復(fù)變函數(shù)與積分變換第2章解析函數(shù)精課件

1、第2章 解析函數(shù)解析函數(shù)是具有某種特性的復(fù)變函數(shù)，它是復(fù)分析研究的主要對象之一，本章首先給出復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義，然后引入解析函數(shù)的概念及判別函數(shù)解析的方法，最后討論初等解析函數(shù)及其性質(zhì) 2.1解析函數(shù)的概念2.1.1復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分(1)復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)把一元實(shí)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)概念形式推廣到復(fù)變函數(shù)中來，就得到復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念.定義2.1設(shè)w=f(z)是定義在區(qū)域D內(nèi)的復(fù)變函數(shù)，z0,z0+zD，若極限存在，則稱f(z)在點(diǎn)z0可導(dǎo)，這個極限值稱為f(z)在z0的導(dǎo)數(shù)，記作即式（2.1）意味著 0，=()0，使得當(dāng)0|z|0，使得當(dāng)0|zz0|0時，有（2）復(fù)變函數(shù)的微分下面將一元實(shí)變函數(shù)的微

2、分概念推廣到復(fù)變函數(shù)，得到定義2.2設(shè)函數(shù)w=f(z)在點(diǎn)z0的某鄰域 內(nèi)有定義，A是一個復(fù)常數(shù)若在N(z0)內(nèi)有其中 是關(guān)于z的高階無窮小，即 ， 則稱函數(shù)w=f(z)在點(diǎn)z0可微，w的線性部分Az稱為函數(shù)w在點(diǎn)z0的微分，記為特別是當(dāng)w=z時，dz=z，于是式(2.2)可表示為容易證明，如果函數(shù)w=f(z)在點(diǎn)z0可導(dǎo)，則一定在該點(diǎn)可微，反之亦然，并且微分與導(dǎo)數(shù)有如下關(guān)系：因此,導(dǎo)數(shù)也稱為微商下面我們列出復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，其證明方法與微積分中方法類似.如果函數(shù)f(z)，g(z)在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo)，則在對任意zD有設(shè)函數(shù)=g(z)在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo)，w=f()在區(qū)域G內(nèi)可導(dǎo)，且對于D內(nèi)每一點(diǎn)z

3、，函數(shù)值=g(z)均在區(qū)域G內(nèi)，則對任意zD有設(shè)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo)且f(z)0，G為w=f(z)的值域，若z=(w)是w=f(z)的單值反函數(shù)，且在G上連續(xù)，則z=(w)在G上可導(dǎo)，且2.1.2解析函數(shù)在很多理論和實(shí)際問題中，需要研究的是區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，下面給出定義.定義2.3若函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo)，則稱f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析；若存在區(qū)域G，使得閉區(qū)域 ，且f(z)在區(qū)域G內(nèi)解析，則稱f(z)在閉區(qū)域D上解析；若函數(shù)w=f(z)在點(diǎn) 的某個鄰域內(nèi)解析，則稱f(z)在點(diǎn) 處解析顯然，函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析的充分必要條件是它在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)都解析.若函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D

4、內(nèi)的解析，也稱f(z)為區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)或D內(nèi)的正則函數(shù)，特別地，在全平面上解析的函數(shù)稱為整函數(shù).函數(shù)w=f(z)的不解析點(diǎn)，稱為f(z)的奇點(diǎn)由例2.1知，函數(shù) 在 上可導(dǎo)，因而在 上的解析，從而是一個整函數(shù)由例2.2可知，函數(shù) 在 上處處不可導(dǎo)，因此,z在 上處處不解析，即 上所有點(diǎn)都是z的奇點(diǎn).例2.3考察函數(shù) 的可導(dǎo)性與解析性解由例2.1、例2.2知 在C 上可導(dǎo)， 在 上處處不可導(dǎo)，從而由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則知，函數(shù)f(z)= 在z0時不可導(dǎo).當(dāng)z=0時,可得即 在z=0處可導(dǎo)綜上所述，函數(shù)f(z)= 僅在z=0可導(dǎo)，故在全平面C上處處不解析由復(fù)變函數(shù)的求導(dǎo)法可推出解析函數(shù)的以下性質(zhì):定

5、理2.1解析函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）仍是解析函數(shù).設(shè)函數(shù)=g(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，w=f()在區(qū)域G內(nèi)解析，且 zD，函數(shù)值=g(z)均在區(qū)域G內(nèi)，則fg(z)在區(qū)域D內(nèi)解析.設(shè)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且f(z)0，G為w=f(z)的值域，若z=(w)是w=f(z)的單值反函數(shù)，且在G上連續(xù)，則z=(w)在G上解析.由此可知，多項(xiàng)式是全平面上的解析函數(shù)；有理分式函數(shù)（其分子與分母是互質(zhì)多項(xiàng)式）在分母不為零的點(diǎn)處是解析的2.2C.-R.條件有例子表明，即便u(x,y),v(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微，甚至有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)也不能保證f(z)的可導(dǎo)性，比如函數(shù)f(z)= 的實(shí)部u(x,y)=

