?yàn)锳BC 中，A =45, 8 = 60，”= 10,1ABC 中，已知 “=5, b=7, c=8,則 A + C=()A. 90B. 120C. 135D. 150t/2 + c2 - Z2 25 + 64 - 49 解析：選 B.cosB =y

4、-二(只二 5,所以 = 60,所以 A 十120.ZcCN入，入3乙4已知。、b、c分別為AABC三個(gè)內(nèi)角A、B、。的對(duì)邊，若cos3=a，i=10, /ABC J的面積為42,則。=.31解析：依題意可得$訪(fǎng)8二亍 又a二亍心由5二42,則。二14 .答案：14倒(2018高考浙江客)在A(yíng)BC中，角A, B, C所對(duì)的邊分別為小b, c.若巾,b =2, A=60 ,則 sinB=, c=.2義當(dāng)于解析：因?yàn)椤?S, b = 2, A=60。，所以由正弦定理得sin B =生器-二后=當(dāng)由余弦定理 二2十/- 2“osA可得/ - 2c - 3=0,所以。二3.答案：3分類(lèi)講解化解疑炮考點(diǎn)

5、1利用正弦、余弦定理解三角形(高頻考點(diǎn))利用正、余弦定理解三角形是高考的熱點(diǎn)，三種題型在高考中時(shí)有出現(xiàn)，其試題為中檔 題.主要命題角度有：(I)由已知求邊和角：(2)三角恒等變換與解三角形.角度一由已知求邊和角例1 (1)在A(yíng)BC中，角A, B, C所對(duì)的邊分別為a, b, c,若3cosA=osA+“COS C,則tan A的值是()A. 2y2B. -J2C. 2y/2D.小(2)ZA8C 的內(nèi)角 A, B,。的對(duì)邊分別為“，b, c,若 cosA=, cosC=|,。=1,則 h=.【解析】(1)因?yàn)锳BC中，由余弦定理得b2 + c2 - a2 a2 + b2 - c2二b.ccos

6、A + acos C = cX元+ aX所以根據(jù)題意，3cos A = ccos A + acos C = b,兩邊約去b,得3cos A = 1,所以cos A = ；0,所以A為銳角,且sin A=、cos%二斗2,因此，tan A=關(guān)1=2啦. VDji45(2)因?yàn)锳,。為43C的內(nèi)角,且cosA=q, cosC二, JJ J354 1 2 63所以 sin B = sin(兀-A - C)二 sin(A + C) = sin Acos C + cos Asin C = 和十,乂於二女.又，二1,所以由正弦定理得。二asin B sin B 632slnT = sIiM = 65X3

7、= T3【答案】(DC (2)|13角度二三角恒等變換與解三角形例2在A(yíng)48C中，內(nèi)角A, B,。所對(duì)的邊分別為小b, c.己知人+c=2acos 8.2(1)證明：A=2& (2)若 cosB=q,求 cos C 的值.【解】證明：由正弦定理得sin B + sin C = 2sin Acos B,故 2sin Acos B = sin B + sin(A + B) = sin B + sin Acos B + cos Asin B,于是 sin B = sin(A - B).又A, BG(0,兀)，故0A-8因?yàn)閟in C0,所以sin A十cos A=0,所以tan A=-1,因?yàn)锳（0

8、,兀），所以A二金，由正.x孚弦定理彳導(dǎo)sin C二（s；，二y=2,又。；，所以。二套故選B.2. IXXBC 中，D 為線(xiàn)段 BC 的中點(diǎn)，AB=2AC=2, tanZCAD=sinZBAC,則 BC=sinzCADsinzGAD解析：由正弦定理可知I二 二2,又 tan/CA。= sin/BAC,則=sin(ZC4DsinzBADcoszCAD+ NBAD),利用三角恒等變形可化為cos ABAC = ,據(jù)余弦定理BC = 弋3 十- 2 AC A8cosn8AcT1+4 - 2 =答案:小考點(diǎn)2利用正弦、余弦定理判定三角形的形狀例3設(shè)ABC的內(nèi)角A, B, C所對(duì)的邊分別為a, b,

