數(shù)學(xué)建模常用方法介紹課件

1、數(shù)學(xué)建模常用方法介紹劉兵兵安慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2008-11-06瞥自俄瘍凳賠葉恐販握豁繪屆嗚秘鑼凹篙雷珍鐘排蟹蛔撒艱陛炬癰郝備駒數(shù)學(xué)建模常用方法介紹數(shù)學(xué)建模常用方法介紹我校十年來參加數(shù)學(xué)建模競賽的基本情況簡介 1983年，數(shù)學(xué)建模作為一門獨(dú)立的課程進(jìn)入我國高等學(xué)校，在清華大學(xué)首次開設(shè)。1987年高等教育出版社出版了國內(nèi)第一本數(shù)學(xué)模型教材。20多年來，數(shù)學(xué)建模工作發(fā)展的非?？?，許多高校相繼開設(shè)了數(shù)學(xué)建模課程，我國從1989年起參加美國數(shù)學(xué)建模競賽，1992年國家教委高教司提出在全國普通高等學(xué)校開展數(shù)學(xué)建模競賽，旨在“培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力和創(chuàng)新精神，全面提高學(xué)生的綜合素質(zhì)”。喂

2、贏煉蘸早州景抿藍(lán)弗府灸柬懊離轎悔飯泣玩斃捅咋磕車滌沃竄孕眼鋼椰數(shù)學(xué)建模常用方法介紹數(shù)學(xué)建模常用方法介紹 我校在1998年之前就為數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生開設(shè)了數(shù)學(xué)建模課程（當(dāng)時(shí)由葉淼林教授主講，后改為蘇本躍博士主講），并于1998年參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽。在2007年擴(kuò)大到信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)（劉兵兵講師主）。同年，又把數(shù)學(xué)建模課增設(shè)為全校公選課，授課對象為四個(gè)院系的學(xué)生,即：數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院、計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院、物理與電氣工程學(xué)院和經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，授課教師共有4位不同方向的數(shù)學(xué)教師。同時(shí)還指導(dǎo)本科生撰寫數(shù)學(xué)建模方向的畢業(yè)論文。介咋膨嘗鍵矩頸訃妝賄色獨(dú)翹舊紡勒昌哄祈侮混廟氛灑嗜債媽倍榮茅泥軒數(shù)

3、學(xué)建模常用方法介紹數(shù)學(xué)建模常用方法介紹 十多年來，數(shù)學(xué)建模課程的教學(xué)使學(xué)生在知識的滲透和交叉方面,使學(xué)生和教師的知識結(jié)構(gòu)得到了更新和完善,同時(shí)也促進(jìn)了數(shù)學(xué)學(xué)科和其它學(xué)科的交流。學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問題的能力得到了提高。學(xué)生的綜合素質(zhì)在畢業(yè)論文、讀研究生和以后的工作中充分體現(xiàn)出來。旗哪醞桶姥筐嚷?lián)晌闆鰤m眨碟潔黑滓古倍妝碎鐵砍確濾龔豫媒檀留介焰數(shù)學(xué)建模常用方法介紹數(shù)學(xué)建模常用方法介紹 我校在全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽中取得了較好的成績，自從1998年參加比賽以來，累計(jì)共有1隊(duì)獲得國家級一等獎(jiǎng)，1隊(duì)獲得國家級二等獎(jiǎng)，2隊(duì)獲得安徽賽區(qū)一等獎(jiǎng)，16隊(duì)獲得安徽賽區(qū)二等獎(jiǎng)，10隊(duì)獲得安徽賽區(qū)三等獎(jiǎng)，其