6、x,虛部v(x,y)=y,它們在任意一點(diǎn)(x,y)處都有任意階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，但由本章例2.2可知，復(fù)函數(shù)f(z)= 在任意一點(diǎn)z=x+iy處都不可導(dǎo).當(dāng)函數(shù)f(z)可導(dǎo)時，它的實(shí)部與虛部并不是獨(dú)立的，而是有一定的依賴關(guān)系，由此可得到下述定理：定理2.2f(z)=u(x,y)+i(x,y)在某點(diǎn)z=x+iy可導(dǎo)的充分必要條件是u(x,y),v(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微；在點(diǎn)(x,y)處有此時f(z)的導(dǎo)數(shù)為稱式(2.3)為柯西黎曼（Cauch-Riemann）方程，或簡稱為C.-R.條件證必要性記z=x+iy，f(z+z)f(z)=u+iv，f(z)=a+ib，若f(z)在點(diǎn)z=x+iy可微，

7、則有其中 ，且 根據(jù)復(fù)數(shù)相等的意義，得由此說明u(x,y)與v(x,y)在點(diǎn)z=x+iy可微，并且在點(diǎn)z=x+iy有即滿足C.-R.條件式(2.3)充分性因?yàn)閡(x,y)與v(x,y)在點(diǎn)z處可微，所以有由C.-R.條件式(2.3)及上述兩式有將上式兩端同除以z，并讓z0，即得因此,函數(shù)f(z)在點(diǎn)z處可導(dǎo)且式（2.4）成立.下面例子表明將定理2.1中條件減弱為u(x,y),v(x,y)在點(diǎn)(x,y)處存在偏導(dǎo)數(shù)且滿足C.-R.條件，則不能保證f(z)存在例2.4證明 的實(shí)部、虛部在點(diǎn)(0,0)處偏導(dǎo)數(shù)存在且滿足C.-R.條件，但f(z)在點(diǎn)z=0處不可導(dǎo)事實(shí)上，此時 v(x,y)=0，所以在

8、點(diǎn)z=0處有即函數(shù) 在點(diǎn)z=0處滿足C.-R.條件式(2.3).但由于不存在，所以 在點(diǎn)z=0處是不可導(dǎo)由定義2.3及定理2.2，便可得到復(fù)變函數(shù)f(z)解析的等價刻畫定理2.3f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析的充分必要條件是u(x,y)與v(x,y)在D內(nèi)處處可微，且在D內(nèi)處處滿足C.-R.條件式(2.3)定理2.4若u(x,y)與v(x,y)在區(qū)域D內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且在D內(nèi)滿足C.-R.條件式(2.3)，則f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內(nèi)解析例2.5判別下列函數(shù)的可導(dǎo)性與解析性，并在可導(dǎo)點(diǎn)處求出導(dǎo)數(shù).解設(shè)w=u(x,y)+iv(x,y),此時u(x,y)=x

9、,v(x,y)=y，故它們在C上處處不滿足C.-R.條件，故w= 在C上處處不可導(dǎo)，處處不解析因?yàn)?在平面上處處可微且于是在直線 上 從而 在直線 上任意一點(diǎn) 處可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)為但 在C上處處不解析.當(dāng)z0時， 都是可微函數(shù)且即滿足C.-R.條件，因此, 在區(qū)域C 0內(nèi)處處可導(dǎo)，從而在C 0內(nèi)處處解析，其導(dǎo)數(shù)為 例2.6設(shè)f(z)是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，且在D內(nèi)|f(z)|等于常數(shù)，則f(z)在D內(nèi)也為常數(shù).證明設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，z=x+iyD，由已知|f(z)|=C(zD,C為常數(shù))，即有上式中兩端分別對x，y求偏導(dǎo)可得因?yàn)閒(z)是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，則在D內(nèi)有由式(2

10、.5)、式(2.6)得注意則C=0時，即在D內(nèi)有 ，于是在D內(nèi)有u0,v0，故在D內(nèi)f(z)0；當(dāng)C0時，則齊次線性方程組(2.7)只有零解，即在D內(nèi)由C.-R.條件，在D內(nèi)也有從而在D內(nèi)u(x,y)，v(x,y)均為常數(shù)，所以在D內(nèi)f(z)是常數(shù) 2.3初等函數(shù)本節(jié)討論復(fù)數(shù)域上的初等函數(shù)，它們是微積分中基本初等函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的延拓特別要注意的是，復(fù)變初等函數(shù)與相應(yīng)的實(shí)變函數(shù)在性質(zhì)上會有所不同，如指數(shù)函數(shù)ez具有周期性，正弦函數(shù)sin z和余弦函數(shù)cos z在定義域內(nèi)不再有界等2.3.1指數(shù)函數(shù)定義2.4設(shè) ，則由表示的復(fù)數(shù)w稱為z的指數(shù)函數(shù)，記為 對于實(shí)數(shù)z=x而言， 便是通常的實(shí)變數(shù)的指數(shù)

