數(shù)列的極限-教學(xué)設(shè)計(jì)

1、數(shù)列的極限 教學(xué)設(shè)計(jì)西南位育中學(xué) 肖添憶教材分析數(shù)列的極限為滬教版第七章第七節(jié)第一課時(shí)內(nèi)容，是一節(jié)概念課。極限概念是數(shù)學(xué)中最重要和最基本的概念之一，因?yàn)闃O限理論是微積分學(xué)中的基礎(chǔ)理論，它的產(chǎn)生建立了有限與無(wú)限、常量數(shù)學(xué)與變量數(shù)學(xué)之間的橋梁，從而彌補(bǔ)和完善了微積分在理論上的欠缺。本節(jié)后續(xù)內(nèi)容如：數(shù)列極限的運(yùn)算法則、無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)和的求解也要用到數(shù)列極限的運(yùn)算與性質(zhì)來(lái)推導(dǎo)，所以極限概念的掌握至關(guān)重要。課本在內(nèi)容展開(kāi)時(shí)，以觀察時(shí)無(wú)窮等比數(shù)列的發(fā)展趨勢(shì)為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合數(shù)列與的發(fā)展趨勢(shì)，從特殊到一般地給出數(shù)列極限的描述性定義。在由定義給出兩個(gè)常用極限。但引入部分的表述如“無(wú)限趨近于0，但它永遠(yuǎn)不會(huì)成為0

2、”、“不管n取值有多大，點(diǎn)（n，an）始終在橫軸的上方”可能會(huì)造成學(xué)生對(duì)“無(wú)限趨近”的理解偏差。學(xué)情分析通過(guò)第七章前半部分的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了數(shù)列的有關(guān)概念，以及研究一些特殊數(shù)列的方法。但對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，數(shù)列極限是一個(gè)全新的內(nèi)容，學(xué)生的思維正處于由經(jīng)驗(yàn)型抽象思維向理論型抽象思維過(guò)渡的階段。由于已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)與不當(dāng)?shù)耐评眍?lèi)比，學(xué)生在理解“極限”、“無(wú)限趨近”時(shí)可能產(chǎn)生偏差，比如認(rèn)為極限代表著一種無(wú)法逾越的程度，或是近似值。這與數(shù)學(xué)中“極限”的含義相差甚遠(yuǎn)。在學(xué)習(xí)數(shù)列極限之前，又曾多次利用“無(wú)限趨近”描述反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像特征，這又與數(shù)列中“無(wú)限趨近”的含義有所差異，學(xué)生往往會(huì)因

3、為常數(shù)列能達(dá)到某一個(gè)常數(shù)而否定常數(shù)列存在極限的事實(shí)。教學(xué)目標(biāo)與重難點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)：通過(guò)數(shù)列極限發(fā)展史的介紹，感受數(shù)學(xué)知識(shí)的形成與發(fā)展，更好地把握極限概念的來(lái)龍去脈；經(jīng)歷極限定義在漫長(zhǎng)時(shí)期內(nèi)發(fā)展的過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)家們從概念發(fā)現(xiàn)到完善所作出的努力，從數(shù)列的變化趨勢(shì)，正確理解數(shù)列極限的概念和描述性定義；會(huì)根據(jù)數(shù)列極限的意義，由數(shù)列的通項(xiàng)公式來(lái)考察數(shù)列的極限；掌握三個(gè)常用極限。教學(xué)重點(diǎn)：理解數(shù)列極限的概念教學(xué)難點(diǎn)：正確理解數(shù)列極限的描述性定義四、教學(xué)策略分析在問(wèn)題引入時(shí)著重突出“萬(wàn)世不竭”與“講臺(tái)可以走到”在認(rèn)知上的矛盾，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與求知欲，并由此引出本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容。在極限概念形成時(shí)，結(jié)合極限概念

4、的發(fā)展史展開(kāi)教學(xué)，讓學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)理論不是一成不變的，而是不斷發(fā)展變化的。數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展過(guò)程與學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程有著一定的相似性，學(xué)生在某些概念上的進(jìn)展有時(shí)與數(shù)學(xué)史上的概念進(jìn)展平行。比如部分學(xué)生的想法與許多古希臘的數(shù)學(xué)家一樣，認(rèn)為無(wú)限擴(kuò)大的正多邊形不會(huì)與圓周重合，它的周長(zhǎng)始終小于其外接圓的周長(zhǎng)。教師通過(guò)梳理極限發(fā)展史上的代表性觀點(diǎn)，介紹概念的發(fā)展歷程以及前人對(duì)此的一系列觀點(diǎn)，能幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己可能也存在著類(lèi)似于前人的一些錯(cuò)誤想法。對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程以認(rèn)知角度加以分析，有助于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家的思維方式，了解數(shù)學(xué)概念的發(fā)展，進(jìn)而建構(gòu)推理過(guò)程，使學(xué)生發(fā)生概念轉(zhuǎn)變。在課堂練習(xí)診斷部分，不但要求回答問(wèn)題，還需對(duì)