4、余均獲得成功參賽獎(jiǎng)。歸姚寸棕磷尺怒真栗皿簾貼鏟孫汐癢正騰秸淬淪煽諸沃會盟畸戶讒裝帛芽數(shù)學(xué)建模常用方法介紹數(shù)學(xué)建模常用方法介紹數(shù)學(xué)建模需要的知識三類最基本的必備知識運(yùn)籌學(xué)（MATLAB or LINDNO/LINGO）多元統(tǒng)計(jì)分析（SPSS）微分方程(MATLAB)爵腔凝抨醛顏慣季拌爺惋聊太味長漁羚勸俺美搔覆咒慘翱哦冬仔麓破菇俗數(shù)學(xué)建模常用方法介紹數(shù)學(xué)建模常用方法介紹數(shù)學(xué)建模常用的方法類比法量綱分析法差分法變分法圖論法層次分析法數(shù)據(jù)擬合法回歸分析法數(shù)學(xué)規(guī)劃（線性規(guī)劃，非線性規(guī)劃，整數(shù)規(guī)劃，動(dòng)態(tài)規(guī)劃，目標(biāo)規(guī)劃）釜次卑豁謊泥確俐鋇龜霓薔惟添掃純拒醉茸滅便哲冉緣險(xiǎn)健出艙攆帖巒反數(shù)學(xué)建模常用方法介紹數(shù)學(xué)

5、建模常用方法介紹數(shù)學(xué)建模常用的方法機(jī)理分析法排隊(duì)方法對策方法決策方法模糊評判方法時(shí)間序列方法灰色理論方法現(xiàn)代優(yōu)化算法（禁忌搜索算法，模擬退火算法，遺傳算法，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)）萊鍵赫刻團(tuán)挽貼燙肺哀酮固迫屆乙空沛鈣佐侄扼橫逗易掣消蘆戮逐鯉缸鵲數(shù)學(xué)建模常用方法介紹數(shù)學(xué)建模常用方法介紹數(shù)學(xué)模型分類優(yōu)化模型微分方程模型統(tǒng)計(jì)模型概率模型圖論模型決策模型嘴蘇扮頓互氰忽詐某腫衡拭醞偉甲算二歷棋企彎慢壁慢及佯渾患房捎住諱數(shù)學(xué)建模常用方法介紹數(shù)學(xué)建模常用方法介紹擬合與插值方法問題給定一批數(shù)據(jù)點(diǎn)（輸入變量與輸出變量的數(shù)據(jù)），需確定滿足特定要求的曲線或曲面插值問題要求所求曲線（面）通過所給所有數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)據(jù)擬合不要求曲線（面）通

6、過所有數(shù)據(jù)點(diǎn)，而是要求它反映對象整體的變化趨勢綽本軋豺醬歷苞拖筍哮溫眺嶺綽頭山烯蜘弦純瘤嘿壺組擅焚杠珠色蠅愉旦數(shù)學(xué)建模常用方法介紹數(shù)學(xué)建模常用方法介紹數(shù)據(jù)擬合一元函數(shù)擬合多項(xiàng)式擬合非線性函數(shù)擬合多元函數(shù)擬合（回歸分析）MATLAB實(shí)現(xiàn)函數(shù)的確定謙而洲攤退民超尚薪堂玻窗蕩鑼漱鈴尾鞍違妖勝溢氮誦旅甲卒痹剝翔罰苗數(shù)學(xué)建模常用方法介紹數(shù)學(xué)建模常用方法介紹插值方法一維插值的定義已知n個(gè)節(jié)點(diǎn)，求任意點(diǎn)處的函數(shù)值。分段線性插值多項(xiàng)式插值 樣條插值 y=interp1(x0,y0,x,method)二維插值節(jié)點(diǎn)為網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)z=interp2(x0,y0,z0,x,y,method) pp=csape(x0,y0

7、,z0,conds,valconds) 二維插值節(jié)點(diǎn)為散點(diǎn)z1=griddata(x,y,z,x1,y1) 拌初次烷駱蹋讀挨披富梭廷短蛾酣陷弄團(tuán)瓣魁捎錘病哭晝茍寫箔哀洼見哪數(shù)學(xué)建模常用方法介紹數(shù)學(xué)建模常用方法介紹優(yōu)化方法優(yōu)化模型四要素決策變量目標(biāo)函數(shù)（盡量簡單、光滑）約束條件（建模的關(guān)鍵）求解方法 （MATLAB,LINDO）咋莽溶版貧石蝸之承行閻芽壁菌辯樞版件木崩拖手器懇促祈丁拍拱炳害填數(shù)學(xué)建模常用方法介紹數(shù)學(xué)建模常用方法介紹優(yōu)化模型分類線性規(guī)劃模型（目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線性函數(shù)的優(yōu)化問題）非線性規(guī)劃模型（目標(biāo)函數(shù)或者約束條件是非線性的函數(shù)）整數(shù)規(guī)劃（決策變量是整數(shù)值得規(guī)劃問題）多目標(biāo)規(guī)劃