11、函數(shù)；對于純虛數(shù)z=iy而言， ，這便是Euler公式，所以指數(shù)函數(shù)的定義是Euler公式的推廣指數(shù)函數(shù)具有以下幾個重要的性質(zhì)： 的定義域?yàn)橛邢迯?fù)平面 ，且 是C上的解析函數(shù)，且(ez)=ez； ，有 是以2i為周期的周期函數(shù)；函數(shù) (w0,)把z平面上的寬度為2的帶形區(qū)域均映射為w平面上的角形區(qū)域G=C 負(fù)實(shí)軸及原點(diǎn)證因?yàn)?，故 依定義知：它們在全平面上處處可微且滿足C.-R.條件，故 在 上處處解析，且設(shè) 依指數(shù)函數(shù)定義得同理可證第二個等式.事實(shí)上， 有設(shè)z=x+iy， ，則由 ，可得 于是當(dāng)y=y0時，有=y0，表明它將z平面上的水平直線y=y0映射為w平面上的射線=y0；而當(dāng)x=x0時

12、，有 表明它將z平面上的直線段“x=x0且y”映射為w平面上的圓周 (圖2.1) 圖2.1當(dāng)z平面上的動直線從y=0掃動到直線y=y0時，對應(yīng)的像就在w平面上就從射線=0掃動到射線=y0.從而z平面上的帶形區(qū)域z|0Im zy0映射為w平面上的角形區(qū)域w|0arg wy0特別地， 把z平面上的帶形區(qū)域z|Im z0時，主值支ln z=ln x，就是實(shí)變數(shù)對數(shù)函數(shù).對數(shù)函數(shù)的性質(zhì):對數(shù)函數(shù)w=Ln z的定義域?yàn)?0；對數(shù)函數(shù)w=Ln z是一個多值函數(shù)，并且任意兩個值之間相差2i的整數(shù)倍；對數(shù)函數(shù)w=Ln z的任意一個單值分支 都在區(qū)域 G= 負(fù)實(shí)軸及原點(diǎn)內(nèi)解析，且即 為對數(shù)函數(shù)w=Ln z的第k

13、個單值解析分支;證由對數(shù)函數(shù)定義知，性質(zhì)、顯然成立.由于z=ew在區(qū)域 內(nèi)解析，且(ew)=ew0，G= 負(fù)實(shí)軸及原點(diǎn)為函數(shù)z=ew(wDk)的值域（見指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)），又每個wk=（Ln z)k是z=ew的單值反函數(shù)，且在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)，由定理2.1的第條結(jié)論知：wk=（Ln z)k在區(qū)域G內(nèi)解析，且由對數(shù)函數(shù)的定義知恒等式成立，另一方面，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得故于是式（2.11）的第一個等式得證，同理可證第二個等式成立.例2.7求Ln(1)和2 Ln i的值.解注上例表明， 一般而言，對任意非零復(fù)數(shù)z及正整數(shù)n，等式不再成立，這是與實(shí)變函數(shù)的對數(shù)性質(zhì)不同之處.例2.8求Ln z在z=1取值4i

14、的那一支在z=i時的值.解Ln 1=ln|1|+i(arg 1+2k)=2ki(k )，要使Ln 1=4i，即2ki=4i，故k=2，所以2.3.3冪函數(shù)定義2.6設(shè)a 0，由 表示的復(fù)數(shù)w稱為復(fù)變量z的冪函數(shù).記為 ,即 ，冪函數(shù)的性質(zhì)與a有關(guān)，詳述如下： 若 ，則 就是函數(shù)z自乘n次得到的函數(shù)，它是 上單值解析函數(shù)，且 若 ，則 它是 0上的單值解析函數(shù)，且若 (p,q為互質(zhì)的整數(shù))，則 是 0上的q值函數(shù)，它在區(qū)域G= 負(fù)實(shí)軸及原點(diǎn)內(nèi)可分成q個單值解析分支且對每個k有特別地，若 ，則 就是根式函數(shù) ，它在區(qū)域G= 負(fù)實(shí)軸及原點(diǎn)內(nèi)有n個單值解析分支且若a是無理數(shù)或虛數(shù)時，za是定義域?yàn)?0

