【課件】1.4空間向量的應用 課件-2022-2023學年高二上學期數(shù)學人教Ａ版(2019)選擇性必修第一冊

1、1.4空間向量的應用第一章空間向量與立體幾何目錄二、知識講解三、小結(jié)四、練習一、上節(jié)回溯五、本章知識結(jié)構(gòu)一、上節(jié)回溯空間向量及其運算的坐標表示空間直角坐標系空間中點的坐標表示空間兩點間的距離表示空間向量的坐標表示空間向量運算的坐標表示數(shù)乘運算加減運算數(shù)量積運算1空間中點、直線和平面的向量表示二、知識講解如何用向量表示空間中的一個點？思考PpO二、知識講解我們知道，空間中給定一個點 A 和一個方向就能唯一確定一條直線 l如何用向量表示直線 l ？思考a APB l 1空間中點、直線和平面的向量表示二、知識講解你能證明這個結(jié)論嗎？a APB l O1空間中點、直線和平面的向量表示二、知識講解一個定

2、點和兩個定方向能否確定一個平面？進一步地，一個定點和一個定方向能否確定一個平面？如果能確定，如何用向量表示這個平面？思考PbOa1空間中點、直線和平面的向量表示二、知識講解BPpOACab1空間中點、直線和平面的向量表示二、知識講解PlAa如果另有一條直線m，在直線 m 上任取向量 b，b 與 a 有什么關系？1空間中點、直線和平面的向量表示二、知識講解例1如圖，在長方體 ABCD-A1B1C1D1 中，AB4，BC3，CC12，M 是 AB 的中點以 D 為原點，DA，DC， DD1 所在直線分別為 x 軸，y 軸，z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標系（1）求平面 BCC1B1 的法向量；（

3、2）求平面 MCA1 的法向量zxyAA1BB1CC1D1DM1空間中點、直線和平面的向量表示二、知識講解zxyAA1BB1CC1D1DM二、知識講解由直線與直線、直線與平面或平面與平面的平行關系，可以得到直線的方向向量、平面的法向量間的什么關系？思考l1u2l2u12空間中直線、平面的平行二、知識講解n2n1lnu2空間中直線、平面的平行二、知識講解nPvuab2空間中直線、平面的平行二、知識講解zxyAA1BB1CC1D1DP2空間中直線、平面的平行二、知識講解類似空間中直線、平面平行的向量表示，在直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系中，直線的方向向量、平面的法向量之間有什么關系？

4、思考一般地，直線與直線垂直，就是兩直線的方向向量垂直；直線與平面垂直，就是直線的方向向量與平面的法向量平行；平面與平面垂直，就是兩平面的法向量垂直3空間中直線、平面的垂直二、知識講解u1l1l2u2nl2u2n1n23空間中直線、平面的垂直二、知識講解 我們隨時隨地看到向量運算的作用，你同意“向量是軀體，運算是靈魂” “沒有運算的向量只能起路標的作用”的說法嗎？3空間中直線、平面的垂直二、知識講解AA1BB1CC1D1D3空間中直線、平面的垂直二、知識講解unl3空間中直線、平面的垂直二、知識講解PAQul已知直線 l 的單位方向向量為 u，A 是直線 l 上的定點，P 是直線 l 外一點如何

5、利用這些條件求點 P 到直線 l 的距離？探究4用空間向量研究距離問題二、知識講解PAQul類比點到直線的距離的求法，如何求兩條平行直線之間的距離？思考4用空間向量研究距離問題二、知識講解PAQnl4用空間向量研究距離問題二、知識講解例6如圖，在棱長為 1 的正方體 ABCD-A1B1C1D1 中，E 為線段 A1B1 的中點，F(xiàn) 為線段 AB 的中點（1）求點 B 到直線 AC1 的距離；（2）求直線 FC 到平面 AEC1 的距離分析：根據(jù)條件建立空間直角坐標系，用坐標表示相關的點、直線的方向向量和平面的法向量，再利用有關公式，通過坐標運算得出相應的距離zxyAA1BB1CC1D1EDF4

