描述地下水運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型及其解法課件

1、1.7 描述地下水運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型及其解法7/27/20221一、數(shù)學(xué)模型的有關(guān)概念 數(shù)學(xué)模型：描述某一研究區(qū)地下水流運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)方程與其定解條件共同構(gòu)成的表示某一實(shí)際問題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。亦即從物理模型出發(fā)，用簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)語言，即一組數(shù)學(xué)關(guān)系式來刻畫它的數(shù)量關(guān)系和空間形式，從而反映所研究地質(zhì)體的地質(zhì)、水文地質(zhì)條件和地下水運(yùn)動(dòng)的基本特征，達(dá)到復(fù)制或再現(xiàn)一個(gè)實(shí)際水流系統(tǒng)基本狀態(tài)的目的的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。 其中微分方程表示地下水的流動(dòng)規(guī)律，定解條件表明研究對(duì)象所處的特定環(huán)境條件，即所研究的地下水流的真實(shí)狀態(tài)。 定解問題是給定了方程（或方程組）和相應(yīng)定解條件的數(shù) 學(xué)物理問題。 建立模型是指建立數(shù)學(xué)模型的過程。7/2

2、7/20222二、描述滲流問題的數(shù)學(xué)模型 前面介紹的承壓含水層、越流系統(tǒng)和潛水含水層中滲流基本微分方程，稱為滲流的支配方程（Governing equation）：反映了含水層系統(tǒng)中各變量之間的關(guān)系。 一個(gè)含水層系統(tǒng)中的滲流狀況不僅取決于各變量之間的關(guān)系，而且還取決于滲流區(qū)域的邊界條件和初始條件，邊界條件和初始條件統(tǒng)稱為含水層系統(tǒng)滲流的定解條件。7/27/20223 支配方程數(shù)學(xué)模型 初始條件 定解條件 邊界條件 確定型(學(xué)習(xí)的重點(diǎn))常見數(shù)學(xué)模型 隨機(jī)型7/27/20224三、定解條件.初始條件（Initial conditions） 初始條件：是指給定的某選定時(shí)刻（通常t=）滲流區(qū)內(nèi)各點(diǎn)的水

3、頭H的分布情況。 H0，H0為空間和平面區(qū)域上的已知函數(shù)。如研究平面問題，某一時(shí)刻所測(cè)的等水頭線即可作為初值。7/27/20225注意： a、初始條件對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，隨計(jì)算時(shí)間的延長(zhǎng)而減弱； b、初始條件并非地下水的原始狀態(tài)或未開發(fā)以前的狀態(tài)； c、初始條件可根據(jù)需要任意選取。7/27/20226.邊界條件（Boundary conditions） 指滲流區(qū)域幾何邊界上的水力性質(zhì)（所處的條件），用來表示水頭或滲流量在滲流區(qū)邊界上所應(yīng)滿足的條件，也就是滲流區(qū)水流與其周圍環(huán)境相互制約的關(guān)系。 （1）第一類邊界條件 若在滲流區(qū)的某部分邊界上各點(diǎn)在每一時(shí)刻的水頭是已知的，則稱這部分邊界為第一類邊界或

4、給定水頭邊界，常表示為：分別表示在三維和二維條件下邊界上的點(diǎn)在t時(shí)刻的水頭分別表示三維和二維條件下邊界上的水位已知函數(shù)7/27/20227常見的第一類邊界有： 河流或湖泊切割含水層，二者有密切的水力聯(lián)系，此時(shí)，河湖的水位是已知的，水頭 或 是由河湖水位的統(tǒng)計(jì)資料得到的關(guān)于t的函數(shù)；但要注意，某些河、湖底部及兩側(cè)沉積有一些粉砂、亞粘土和粘土，使地下水和地表水的直接水力聯(lián)系受阻，就不能作為第一類邊界條件來處理。 在自然界，這種情況很少見。就是附近有河流、湖泊，也不一定能處理為定水頭邊界，還要視河流、湖泊與地下水水力聯(lián)系的情況，以及這些地表水體本身的徑流特征而定。在沒有充分依據(jù)的情況下，不要隨意把某

5、段邊界確定為定水頭邊界，以免造成很大誤差。7/27/20228泉水溢出帶：其標(biāo)高即為水位資料，但必須保證溢出帶不消失；區(qū)域的抽水井、注水井或疏干巷道也可作為給定水頭邊界處理；無限邊界 亦為第一類邊界；潛水面任一點(diǎn)的水位已知時(shí)，抽水井井壁水位為一類邊界。7/27/20229 （2）第二類邊界條件 當(dāng)已知滲流區(qū)某部分邊界上的流量分布時(shí)，稱這部分邊界為第二類邊界或給定流量邊界。相應(yīng)的邊界條件表示為： 式中：n為邊界 或 的外法線方向； q1和q2為已知函數(shù)，分別表示 上單位面積和 上單位寬度的側(cè)向補(bǔ)給量。 7/27/202210常見的二類邊界條件有（給定流量邊界）: 隔水邊界為零通量邊界： 地下分水

6、嶺：無水流通過，也為零通量邊界； 流線為零通量邊界； 研究區(qū)內(nèi)的抽水井或注水井，需要時(shí)作為內(nèi)邊界，取井壁為 第二類邊界： 由達(dá)西定律可知： 式中：r為徑向距離； Q為抽水井流量（Q0為注水井流量） 由于此時(shí)外法線方向n趨近于井中心，所以上式寫為：7/27/202211（3）第三類邊界條件（混合邊界）若某邊界 或 上的和 的線性組合為已知，即 其中： 為已知函數(shù)，這種類型的邊界條件稱為第三類邊界條件或混合邊界條件。注意： 1求解非穩(wěn)定滲流問題時(shí)，數(shù)學(xué)模型應(yīng)包括支配方程、初始條件和邊界條件。 2對(duì)于穩(wěn)定流問題，數(shù)學(xué)模型僅有支配方程和邊界條件。7/27/202212三、建立數(shù)學(xué)模型的實(shí)例例 潛水非穩(wěn)定流方程 W7/27/202213例2 設(shè)想如圖所示的水文地質(zhì)條件 設(shè)w（x , y ,t）為單位時(shí)間、單位面積上的補(bǔ)給量，即補(bǔ)給強(qiáng)度，P (x , y, t)為開采區(qū)單位面積上的抽水量，試寫出其數(shù)學(xué)模型。7/27/202214Hz7/27/202215四、數(shù)學(xué)模型的解法A.解析法：適用于邊界條件簡(jiǎn)單的地區(qū)，一般徑流 影響范圍為200300m，其解為精確解，常用來驗(yàn) 證數(shù)值解是否正確。B.數(shù)值法：適用于較復(fù)雜的邊界條件和數(shù)學(xué)模型。有限單元法、有限差分法、邊界元法其解為近似解，所以模型需