4.4感生電磁感應(yīng)

1、44感生電磁感應(yīng)導(dǎo)體相對(duì)磁場(chǎng)靜止，由于磁場(chǎng)的變化而引起導(dǎo)體內(nèi)感生電動(dòng)勢(shì)的現(xiàn)象叫感生電磁感應(yīng)。即：.S、a均不變，但B變而使得變。產(chǎn)生原因:.分析：.回路置于變化的磁場(chǎng)里，最簡(jiǎn)單的方法就是回路平面和磁場(chǎng)垂直，回.1Api；路中會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì),如果回路閉合就有感應(yīng)電流RAt，如果回路不閉合，感生電動(dòng)勢(shì)仍是At，不產(chǎn)生感應(yīng)電流。這是法拉等的發(fā)現(xiàn)。由于法拉第自身不可避免的局限，他沒(méi)有再追究這一現(xiàn)象的深層本質(zhì)。接過(guò)接力棒再創(chuàng)佳績(jī)的是麥克斯韋，他指出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)其實(shí)跟導(dǎo)體的性質(zhì)和種類無(wú)關(guān)，純粹是由變化多端的磁場(chǎng)引起的。放置了閉合回路，回路中就有電流，這只是表面現(xiàn)象，不是事情的本質(zhì)。麥克斯韋相信，即使不在導(dǎo)

2、體回路，變化著的磁場(chǎng)也能在其周圍空間激發(fā)一種稱為渦旋電場(chǎng)的場(chǎng)，渦旋電場(chǎng)和靜電場(chǎng)的共同點(diǎn)就是對(duì)電荷都有作用力，當(dāng)然差異點(diǎn)也有不少。例如靜電荷它可以單獨(dú)存在，其電場(chǎng)線是閉合的無(wú)頭尾無(wú)始終。如果恰好變化磁場(chǎng)中有閉合導(dǎo)體回路，變化磁場(chǎng)產(chǎn)生的渦旋電場(chǎng)電場(chǎng)線跟導(dǎo)體不垂直因而分解出與導(dǎo)體相切的分量，導(dǎo)體中的自由電荷受其作用力就會(huì)定向移動(dòng)成為電流。這就是感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的非靜電力的來(lái)源。麥克斯韋最早分析了這種情況，他敏感地預(yù)見(jiàn)到這一現(xiàn)象，表明電場(chǎng)和磁場(chǎng)之間必然有某種當(dāng)時(shí)尚未發(fā)現(xiàn)的新關(guān)系。讓我們更具體地分析：.一個(gè)物理場(chǎng)，既圖4-4-1呈現(xiàn)某種空間分布又隨時(shí)間依一定規(guī)律變化。我們說(shuō)這個(gè)場(chǎng)是空間和時(shí)間的函數(shù)。磁場(chǎng)和電場(chǎng)

3、一樣，是矢量場(chǎng)。如果說(shuō)它是勻強(qiáng)的，是指它非穩(wěn)恒，空間分布狀況不變但隨時(shí)間改變其大小，場(chǎng)線會(huì)隨時(shí)間變密或變疏。本題中變化磁場(chǎng)產(chǎn)生渦旋電場(chǎng)的問(wèn)題，按麥克斯韋的理論，是一個(gè)十分復(fù)雜的問(wèn)題。僅在非常特殊的場(chǎng)合，再附加上非?？量痰臈l件，場(chǎng)的分布才是很確定的，中學(xué)階段我們面對(duì)的模型幾乎都是這樣的:.磁場(chǎng)被限制在一個(gè)圓柱狀空間，有理想邊界即磁場(chǎng)在邊界上突變，在界內(nèi)勻強(qiáng)，在圓柱外突變?yōu)榱?。磁感線跟圓柱軸線平行，在與磁場(chǎng)垂直的平面上磁場(chǎng)邊界是有限大的圓。按麥克斯韋理論:.如果磁場(chǎng)隨時(shí)間均勻變化，那么產(chǎn)生的渦旋電場(chǎng)就不隨時(shí)間變化；如果磁場(chǎng)隨時(shí)間是振蕩的，那么產(chǎn)生的渦旋電場(chǎng)就是同頻率振蕩的，如圖4-4-1所示。渦旋