6、用空間向量研究距離問題二、知識講解與用平面向量解決平面幾何問題的“三步曲”類似，我們可以得出用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”：（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（2）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關系以及它們之間的距離和夾角等問題；（3）把向量運算的結(jié)果“翻譯”成相應的幾何結(jié)論4用空間向量研究距離問題二、知識講解ABCMDN5用空間向量研究夾角問題二、知識講解 以上我們用向量方法解決了異面直線 AM 和 CN 所成角的問題，你能用向量方法求直線 AB 與平面 BCD 所成的角嗎？思考5用空間向量研究夾角

7、問題二、知識講解ACnBu5用空間向量研究夾角問題二、知識講解n1n2圖中有幾個二面角？兩個平面的夾角與這兩個平面形成的二面角有什么關系？5用空間向量研究夾角問題二、知識講解例8如圖，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ACCB2， AA13，ACB90，P 為線段 BC 的中點，點 Q，R 分別在棱 AA1，BB1 上，A1Q2AQ，BR2RB1求平面PQR 與平面 A1B1C1 夾角的余弦值分析：因為平面 PQR 與平面 A1B1C1 的夾角可以轉(zhuǎn)化為平面 PQR 與 A1B1C1 的法向量的夾角，所以只需要求出這兩個平面的法向量的夾角即可zxyAA1BB1CC1QRP5用空間向量研究夾

8、角問題二、知識講解例9圖為某種禮物降落傘的示意圖，其中有 8 根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為 30已知禮物的質(zhì)量為 1 kg，每根繩子的拉力大小相同求降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大?。ㄖ亓铀俣?g 取 9.8 m/s2，精確到 0.01 N）分析：因為降落傘勻速下落，所以降落傘 8 根繩子拉力的合力的大小等于禮物重力的大小8 根繩子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量與禮物的重力是一對相反向量Fn6空間向量的綜合應用二、知識講解例10如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，側(cè)棱 PD底面 ABCD，PDDC，E 是 PC 的中點，

9、作 EFPB 交 PB 于點 F（1）求證：PA平面 EDB；（2）求證：PB平面 EFD；（3）求平面 CPB 與平面 PBD 的夾角的大小ABCDEPF6空間向量的綜合應用二、知識講解分析：本題涉及的問題包括：直線與平面平行和垂直的判定，計算兩個平面的夾角這些問題都可以利用向量方法解決由于四棱錐的底面是正方形，而且一條側(cè)棱垂直于底面，可以利用這些條件建立適當?shù)目臻g直角坐標系，用向量及坐標表示問題中的幾何元素，進而解決問題zxyGABCDEPF6空間向量的綜合應用二、知識講解通過本節(jié)的學習，你對立體幾何中的向量法是否有了一定的認識？請結(jié)合例題就下面的框圖談談體會用空間向量表示立體圖形中點、直

10、線、平面等元素進行空間向量的運算，研究點、直線、平面之間的關系把運算結(jié)果“翻譯”成相應的幾何意義解決立體幾何中的問題，可用三種方法：綜合法、向量法、坐標法你能說出它們各自的特點嗎？三、小結(jié)空間向量的應用證明平行證明垂直 求距離求空間角直線與平面所成角異面直線所成角平面與平面的夾角點到直線的距離點到平面的距離線面垂直線線垂直面面垂直線面平行線線平行面面平行1判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)打“”，錯誤的打“”（1）零向量不能作為直線的方向向量和平面的法向量；（ ）（2）若 v 是直線 l 的方向向量，則 v(R) 也是直線 l 的方向向量；（ ）（3）在空間直角坐標系中，j(0，0，1) 是坐標平面 Oxy 的一個法向量（ ）答案：（1）；（2）；（3）四、練習四、練習四、練習四、練習五、本章知識結(jié)構(gòu)空間向量的概念及其應用空間向量的定義及表示空間向量的線