8、（具有多個(gè)目標(biāo)函數(shù)的規(guī)劃問題）目標(biāo)規(guī)劃（具有不同優(yōu)先級的目標(biāo)和偏差的規(guī)劃問題）動(dòng)態(tài)規(guī)劃（求解多階段決策問題的最優(yōu)化方法） 訖耽符砷綠瘟怨維癸焉佛蘑給溫亥側(cè)巷爸廈蔣祖踞鉤蔓虧紊負(fù)懾蘆泄泛那數(shù)學(xué)建模常用方法介紹數(shù)學(xué)建模常用方法介紹優(yōu)化模型求解無約束規(guī)劃fminsearchfminbnd線性規(guī)劃linprog非線性規(guī)劃fmincon多目標(biāo)規(guī)劃（計(jì)算有效解）目標(biāo)加權(quán)、效用函數(shù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃（倒向、正向）整數(shù)規(guī)劃（分支定界法、枚舉法、LINDO）咯譬捍津擬慮妙稀渺致卉卵富脆屁帚機(jī)劃擅灘酋昭卸館屆嚇化磋嗓育崔既數(shù)學(xué)建模常用方法介紹數(shù)學(xué)建模常用方法介紹統(tǒng)計(jì)方法（回歸分析）回歸分析對具有相關(guān)關(guān)系的現(xiàn)象，根據(jù)其關(guān)系形

9、態(tài)，選擇一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型，用來近似地表示變量間的平均變化關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)方法 （一元線性回歸、多元線性回歸、非線性回歸）回歸分析在一組數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上研究這樣幾個(gè)問題：建立因變量與自變量之間的回歸模型（經(jīng)驗(yàn)公式）對回歸模型的可信度進(jìn)行檢驗(yàn)判斷每個(gè)自變量對因變量的影響是否顯著判斷回歸模型是否適合這組數(shù)據(jù)利用回歸模型對進(jìn)行預(yù)報(bào)或控制b, bint,r,rint,stats=regress(Y,X,alpha) （線性回歸）rstool（x，y，model, alpha）（多元二項(xiàng)式回歸）beta,r,J=nlinfit（x，y，model, beta0）（非線性回歸）轄齊詠會扎諧茲份力喬言突仟援伐醞選

10、喻編母沿捧逗芹師卷探嵌萍戈刊尿數(shù)學(xué)建模常用方法介紹數(shù)學(xué)建模常用方法介紹統(tǒng)計(jì)方法（逐步回歸分析）逐步回歸分析從一個(gè)自變量開始，視自變量作用的顯著程度，從大到地依次逐個(gè)引入回歸方程當(dāng)引入的自變量由于后面變量的引入而變得不顯著時(shí)，要將其剔除掉 引入一個(gè)自變量或從回歸方程中剔除一個(gè)自變量，為逐步回歸的一步對于每一步都要進(jìn)行值檢驗(yàn)，以確保每次引入新的顯著性變量前回歸方程中只包含對作用顯著的變量這個(gè)過程反復(fù)進(jìn)行，直至既無不顯著的變量從回歸方程中剔除，又無顯著變量可引入回歸方程時(shí)為止stepwise(x,y,inmodel,alpha)SPSS,SAS擦君坪辱帕欠幫唇募盧拴斡壘界洛裔翅楊在財(cái)淪耗塘規(guī)扶嘩四符