4、電場(chǎng)的電場(chǎng)線是一系列環(huán)抱磁感線的同心圓。沿這些同心圓的半徑方向放置導(dǎo)體，導(dǎo)體上是不可能產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的，在這個(gè)方向上導(dǎo)體內(nèi)的帶電粒子即受到渦旋電場(chǎng)力作用也不會(huì)沿導(dǎo)體定向移動(dòng)。如果有環(huán)形導(dǎo)體恰好與電場(chǎng)線平行，導(dǎo)體上能產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，那是確定無(wú)疑的。在上述這些特殊條件下，由變化磁場(chǎng)產(chǎn)生的渦旋電場(chǎng)，其特征是:.空間各點(diǎn)的E渦一定處在與磁場(chǎng)垂直的平面上，即渦沒(méi)有跟B平行的分量；磁場(chǎng)邊界內(nèi)外都有三渦。上面說(shuō)過(guò)E渦的場(chǎng)線是與磁場(chǎng)邊界同心封閉圓，任何一個(gè)磁場(chǎng)邊界同心的圓周上任意一點(diǎn)的左渦沿切線方向；左渦的指向與磁場(chǎng)變化的關(guān)系遵從楞次定律，即E渦的方向就是感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的方向；左渦的大小，可以從渦旋電場(chǎng)力是非靜電

5、力這一點(diǎn)出發(fā)來(lái)推導(dǎo)，根據(jù)電動(dòng)勢(shì)定義，電動(dòng)勢(shì)應(yīng)等于單位正電荷從電源負(fù)極通過(guò)電源內(nèi)部移往正極，單位正電荷在回路上繞行一周，非靜電力做功W二Wq二E-2，此處設(shè)該回路半徑為r,又根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定s=S=兀廠2-律3AtAt，這兩個(gè)在本質(zhì)與現(xiàn)象的關(guān)系，其實(shí)是一回事，數(shù)廠cAbrAbE-2兀r=nr2E值上應(yīng)相等，即渦At，所以渦2At。該結(jié)果僅適用于rWR的范圍（R是磁場(chǎng)邊界半徑），其說(shuō)明E渦大小由兩個(gè)因素決定:.一是磁感應(yīng)強(qiáng)度變ABABABE2兀r=兀R2化率At；二是r，如果At是恒量，那么,在rR處，渦At，r2Ab磁通量9二BS中的S，只能計(jì)及有磁感線穿過(guò)的面積沢R2,E渦二2?可。請(qǐng)我A

6、b們關(guān)注石這個(gè)物理量，這是一個(gè)非常重要的物理量，以下的每個(gè)A類例題和BAb類例題，我們都要跟石打交道。產(chǎn)生感應(yīng)電磁現(xiàn)象的原因是由于感生渦旋電場(chǎng)的作用，假如有一個(gè)局限在圓柱形范圍內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B,B的方向平行于圓柱體的軸。當(dāng)B的大小在增加時(shí)，感生電場(chǎng)的方向如圖圖4-4-2所示。根據(jù)對(duì)稱性，在回路上各點(diǎn)處的感生電場(chǎng)方向必然與回路想切，感生電場(chǎng)的電場(chǎng)線是一些同心圓。因此，感生電場(chǎng)的電感線是閉合線，無(wú)頭無(wú)尾，像旋渦一樣，所以由磁場(chǎng)變化而激發(fā)的電場(chǎng)也叫旋渦電場(chǎng)。而靜電場(chǎng)的電感線卻是起于正電荷而終于負(fù)電荷，是有頭有尾的。這是一個(gè)很重要的區(qū)別。根據(jù)電動(dòng)勢(shì)和電場(chǎng)的關(guān)系，如果磁場(chǎng)區(qū)域半徑為R，回路的半徑為r，回路

7、上的電場(chǎng)強(qiáng)度為E，則因?yàn)锳=nr2AB,圖4-4-2所以有r.AB2石5r2.Ab、2rAt441、磁場(chǎng)中導(dǎo)體的感生電動(dòng)勢(shì)在一個(gè)半徑為R的長(zhǎng)直螺線管中通有變化的電流，使管內(nèi)圓柱形的空間產(chǎn)生變化的磁場(chǎng)，且AB/At0（圖4-4-3）。如果在螺線管橫截面內(nèi)，放置一根長(zhǎng)為R的導(dǎo)體棒ab，使得oa=ab=ob，那么ab上的感生電動(dòng)勢(shì)eab是多少？如果將導(dǎo)體棒延伸到螺線管外，并使得ab=bc=R呢？前面已說(shuō)過(guò):.長(zhǎng)直通電螺線管內(nèi)是勻強(qiáng)磁場(chǎng)，而管外磁場(chǎng)為零，所以本題研究的是一個(gè)圓柱形勻強(qiáng)磁場(chǎng)。盡管根據(jù)前述E的表達(dá)式，可知ab棒所在各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度，但要根據(jù)這些場(chǎng)強(qiáng)來(lái)求出8ab卻要用到積分的知識(shí)，因此，一般中