9、c,若cos C+ccos 8=sin A, 則aABC的形狀為()A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.不確定(2)若/+/02=“從 且 2cosAsin8=sinC,那么ABC一定是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形解析(1)由正弦定理得 sin Bcos C + cos Bsin C = sin2A,則 sin(8 + C) = sin2A,由三角形內(nèi)角和，得sin(B + C) = sin A = siiFA,即sin A=1,所以NA =會(huì)即AABC為直角三角形.(2)法一：利用邊的關(guān)系來(lái)判斷：由正弦定理得曹二木由2cos Asin B = s

10、in C,有cos A=女b2 + c2 - a2 c b2 + c2 - a2又由余弦定理得cos A=,所以也二一五一，即/二十/-，八 所以后二房，所以 a = ,又因?yàn)?a2 + /?2 - c2 = ah.所以22-d=2,所以分二理,所以二.所以4二二C,所以48c為等邊三角形.法二：利用角的關(guān)系來(lái)判斷:因?yàn)?A 十8十（7二 180,所以 sin C= sin（A 十B）,又因?yàn)?2cos Asin 8= sin C,所以 2cos Asin B = sin Acos B + cos Asin B,所以 sin（A - 8）= 0.又因?yàn)锳與8均為BC的內(nèi)角,所以A = 8,又由

11、a?十2 -上二帥a2 + b2 - c2 ub 1由余弦定理，得cos C二 一R-= - =又0Cvl800,所以。=60,所以A3C為等邊三角形.【答案】(1)A (2)D判定三角形形狀的兩種常用途徑而由U通過(guò)正弦定理、余弦定理化角為邊，通過(guò)代8d效以二恒等變換,求出邊與邊之間的關(guān)系進(jìn)行利斷：新總 :通過(guò)正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三:2化曳口角變換得M三角形內(nèi)角之向的關(guān)系進(jìn)行列斷:提醒I “角化邊”后要注意用因式分解、配方等方法得出邊的相應(yīng)關(guān)系；“邊化角” 后要注意用三角恒等變換公式、三角形內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式推出角的關(guān)系.跟蹤訓(xùn)練.在A(yíng)3C中，角A, B, C所對(duì)的邊分別為m

12、b, c,若cosA,則48。為（）A.鈍角三角形C銳角三角形B.直角三角形D.等邊三角形解析：選A.已就 cos A,由正弦定理，得普 cos A,即sin C sin Bcos A,所以sin（A olll D+ B) sin 8cos A，即 sin B cos A + cos Bsin A - sin Bcos A 0,所以 cos Bsin A 0, 于是有cos B0, B為鈍角，所以zMBC是鈍角三角形.已知在A(yíng)BC中，角A, B, C的對(duì)邊分別是“，b, c,若卷+右=左，則ABC Mil D Mil /I是（）A.等邊三角形B.銳角三角形C.等腰直角三角形D.鈍角三角形ev

13、、+- Li（l b 、 GiFA-gSin A sin B -rsin A解析：選C.因?yàn)閟m + sin A = 2c,所以由正弦7E理可行sin B + sin A二2sm C,而一 b +鬻22dl瞽曙二2,當(dāng)且僅當(dāng)如】A=sin 8時(shí)取等號(hào)，所以2sinC22,即sinC2L又sin CW 1,故可得sii】C=l,所以NC=90.又因?yàn)閟in A=sin 8,可得A = 3,故三角形為等腰直角三角形，故選C考點(diǎn)哪與三角形而積有關(guān)的問(wèn)題（高頻考點(diǎn)）求解與三角形而積有關(guān)的問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，三種題型在高考中時(shí)有出現(xiàn)，其試題為中 檔題.主要命題角度有：（1）求三角形的而積；（2）己知三角形