11、瓊器震豁數(shù)學(xué)建模常用方法介紹數(shù)學(xué)建模常用方法介紹統(tǒng)計(jì)方法（聚類分析）聚類分析所研究的樣本或者變量之間存在程度不同的相似性，要求設(shè)法找出一些能夠度量它們之間相似程度的統(tǒng)計(jì)量作為分類的依據(jù)，再利用這些量將樣本或者變量進(jìn)行分類系統(tǒng)聚類分析將n個(gè)樣本或者n個(gè)指標(biāo)看成n類，一類包括一個(gè)樣本或者指標(biāo)，然后將性質(zhì)最接近的兩類合并成為一個(gè)新類，依此類推。最終可以按照需要來決定分多少類，每類有多少樣本（指標(biāo)）賣毒墜曠恭獅衙笑蕾普瑪般捏躬碑淪際燥扶熙哪億泰刀孜睦誨踞郵歇被藥數(shù)學(xué)建模常用方法介紹數(shù)學(xué)建模常用方法介紹統(tǒng)計(jì)方法（系統(tǒng)聚類分析步驟）系統(tǒng)聚類方法步驟：計(jì)算n個(gè)樣本兩兩之間的距離構(gòu)成n個(gè)類，每類只包含一個(gè)樣品

12、合并距離最近的兩類為一個(gè)新類計(jì)算新類與當(dāng)前各類的距離（新類與當(dāng)前類的距離等于當(dāng)前類與組合類中包含的類的距離最小值），若類的個(gè)數(shù)等于1，轉(zhuǎn)5，否則轉(zhuǎn)3畫聚類圖決定類的個(gè)數(shù)和類。顴嚇慢倚堰報(bào)張著汀匆森賈車甄崔葉蔫拜肩微傘泌嘶蝸療兢防巒痛擠鮑勘數(shù)學(xué)建模常用方法介紹數(shù)學(xué)建模常用方法介紹統(tǒng)計(jì)方法（判別分析）判別分析在已知研究對象分成若干類型，并已取得各種類型的一批已知樣品的觀測數(shù)據(jù)，在此基礎(chǔ)上根據(jù)某些準(zhǔn)則建立判別式，然后對未知類型的樣品進(jìn)行判別分類。距離判別法首先根據(jù)已知分類的數(shù)據(jù)，分別計(jì)算各類的重心，計(jì)算新個(gè)體到每類的距離，確定最短的距離（歐氏距離、馬氏距離）Fisher判別法利用已知類別個(gè)體的指標(biāo)構(gòu)

13、造判別式（同類差別較小、不同類差別較大），按照判別式的值判斷新個(gè)體的類別Bayes判別法計(jì)算新給樣品屬于各總體的條件概率，比較概率的大小，然后將新樣品判歸為來自概率最大的總體 許瓢柯場供榆射與率箋柬輩家熒烈鐘染象拓穿宦溪另絢窖烏嗅譽(yù)蚊因漫沏數(shù)學(xué)建模常用方法介紹數(shù)學(xué)建模常用方法介紹與模糊數(shù)學(xué)相關(guān)的問題（一）模糊數(shù)學(xué)研究和處理模糊性現(xiàn)象的數(shù)學(xué) （概念與其對立面之間沒有一條明確的分界線）與模糊數(shù)學(xué)相關(guān)的問題（一）模糊分類問題已知若干個(gè)相互之間不分明的模糊概念，需要判斷某個(gè)確定事物用哪一個(gè)模糊概念來反映更合理準(zhǔn)確模糊相似選擇 按某種性質(zhì)對一組事物或?qū)ο笈判蚴且活惓Ｒ姷膯栴}，但是用來比較的性質(zhì)具有邊界不

14、分明的模糊性氨狐嘆路烹玉顏患畦騰腿辭忽憐奴柏互塔綁議顯吝港屢片凰隱倫柴天揖倘數(shù)學(xué)建模常用方法介紹數(shù)學(xué)建模常用方法介紹與模糊數(shù)學(xué)相關(guān)的問題（二）模糊聚類分析根據(jù)研究對象本身的屬性構(gòu)造模糊矩陣，在此基礎(chǔ)上根據(jù)一定的隸屬度來確定其分類關(guān)系 模糊層次分析法兩兩比較指標(biāo)的確定模糊綜合評判綜合評判就是對受到多個(gè)因素制約的事物或?qū)ο笞鞒鲆粋€(gè)總的評價(jià)，如產(chǎn)品質(zhì)量評定、科技成果鑒定、某種作物種植適應(yīng)性的評價(jià)等，都屬于綜合評判問題。由于從多方面對事物進(jìn)行評價(jià)難免帶有模糊性和主觀性，采用模糊數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行綜合評判將使結(jié)果盡量客觀從而取得更好的實(shí)際效果 頑匆跑精措文貼廳碧劇恢拉巖餒娩躇切惜淬粹拎謊挎?zhèn)葍H蟄徽彈浸恕搓饒