8、學(xué)生無(wú)法完成，我們可取個(gè)等邊三角形面積oab，因?yàn)閛a和ob垂直于感生電場(chǎng)的電力線，所以oa和ob上沒(méi)有感生電動(dòng)勢(shì)。又根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，oab回路上的感生電動(dòng)勢(shì)紅二空R2ABAt4At這也就是8ab的大小。nCAB12丿如果將ab延伸到c，則可研究Aoac，根據(jù)同樣的道理圖4-4-3可知8ac很明顯，上面這個(gè)問(wèn)題可以這樣解的前提是磁場(chǎng)局限于圓柱形內(nèi)。如果一根導(dǎo)體棒是放在一個(gè)寬廣的或是其它范圍不規(guī)則的磁場(chǎng)內(nèi)，那是得不出上述結(jié)果的，假如將一個(gè)導(dǎo)體閉合回路放在磁場(chǎng)中，對(duì)磁場(chǎng)就沒(méi)有那么嚴(yán)格的要求了，這類問(wèn)題一般說(shuō)來(lái)同學(xué)們是熟悉的，但如果是一個(gè)比較復(fù)雜的電路放在磁場(chǎng)中，處理時(shí)就要用一些新的方法。4

9、42、磁場(chǎng)中閉合電路的感生電動(dòng)勢(shì)圖4-4-5(a)(b)個(gè)比圖4-4-4較復(fù)雜的閉合電路的感生電流的問(wèn)題，一般除了用到有關(guān)電磁感應(yīng)的知識(shí)以外還要用到解復(fù)雜電路的回路電壓定律和節(jié)點(diǎn)電流定律。將一個(gè)半徑a、電阻為r的圓形導(dǎo)線，接上一個(gè)電阻為R的電壓表后按圖4-4-4(a)、(b)兩種方式放在磁場(chǎng)中，連接電壓表的導(dǎo)線電阻可忽略，(a)、(b)中的圓心角都是0。均勻變化的磁場(chǎng)垂直于圓面，變化率AB/d=k。試問(wèn)(a)、(b)中電壓表的讀數(shù)各為多少？因?yàn)殡妷罕淼淖x數(shù)與它兩端的正負(fù)無(wú)關(guān)，所以可以任意假設(shè)磁場(chǎng)B的方向和變化率的正負(fù)。現(xiàn)在我們?cè)O(shè)B垂直于紙面向里，且AB/At=k0(圖4-4-5)。S二a2)回

10、路OPS1Q的面積12兀，回路OPS2Q的面積2兀C)S二吭a2722兀。這兩個(gè)回路單獨(dú)存在時(shí)的感生電流方向相同，都是逆時(shí)針的，感生電動(dòng)勢(shì)的大小分別為)k兀a27k,ABA?18/8=0/(2兀-9)12PS1Q段導(dǎo)線和QS2P段導(dǎo)線電阻分別為02兀一0R=r,R=ri2兀22兀如圖4-4-6中標(biāo)出的電流，應(yīng)該有I=I-IV21對(duì)兩個(gè)回路分別列出電壓方程8=IR-1R,111V8=IR+IR222v(R為伏特表的內(nèi)阻)。由、可解得I?(2兀-0丄+兀RiL2兀即有=I12因此所以圖4-4-4(a)的接法中電壓表的讀數(shù)為零。再看圖4-4-4(b)中的接法:.電流設(shè)定如圖4-4-6,圖4-4-6小

11、回路和大回路的感生電動(dòng)勢(shì)大小分別為8,=S學(xué)=岸-兀a2-1a2sin0kiiAt12兀2丿f一a2+1a2sin0kI2兀2丿=1ka2-sin0）2L=S孝22At=-ka2（2兀一0+sin0）2丁12R2+IVR（R為伏特表的內(nèi)阻）。由上述方程可解得I-2兀2a2ksin0/0（2兀-0）工V由些可知電壓表的讀數(shù)為V=IR=2兀2a2ksin0/V本問(wèn)題中我們用到的電流方程（如式）和回路電壓方程（如、式），實(shí)際上就是上一講中提到過(guò)的基爾霍夫方程。在解決電磁感應(yīng)的問(wèn)題時(shí)，用電壓回路方程十分方便，因?yàn)殡姶鸥袘?yīng)的電動(dòng)勢(shì)是分布在整個(gè)回路上的。附:.靜電場(chǎng)與感生電場(chǎng)的比較就產(chǎn)生原因而言，靜電場(chǎng)是