5、選擇原因進(jìn)行辨析，進(jìn)而強(qiáng)化概念的正確理解。五、教學(xué)過(guò)程提綱與設(shè)計(jì)意圖1.問(wèn)題引入讓一名學(xué)生從距離講臺(tái)一米處朝講臺(tái)走動(dòng)，每次都移動(dòng)距講臺(tái)距離的一半，在黑板上寫(xiě)出表示學(xué)生到講臺(tái)距離的數(shù)列。這名學(xué)生是否能走到講臺(tái)呢？類(lèi)比“一尺之捶,日取其半,萬(wàn)世不竭”，莊子認(rèn)為這樣的過(guò)程是永遠(yuǎn)不會(huì)完結(jié)的，然而“講臺(tái)永遠(yuǎn)走不到”這一結(jié)果顯然與事實(shí)不同，要回答這一矛盾，讓我們看看歷史上的數(shù)學(xué)家們是如何思考的。【設(shè)計(jì)意圖】改編自芝諾悖論的引入問(wèn)題，與莊子的“一尺之捶”產(chǎn)生了認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與求知欲，并引出本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容極限概念的發(fā)展與完善極限概念的發(fā)展經(jīng)歷了三個(gè)階段：從早期以“割圓術(shù)”“窮竭法”為代表的樸素

6、極限思想，到極限概念被提出后因“無(wú)窮小量是否為0”的爭(zhēng)論而引發(fā)的質(zhì)疑，再經(jīng)由柯西、魏爾斯特拉斯等人的工作以及實(shí)數(shù)理論的形成，嚴(yán)格的極限理論至此才真正建立?！驹O(shè)計(jì)意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生梳理極限發(fā)展史上的代表性觀點(diǎn)，了解數(shù)學(xué)家們提出觀點(diǎn)的時(shí)代背景，對(duì)照反思自己的想法，發(fā)現(xiàn)自己可能也存在著類(lèi)似于前人的一些錯(cuò)誤想法。教師在比較概念發(fā)展史上被否定的觀點(diǎn)與現(xiàn)今數(shù)學(xué)界認(rèn)可的觀點(diǎn)時(shí)，會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突。從而可能使學(xué)生發(fā)生概念轉(zhuǎn)變，拋棄不正確的、不完整的、受限的想法，接受新的概念。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，結(jié)合數(shù)學(xué)史展開(kāi)教學(xué)可以讓學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)理論不是一成不變的，而是不斷發(fā)展變化的，從而提升學(xué)生概念轉(zhuǎn)變的動(dòng)機(jī)。數(shù)列極限的概念

7、極限思想的產(chǎn)生最早可追溯于中國(guó)古代。極限理論的完善出于社會(huì)實(shí)踐的需要，不是哪一名數(shù)學(xué)家苦思冥想得出，而是幾代人奮斗的結(jié)果。極限的嚴(yán)格定義經(jīng)歷了相當(dāng)漫長(zhǎng)的時(shí)期才得以完善，它是人類(lèi)智慧高度文明的體現(xiàn)，反映了數(shù)學(xué)發(fā)展的辯證規(guī)律。今天的主題，極限的定義，援引的便是柯西對(duì)于極限的闡述。定義：在n無(wú)限增大的變化過(guò)程中，如果無(wú)窮數(shù)列中的無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)A，那么A叫做數(shù)列的極限，或叫做數(shù)列收斂于A，記作，讀作“n趨向于無(wú)窮大時(shí)，的極限等于A”。在數(shù)列極限的定義中，可用|-A|無(wú)限趨近于0來(lái)描述無(wú)限趨近于A。如前闡述，柯西版本的極限定義雖然不是最完美的，但作為擺脫幾何直觀的首次嘗試，也是歷史上一個(gè)較為成功的版

8、本，在歷史上的地位頗高。有時(shí)，我們也稱其為數(shù)列極限的描述性定義。 【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)比較歷史上不同觀點(diǎn)下的極限定義，教師呈現(xiàn)數(shù)列極限的描述性定義，分析該定義的歷史意義，讓學(xué)生進(jìn)一步明確數(shù)列極限的含義。課堂練習(xí)診斷由數(shù)列極限的定義得到三個(gè)常用數(shù)列的極限:(1)(C為常數(shù))；(2)；(3)當(dāng)|q|1時(shí)，.練習(xí)判斷下列數(shù)列是否存在極限，若存在求出其極限，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由；注：（1）、（2）考察三個(gè)常用極限（3）考查學(xué)生是否能清楚認(rèn)識(shí)到數(shù)列極限概念是基于無(wú)窮項(xiàng)數(shù)列的背景下探討的。當(dāng)項(xiàng)數(shù)無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列的項(xiàng)若無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)，則認(rèn)為數(shù)列的極限存在。因此，數(shù)列極限可以看作是數(shù)列的一種趨于穩(wěn)定的發(fā)展趨勢(shì)。