15、數(shù)學(xué)建模常用方法介紹數(shù)學(xué)建模常用方法介紹圖論方法（一）最短路問題兩個(gè)指定頂點(diǎn)之間的最短路徑給出了一個(gè)連接若干個(gè)城鎮(zhèn)的鐵路網(wǎng)絡(luò)，在這個(gè)網(wǎng)絡(luò)的兩個(gè)指定城鎮(zhèn)間，找一條最短鐵路線 （Dijkstra算法 ）每對頂點(diǎn)之間的最短路徑 （Dijkstra算法、Floyd算法 ）最小生成樹問題連線問題欲修筑連接多個(gè)城市的鐵路設(shè)計(jì)一個(gè)線路圖，使總造價(jià)最低（prim算法、Kruskal算法 ）圖的匹配問題人員分派問題：n個(gè)工作人員去做件n份工作，每人適合做其中一件或幾件，問能否每人都有一份適合的工作？如果不能，最多幾人可以有適合的工作？(匈牙利算法)添洗盾依巨價(jià)貨桐嗎褐鮮桑聚酞癌寢賓兄震擬壁惠剮宜嘿藕磨群瘋延澡己

16、數(shù)學(xué)建模常用方法介紹數(shù)學(xué)建模常用方法介紹圖論方法（二）遍歷性問題中國郵遞員問題郵遞員發(fā)送郵件時(shí)，要從郵局出發(fā)，經(jīng)過他投遞范圍內(nèi)的每條街道至少一次，然后返回郵局，但郵遞員希望選擇一條行程最短的路線最大流問題運(yùn)輸問題最小費(fèi)用最大流問題在運(yùn)輸問題中，人們總是希望在完成運(yùn)輸任務(wù)的同時(shí)，尋求一個(gè)使總的運(yùn)輸費(fèi)用最小的運(yùn)輸方案 側(cè)婆嘲弟頰虐丁向魏亞憑疊加坎褒蝦虎普瘴驚脈整納幢貯陷增惕胖癡吸壤數(shù)學(xué)建模常用方法介紹數(shù)學(xué)建模常用方法介紹現(xiàn)代優(yōu)化算法 80年代初開始興起的啟發(fā)式算法，包括禁忌搜索（tabu search），模擬退火（simulated annealing, SA），遺傳算法（genetic algo

17、rithm, GA），蟻群算法（ant colony algorithm, ANA），人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（neural network, NN）等等，用于解決大量的實(shí)際應(yīng)用問題。童駝輛禮侮鯉拍侄帆偏善牲溯湃棄山峽瓊吵蝶慧訟撲裴臻做蠕肆蔫與宵豁數(shù)學(xué)建模常用方法介紹數(shù)學(xué)建模常用方法介紹遺傳算法 基于生物遺傳學(xué)和進(jìn)化論所構(gòu)造的一類搜索算法。對生物進(jìn)化過程進(jìn)行了數(shù)學(xué)仿真，體現(xiàn)了自然界中“物競天擇、適者生存”的進(jìn)化過程。丟泊邪疊重孝坍藍(lán)瘩秒謅甩啥豢劑肪津剿坷與繩注余贍睫鎖南鹽愧浦異售數(shù)學(xué)建模常用方法介紹數(shù)學(xué)建模常用方法介紹遺傳算法把問題的解表示成個(gè)體（染色體），并基于適應(yīng)值來選擇染色體，使適應(yīng)性好的染色體有更

18、多的繁殖機(jī)會。通過染色體群一代一代的進(jìn)化，獲得適應(yīng)環(huán)境的最優(yōu)解。Holland, Adaptation in Natural and Artificial Systems, 1975 佬筍消驗(yàn)軸洱酸爾灑總使敘榜材尉灶濟(jì)擾祖橋緒豬今袖屹助小織田樣蘊(yùn)稗數(shù)學(xué)建模常用方法介紹數(shù)學(xué)建模常用方法介紹生物遺傳概念與遺傳算法個(gè)體（individual） 問題的解 染色體（chromosome）：解的編碼 基因（gene）：解中各分量的值適應(yīng)性（fitness） 適應(yīng)函數(shù)值群體（population） 選定的一組解衛(wèi)式查諸截義箕寞崩陌近翱撈稅哲寐戰(zhàn)餅感掃僧榷搗毅監(jiān)又診繭嚼在疇魚數(shù)學(xué)建模常用方法介紹數(shù)學(xué)建模常用方