14、的而積解三角形：（3）求有關(guān)三角形而積或周長(zhǎng)的最值（范圍）問(wèn)題.角度一求三角形的面積他國(guó) (1)在A(yíng)BC中，內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為小b, c,已知“=1, 2b-y3c= 2dcos C, sin C=坐，則ABC 的而積為()aTb. WC.坐或坐D.小喈(2)己知ABC AB=AC=4, BC=2.點(diǎn)D為AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),BD=2,連接CO,則 HOC的面積是, cosZBDC=.【解析】 因?yàn)?b - y13c = 2ucos C,所以由正弦定理可得2sin B .小sin C = 2sin Acos C,所以 2sin(A + C)-小sin C = 2sin Acos C,所

15、以 2cos Asin C =小sin C,所以cos A=理，所以A = 30,因?yàn)?sin C二坐,所以 C = 60或 120.A = 30, C = 60, B - 90, 所以 NCD5 =亍/ABC,貝 U cos ACDB = /=【答案】(DC華乎角度二已知三角形的面積解三角形例5 (1)設(shè)ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、。所對(duì)的邊長(zhǎng)依次為a、b、c,若AABC的面積為S,且5=”一仍一cR則；7n A = 1cosA(2)在A(yíng)BC中，內(nèi)角A, B, C所對(duì)的邊分別是小b, c,已知A=?分一岸=芥.求tan C的值；若ABC的面積為3,求的值. + BC2 - AC2(2)在aABC

16、 中，AB=AC = 4, BC = 2,由余弦定理得 coszABC =二2ABaBC42 + 22 - 42 11 c - g =彳，則 sinzBC = sinzCBD =所以 Sbdc 二 BD BCsinz.CBD = ,因?yàn)?BD【解】(1)因?yàn)锳3C 的面積為 S,且 S = 2 -( _ c)2 = a2 -2 - c2 + 2bc =sin A9所以由余弦定理可得-2Z?c-cos A + 2hc = sin A,所以 4 - 4cos A = sin A,sin A 4 - 4cos A所以F二KT=4.故填4.由b2 - a2 = 1c2及正弦定理得sin咽-；二1sin

17、2C,所以-cos 2B = sin2c.7T3又由 A 二；，即 8 十 C 二 V，彳導(dǎo)-cos 2B - sin 2C = 2sin Ceos C,解彳導(dǎo) tan C= 2.由 tan C = 2, CG(0 tt) 彳導(dǎo) sin C = cos。二里.因?yàn)?sin B = sin(A + C) = sin(: + C),所以 sin B =由正弦定理得c =又因?yàn)锳二字 權(quán)sin A=3, TOC o 1-5 h z J14角度三求有關(guān)三角形面積或周長(zhǎng)的最值(范圍)問(wèn)題例6 (1)己知“，仇c分別為ZVIBC的內(nèi)角A, B,。所對(duì)的邊，其而積滿(mǎn)足S，u8c=h 則宗的最大值為()A.巾

18、7B. 2C. 72+1D.力+2設(shè)ABC的內(nèi)角A, B, C所對(duì)的邊分別為小b, c且“cos。一5=b.求角A的大小：若“=3,求ABC的周長(zhǎng)/的取值范圍.【解】 選C.根據(jù)題意,有Sbc = Jr = /Sin A,應(yīng)用余弦定理,可得b2 + c2 - 2/?ccos A = 2/jcsin A,令，二小 于是產(chǎn)十 1 - 2/cos A = 2fsin A .于是 2rsin A + 2rcos A = /2 + 1.所以 2yj2 sinlA+*)=i + 從而十卷 解得/的最大值為建十L(2)由 ucos C - Jc =得：sin Acos C - in C = sin B,又

19、sin 8 = sin(A + C) = sin Acos C + cos Asin C,in C= - cos Asin C,1。因?yàn)閟inC/0,所以cosA=-5，又0Am 所以A二4.4J由IE5玄定理彳導(dǎo)：b = . 4 = 2于sin B, c = 2-75sin C, dill Jll = a + h + c = 3 2，5(sin B + sin C) = 3 + 2 5sin B + sin(A + B)=3 + 2巾&in B 十 cos 3)=3 + 2/3sinffi+y所以sin(3+9仁惇，1,因?yàn)锳二年，所以B(0, f),所以3+組像y), 則ABC的周長(zhǎng)/的取