12、靜止電荷產(chǎn)生的，而感生電場(chǎng)是變化多端的磁場(chǎng)激發(fā)的。就性質(zhì)而言，當(dāng)單位正電荷繞封閉合回路一周靜電場(chǎng)力的功為零。當(dāng)感生電場(chǎng)驅(qū)使單位正電荷繞付線圈一周時(shí)，感生電場(chǎng)力的功不為零，其數(shù)值恰為副線圈內(nèi)產(chǎn)生的感生電動(dòng)勢(shì)，數(shù)值上等于通過(guò)副線圈的磁通量對(duì)時(shí)間的變化率。靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)，感生電場(chǎng)是非保守場(chǎng)。靜電場(chǎng)的電力線是有頭有尾的不封閉曲線，而感生電場(chǎng)的電力線是無(wú)頭無(wú)尾的閉合曲線。靜電場(chǎng)是有源場(chǎng)，而感生電場(chǎng)是無(wú)源場(chǎng)。典型例題例1、無(wú)限長(zhǎng)螺線管的電流隨時(shí)間作線性變化（M/At=常數(shù)）時(shí)，其內(nèi)部的磁感應(yīng)強(qiáng)度B也隨時(shí)間作線性變化。已知AB/At的數(shù)值，求管內(nèi)外的感生電場(chǎng)。解:如圖4-4-7所示為螺線管的橫截面圖，C表示

13、螺線管的邊緣，其半徑為R。由于對(duì)稱性以及感生電場(chǎng)的電力線是一些封閉曲線的性質(zhì)，可知管內(nèi)外的感生電場(chǎng)電力線都是與C同心的同心圓，因此:.cA=E2兀r當(dāng)rVR時(shí)，感AtE-丄孚S感2兀rAt2兀rAtrAb2當(dāng)rR時(shí)R2ABE感=牙瓦E2兀r學(xué).兀rR2感At所以PE感的大小在管內(nèi)與r成正比，在管外與r成反比。感生電場(chǎng)電力線的方向Ab可由楞次定律確定，當(dāng)At0時(shí)，電力線方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?。?、在一無(wú)限長(zhǎng)密繞螺線管中有一均勻磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間線性變化（即AB/At=常數(shù)），求螺線管內(nèi)橫截面上長(zhǎng)為l的直線段MN上的感生電動(dòng)勢(shì)。（橫截面圓的圓心O到MN的垂直距離為h）解:求感生電動(dòng)勢(shì)有兩種方法。（

14、1）根據(jù)電動(dòng)勢(shì)的定義:.某一線段上的感生電動(dòng)勢(shì)等于感生電場(chǎng)搬運(yùn)單位正電荷沿此段運(yùn)動(dòng)時(shí)所做的功。在MN上任選一小段Al，O點(diǎn)到Al距離為r,AlP處的E感如圖4-4-8所示，與A的夾角為感生電場(chǎng)沿A移動(dòng)單位正電荷所做的功為AA=E感感Icos0AA=LAB-Alcos02AtErcos0=hAA=2氣Al把MN上所有&的電動(dòng)勢(shì)相加,聖1ABai=1hiAB(2)用法拉第定律求解。連接OM，ON，則封閉回路三角形OMN的電動(dòng)勢(shì)等于2At2At其所包圍的磁通量的變化率。1=BS=IhB2aiAb=hl-At2AtPOM和ON上各點(diǎn)的感生電場(chǎng)先感均各自與0M和ON垂直，單位正電荷OM和ON上移動(dòng)時(shí)，感生電場(chǎng)的功為零，故OM和ON上的感生電動(dòng)勢(shì)為零，封閉回路OMNO的電動(dòng)勢(shì)就是MN上的電動(dòng)勢(shì)。電動(dòng)勢(shì)的方向可由楞次定律確定。例3、兩根長(zhǎng)度相度、材料相同、電阻分別為R和2R的細(xì)導(dǎo)線，圍成一直徑為D的圓環(huán)，P、Q為其兩個(gè)接點(diǎn)，如圖4-4-9所示。在圓環(huán)所圍成的區(qū)域內(nèi),存在垂直于圓指向紙面里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度的大小隨時(shí)間增大，變化率為恒定值b。已知圓環(huán)中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是均勻分布的。設(shè)MN為圓環(huán)上的兩點(diǎn),MN間的弧長(zhǎng)為半