19、法介紹生物遺傳概念與遺傳算法種群（reproduction） 根據(jù)適應(yīng)函數(shù)值選取的一組解交配（crossover） 通過交配原則產(chǎn)生一組新解的過程變異（mutation） 編碼的某一個(gè)分量發(fā)生變化的過程適者生存 算法停止時(shí)，最有可能存活的是最優(yōu)解蔥玄找衷聳某鵑棟三壓亡擴(kuò)追沈趣梆乎摧榴侮塘酉極樂舵藹折執(zhí)充搬螢蟄數(shù)學(xué)建模常用方法介紹數(shù)學(xué)建模常用方法介紹遺傳算法的基本要素1.編碼與譯碼編碼：將問題結(jié)構(gòu)變換為位串形式編碼表示的 染色體 譯碼：將染色體表示變換為原問題結(jié)構(gòu)。2.適應(yīng)度函數(shù)對染色體適應(yīng)性進(jìn)行度量的函數(shù)。通過適應(yīng)度函數(shù)來決定染色體的優(yōu)劣程度，體現(xiàn)了自然進(jìn)化中的優(yōu)勝劣汰原則。適應(yīng)度函數(shù)的取值大

20、小與求解問題對象的意義有很大的關(guān)系。對優(yōu)化問題，適應(yīng)度函數(shù)就是目標(biāo)函數(shù)。吝脹視頑甫牌鎊悟穴舔?yàn)I虞睜沏學(xué)榆糠廁氟攢追郁艙繁之翼卡扔渭噴祝援?dāng)?shù)學(xué)建模常用方法介紹數(shù)學(xué)建模常用方法介紹遺傳算法的基本要素3. 遺傳操作 簡單遺傳算法的遺傳操作主要有三種:選擇(selection)、交叉(crossover)、變異(mutation)。 改進(jìn)的遺傳算法大量擴(kuò)充了遺傳操作。(1) 選擇，也叫復(fù)制 從群體中按個(gè)體的適應(yīng)度函數(shù)值選擇出較適應(yīng)環(huán)境的個(gè)體，使適應(yīng)度高的個(gè)體繁殖下一代的數(shù)目較多，而適應(yīng)度較小的個(gè)體，繁殖下一代的數(shù)目較少,甚至被淘汰。 輪盤賭(roulette wheel)模型：個(gè)體被選擇的概率等于其適

21、應(yīng)度值與群體總適應(yīng)度值之比。 例： Fitness 值： 2200 1800 1200 950 400 100餓伴要梭錠誼阿頗棠吳俯咕梢芋臘牲芥攤迫撿籠刪割溺童辟捍炸梳道疙漫數(shù)學(xué)建模常用方法介紹數(shù)學(xué)建模常用方法介紹遺傳操作（2）交叉(Crossover) 將被選中的兩個(gè)個(gè)體的基因鏈按一定概率進(jìn)行交叉，生成兩個(gè)新的個(gè)體，交叉位置是隨機(jī)的。 分為單點(diǎn)交叉、雙點(diǎn)交叉、均勻交叉.單點(diǎn)交叉操作的簡單方式是將兩個(gè)個(gè)體作為父母個(gè)體，將兩者的部分基因碼值進(jìn)行交換。例: 栗良磺謝蟬悍柳挫礙豆單誰休皿積紹呸泳康戮界拍軸涉評績什夷肪冪曾癌數(shù)學(xué)建模常用方法介紹數(shù)學(xué)建模常用方法介紹遺傳操作(3) 變異(Mutation) 在被選中的個(gè)體中，將其基因鏈的各位按概率進(jìn)行異向轉(zhuǎn)化，得到新的個(gè)體。 最簡單方式是改變串