20、值范圍為(6, 3+25).與三角形面積有關(guān)問(wèn)題的解題策略求三角形的面積.對(duì)于面積公式S =sin C = acsin B = 1/?csin A,一般是已知哪一 個(gè)角就使用含哪個(gè)角的公式.(2)已知三角形的面積解三角形.與面積有關(guān)的問(wèn)題，一般要利用正弦定理或余弦定理 進(jìn)行邊和角的互化.(3)求有關(guān)三角形面積或周長(zhǎng)的最值(范圍升司題.一般轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)，利 用三角函數(shù)的有界性求解，或利用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，再應(yīng)用基本不等式求解.跟蹤訓(xùn)練.在b. C分別是內(nèi)角A B, C的對(duì)邊，且8為銳角，若耨與，sinB=*，S&i8c=4p,則的值為.5* +sinA 5c a 5c 5解析

21、：由加方二行=五=，由 Smbc - Jcsin B 二斗且 sin B =乎得Jac = 5,聯(lián)立解得a = 5, c = 2,由sin 8二乎且B為銳角知cos 8 4 由余弦定理知二253十4-2X5X2XQ= 14, 二四答案：g.已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為小b, c,而積為S,且滿(mǎn)足4s (bc)2, +c=8,則S的最大值為.解析：由題意得：4X；csin A=a2 - b2 - c2 + 2bc,又 “2 二分十 / - 2bccos A,代入上式得：2csin A =-2Z?ccos A + 2bc,即 sin A + cos A = 1, 立sin(A十習(xí)

22、二1，又0A 因?yàn)?A+ B + C=7it 所以 8 十 C = 7T - A,所以 3sin A = sin C,所以 sin C : sin A = 3 ： 1,選 C.在銳角ABC中，角A, B, C所對(duì)的邊分別為“，b, c,若如4=羋，=3, Sa Jabc=2 貝ij b的值為()A. 6B. 3C. 2D. 2 或 3解析:選D.因?yàn)檩珲?2為=荻/從,所以be = 6,又因?yàn)閟in A =邛所以cos A二;，又二3,由余弦定理得9 = b2 + c2-2hccosA = b2 + c2 -4, 十/二13,可得人工2 或二 3.在aABC中，內(nèi)角A, B,。所對(duì)應(yīng)的邊分別為

23、，b, c,若sin A一于“cos 8=0,且分=,，則丁的值為（）A.乎B. yj2C. 2D. 4解析：選C.在A(yíng)BC中，由戾inA -娟acos8 = 0,利用正弦定理得sin利in A -小sin Acos 8 = 0,所以tanB二小，故8二1.由余弦定理得 h2 = a2 + c2 - 2accos B = a2 + c2 - ac,即 b2 = （a + c）2 - 3ac,又 b2 = ac,所以 4b2 = 3 十 c,求得一一 = 2.設(shè)點(diǎn)P在ZMBC的BC邊所在的直線(xiàn)上從左到右運(yùn)動(dòng)，設(shè)zMBP與ACP的外接圓 面積之比為2,當(dāng)點(diǎn)尸不與8,。重合時(shí)（）A. 2先變小再變大

24、B.當(dāng)M為線(xiàn)段8。中點(diǎn)時(shí)，2最大C.2先變大再變小D.2是一個(gè)定值A(chǔ)D解析：選D.設(shè)aABP與AACP的外接圓半徑分別為 2,則2n=，2m二ACsinzAPC9sin 乙4 P 8因?yàn)镹APB+NAPC二180。，所以sin乙4PB二sin乙4PC,所以/二金,所以2二1二故選D-6.在A(yíng)ABC中，AC AB=AC-AB=3.則A3C而積的最大值為（）A. 回B.呼1C.D. 3J?A解析：選B.設(shè)角A, B, C所對(duì)的邊分別為，b, c,因?yàn)锳CA8 = L4C - AB = 3,所以 becos A = u = 3.，十（2 ./2 3cos A又 cos A - 2hc /-2慶一1-