9、有窮數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是有限的，因而并不存在極限這個(gè)概念。（4）引用柯西的觀點(diǎn)，解釋此處無(wú)限趨近的含義，是指隨著數(shù)列項(xiàng)數(shù)的增加，數(shù)列的項(xiàng)與某一常數(shù)要多接近就有多接近，由此得出結(jié)論：數(shù)列極限與前有限項(xiàng)無(wú)關(guān)且無(wú)窮常數(shù)數(shù)列存在極限的。（5）擴(kuò)充對(duì)三種趨近方式的理解：小于A趨近、大于A趨近和擺動(dòng)趨近。本題中的數(shù)列沒(méi)有呈現(xiàn)出以上三種方式的任意一種。避免學(xué)生將趨近誤解為項(xiàng)數(shù)與常數(shù)間的差距不斷縮小。練習(xí)若A=0.9+0.09+0.009+0.0009+.，則以下對(duì)A的描述正確的是_.A、A是小于1的最大正數(shù) B、A的精確值為1C、A的近似值為1選擇此選項(xiàng)的原因是_由于A的小數(shù)位都是 9，找不到比A大但比1小的數(shù)；A

10、是由無(wú)限多個(gè)正數(shù)的和組成，它們可以一直不斷得加下去，但總小于 2； A表示的數(shù)是數(shù)列0.9，0.99，0.999，0.9999，.的極限； 1與A的差等于 0.0001。注：此題是為考查學(xué)生對(duì)于無(wú)窮小量和極限概念的理解。由極限概念的發(fā)展史可以看出，數(shù)學(xué)家們?cè)L(zhǎng)時(shí)期陷入對(duì)無(wú)窮小概念理解的誤區(qū)中，極大地阻礙了對(duì)極限概念的理解。學(xué)生學(xué)習(xí)極限概念時(shí)可能也會(huì)遇到類(lèi)似的誤區(qū)。練習(xí)順次連接ABC各邊中點(diǎn)A1、B1、C1，得到A1B1C1。取A1B1C1各邊中點(diǎn) A2、B2、C2并順次連接又得到一個(gè)新三角形A2B2C2。再按上述方法一直進(jìn)行下去，那么最終得到的圖形是_.A、一個(gè)點(diǎn) B、一個(gè)三角形 C、不確定

11、選擇此選項(xiàng)的原因是_. 無(wú)限次操作后所得三角形的面積無(wú)限趨近于 0 但不可能等于 0。 當(dāng)操作一定次數(shù)后，三角形的三點(diǎn)會(huì)重合。 該項(xiàng)操作可以無(wú)限多次進(jìn)行下去，因而總能作出類(lèi)似的三角形。 無(wú)限次操作后所得三角形的三個(gè)頂點(diǎn)會(huì)趨向于一點(diǎn)。 注：此題從無(wú)限觀的角度考察學(xué)生對(duì)極限概念的的理解。學(xué)生容易忽視極限概念中的實(shí)無(wú)限，他們?cè)谝曈X(jué)上采用無(wú)窮疊加的形式，但是會(huì)受最后一項(xiàng)的慣性思維，導(dǎo)致采用潛無(wú)限的思辨方式。所謂實(shí)無(wú)限是指把無(wú)限的整體本身作為一個(gè)現(xiàn)成的單位，是可以自我完成的過(guò)程或無(wú)窮整體。相對(duì)地，潛無(wú)限是指把無(wú)限看作永遠(yuǎn)在延伸著的，一種變化著成長(zhǎng)著不斷產(chǎn)生出來(lái)的東西。它永遠(yuǎn)處在構(gòu)造中，永遠(yuǎn)完成不了，是潛在的，而不是實(shí)在的。持有潛無(wú)限觀點(diǎn)的學(xué)生在理解極限概念時(shí)，會(huì)將極限理解為是一個(gè)漸進(jìn)過(guò)程，或是一個(gè)不可達(dá)到的極值。通過(guò)習(xí)題，分析總結(jié)以下三個(gè)注意點(diǎn)：數(shù)列有極限必須是一個(gè)無(wú)窮數(shù)列，但無(wú)窮數(shù)列不一定有極限存在；“無(wú)限趨近”不能用“越來(lái)越接近”代替，例如數(shù)列可以說(shuō)隨著n的無(wú)限增大，數(shù)列的項(xiàng)與-1會(huì)越來(lái)越接近，但這種接近不是無(wú)限趨近，所以不能說(shuō)；數(shù)列趨向極限A的過(guò)程可有多種呈現(xiàn)形式?！驹O(shè)計(jì)意圖】通過(guò)例題與選項(xiàng)原因的分析，消除關(guān)于數(shù)列極限理解的三類(lèi)誤區(qū)：第一類(lèi)是將數(shù)列極限等同于如下的三種概念：漸近線