15、的無窮多值函數(shù)，它在區(qū)域G= 負(fù)實(shí)軸及原點(diǎn)內(nèi)可以分出無窮多個單值解析分支：且證、的證明類似，我們只證明.事實(shí)上，由冪函數(shù)的定義和指數(shù)函數(shù)的周期性及運(yùn)算性質(zhì)有再由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及例2.1可知式(2.12)成立.由冪函數(shù)的定義它只在k=0,1,，q1時才取不同的值，故式(2.13)成立.因?yàn)?在 上解析，Ln z在G= 負(fù)實(shí)軸及原點(diǎn)內(nèi)可分成單值解析分支（Ln z)k，故復(fù)合函數(shù)在 負(fù)實(shí)軸及原點(diǎn)內(nèi)可分成單值解析分支再由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，對每個k(=0,1,q1)有和任意的zG= 負(fù)實(shí)軸及原點(diǎn)有因?yàn)?當(dāng)a是無理數(shù)或虛數(shù)時， 對于不同的 取不同的值，此時式(2.15)有無窮多個值，再由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得

16、證畢.綜上所述，當(dāng)a是整數(shù)時， 是單值的；當(dāng)a是其他情形時， 是多值的.此時我們稱za中對應(yīng)于Ln z的主值支的那一支 為 的主值支.例2.9求 的值解例2.10求 的主值解因?yàn)?其主值為2.3.4三角函數(shù)與雙曲函數(shù)定義2.7規(guī)定并分別稱為復(fù)變數(shù)z的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)顯然，當(dāng)z=x是實(shí)數(shù)時，由Euler公式知，以上定義的三角函數(shù)與實(shí)的三角函數(shù)定義一致.正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的基本性質(zhì)：sin z，cos z都是 上單值解析函數(shù)，且有sin z和cos z都是以2為周期的周期函數(shù)，即sin z是奇函數(shù)，cos z是偶函數(shù)，即 有在 上成立的三角恒等式在 內(nèi)都成立，如：sin z=0的零點(diǎn)為 cos

17、z=0的零點(diǎn)為在 內(nèi)，|sin z|和|cos z|都是無界的證明由指數(shù)函數(shù)的解析性質(zhì)及解析函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)知，sin z，cos z都是C上單值解析函數(shù)，且同理可證另一個.因?yàn)?都以2i為周期，故 都以2為周期，于是由定義2.7知sin z和cos z都以2為周期.直接由定義2.7容易驗(yàn)證.在此僅證第一個等式.事實(shí)上，由定義由定義2.7，sin z=0的充要條件為 設(shè)z=+i，則 ,故 從而 類似可得cos z=0的零點(diǎn)為事實(shí)上， 可見，當(dāng)|y|無限增大時，|cos z|趨于無窮大同理可證|sin z|也是無界的其他三角函數(shù)如下：它們都在分母不為零處解析，且有定義2.8規(guī)定并分別稱為復(fù)變數(shù)z的

18、雙曲正弦、雙曲余弦、雙曲正切、雙曲余切、雙曲正割、雙曲余割函數(shù)由定義2.7，定義2.8知，雙曲函數(shù)與三角函數(shù)可以互化，例如通過計算容易得到等等，從而由三角函數(shù)的性質(zhì)可以直接得到雙曲函數(shù)的性質(zhì)，例如，由可見sinh z為奇函數(shù)，同理可得cosh z為偶函數(shù)；且都是以2i為周期的周期函數(shù)；并有關(guān)系式等，此外，sh z與ch z都是 上的解析函數(shù)，且有2.3.5反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)三角函數(shù)的反函數(shù)稱為反三角函數(shù)，雙曲函數(shù)的反函數(shù)稱為反雙曲函數(shù)我們知道三角函數(shù)與雙曲函數(shù)均是通過指數(shù)函數(shù)來表達(dá)的，而指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，因而反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)應(yīng)該可通過對數(shù)函數(shù)來表達(dá)我們先從反正弦函數(shù)開始若z=sin w，則稱w為z的反正弦函數(shù)，記作w=Arcsin z下面來推導(dǎo)Arcsin z的表達(dá)式由定義2.7，有即解之得即從而有同理可得，反余弦函數(shù)w=Arccos z的表達(dá)式反正切函數(shù)Arctan z的表達(dá)式反余切函數(shù)Arccot z的表達(dá)式類似地，可以推導(dǎo)出所有反雙曲函數(shù)的表達(dá)式，具體地有反雙曲正弦函數(shù)Arcsinh z的表達(dá)式反雙曲余弦函數(shù)Arccosh z的表達(dá)式反雙曲正切函數(shù)Arctanh z的表達(dá)式反雙曲余切函數(shù)Arccoth z的表達(dá)式根據(jù)對數(shù)的無窮多值性可