25、 2 所以cos A*,所以04 - B) = 0,所以 A = 8,所以 a 二；又ABC的面積為S =乩sin C,且4s=2a2 - c2,a2 + b2 - C2rr所以 2asin C - 2cr - c2 = t/2 + /?2 -所以 sin C = = cos C,所以。二不.在A(yíng)BC 中，a, b, c 分別為內(nèi)角4,B,。的對(duì)邊,且 2sinA=(2b+c)sin8+(2c +)sin C.(1)求角A的大小：(2)若sin 8+sin C= I,試判斷ABC的形狀.解：由題意知,根據(jù)正弦定理得力戶(hù)二(2b+c)b十(2c十)c,即a2 = h2 + c2 +次二由余弦定理

26、得a2 = b2 + c2 - 2bccos A,故 cos A =- J, A = 120.(2)由得 sin2A = sin2B + sin2c + sin Bsin C.又 sin B + sin。= 1,故 sin B = sin C = 1.因?yàn)?B90, 0C0,貝！J cos8二二，故。二5.3由知，sin 8二5，由 S二律csinB = 9,得c = 6由從二十c2 - 2accos3= 13,得二413.故ABC的周長(zhǎng)為11+V-能力提升.在aABC中，角A, B, C的對(duì)邊分別是a, b, C,若b=l, a=2c,則當(dāng)。取最大 值時(shí)，ABC的而積為()A.B.坐 TOC

27、 o 1-5 h z C莘D.小解析：選B.當(dāng)C取最大值時(shí)，cos C最小，a2 + b2 - c2 3c2 + 1 (1、小由 csc =中當(dāng)且僅當(dāng)。二羋時(shí)取等號(hào)，且此時(shí)sin C二;，所以當(dāng)C取最大值時(shí)， ABC的面積為焉加in C=1X 2c X 1 X 二坐,“sin A+sin 8-csin C 2s sin Bsin C _ 3 1ZZZ O.在A(yíng)BC中，角A、8、C的對(duì)邊分別是、人c, =2小.若bl, 3,則c的最小值為()B. 3D. 2小a2 + b2 - c2,r二苧sin C,由余弦定理可知A. 2C. 2正 TOC o 1-5 h z asin A + bsin B

28、- csin C 2、八1解析：選B.由sin Bsin C 二3 得a2 +b2 - c2icos C =5,即 3cosc=d3sin C,所以 tan 7 = 43,故 cos C= 5,所以/ =243/2 + 12=g-?。?十9,因?yàn)?“，3,所以當(dāng)人二小時(shí)，C取最小值3.已知在銳角八48。中，角A, B, C的對(duì)邊分別是“，b, c, 2“sin 8=小從b=2, c =3, AO是內(nèi)角的平分線(xiàn)，則8。=.解析：由2/sin B = y3h及正弦定理得2sinzBAC-sin B =小sin B,所以 sinzBAC =坐.因?yàn)镹8AC為銳角，所以NBACq因?yàn)锳O是內(nèi)角平分線(xiàn)，

29、所以呼二差顯由余弦定理彳導(dǎo)BC2 = AC2 + AB2- 24cA8cos/BAC = 4 +9 - 2X2X3x1 = 7,所以= f BD=1巾.答案:.（2019 金華十校聯(lián)考）設(shè)（7的而積為Si，它的外接圓面積為S2，若ABC的三 個(gè)內(nèi)角大小滿(mǎn)足A : B ： C=3 ：4：5,則義的值為.解析：在A(yíng)BC中,A十8十。二兀,又 A：8：C=3：4：5,所以 A 二？ B 二3,C 二討l由正弦定理前二磊二點(diǎn)二2、b、。為ABC中角A、B、。的對(duì)邊，R為AABCg-Li Tvsin A , sin B 八 c所以51二的外接圓書(shū)工）可行 “二江W；,c, 二而下p，R=痂下所以上2sin A-sin B sin C n.在a