機(jī)器負(fù)荷分配問題概要

1、案例4機(jī)器負(fù)荷分配問題某機(jī)器可以在高、低兩種不同的負(fù)荷下進(jìn)行生產(chǎn)。高負(fù)荷下生產(chǎn)時，產(chǎn)品年產(chǎn)量s1= 8u1，式中u1為投入生產(chǎn)的機(jī)器數(shù)量，機(jī)器的年折損率為a = 07，即年初完好的機(jī)器 數(shù)量為U1，年終就只剩下0.7 u1臺是完好的，其余均需維修或報廢。在低負(fù)荷下生產(chǎn)，產(chǎn)品 年產(chǎn)量 = 5%，式中2為投入生產(chǎn)的機(jī)器數(shù)量，機(jī)器的年折損率為七=1000臺，要求 制定一個五年計(jì)劃，在每年開始時決定如何重新分配好機(jī)器在兩種不同負(fù)荷下工作的數(shù)量， 使產(chǎn)品五年的總產(chǎn)量最高。模型分析 設(shè)階段變量k表示年度，狀態(tài)變量氣是第k年初擁有的完好機(jī)器數(shù)量。 k 0時它也是k -1年度末的完好機(jī)器數(shù)量，決策變量x規(guī)定為

2、第k年度中分配在高負(fù)荷k下生產(chǎn)的機(jī)器數(shù)量。于是xk - uk是該年度分配在低負(fù)荷下生產(chǎn)的機(jī)器數(shù)量。這里與前面幾 個例子不同的是x，u的非整數(shù)值可以這樣來理解：例如x =0.6表示一臺機(jī)器在該年度k kk正常工作時間只占60%；匕=0.3表示一臺機(jī)器在該年度的3/10時間里在高負(fù)荷下工作。此 時狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為kx = 0.7u + 0.9(x u ), k = 1,2, ,5k階段的允許決策集合是k+1k k kD (x ) = u 10 u x 第k年度產(chǎn)品產(chǎn)量是k k k k kv (x , u ) = 8u + 5(x - u )指數(shù)函數(shù)是k k k k k kV 8u. + 5(x. -

3、 u )最優(yōu)值函數(shù)為j=kfk (氣)=第k年初從七出發(fā)到第5年度結(jié)束產(chǎn)品產(chǎn)量的最大值由最優(yōu)化原理得遞推關(guān)系為 k kf (x ) = max8u + 5(x - u ) + f 0.7u + 0.9(x - u )k k、 k k kk+1kk ku eD (x )邊界條件是f (x*) = 0，計(jì)算過程如下：-66k = 5 時，f (x ) = max 8u + 5(x - u ) + f 0.7u + 0.9(x - u ) TOC o 1-5 h z 5 50u x5556555max 8u + 5(x 一 u )0u5 x5555=max 3u + 5x %55因?yàn)閒的表示式是u的

4、單調(diào)函數(shù)，所以最優(yōu)決策u *= x，f (x )=8x ；5555555k = 4 時，f (x ) = max 8u + 5(x 一 u ) + f 0.7u + 0.9(x 一 u )44”，44454440u4 x4=max8u + 5(x 一 u ) + 80.7u + 0.9(x 一 u )0u x444444max 14 u +12.2x 0u4 0, d 0, c d，年折損率分別為a和b，0 a b 1，則應(yīng)用上例相似 的辦法可以求出最優(yōu)策略是，前若干年全部投入低負(fù)荷下生產(chǎn)。由此還可看出，應(yīng)用動態(tài)規(guī) 劃可以在不求出數(shù)量值解的情況下確定最優(yōu)策略的結(jié)構(gòu)。 TOC o 1-5 h z

5、 終端狀態(tài)固定的情形。如果要求在第5年末完好的機(jī)器數(shù)量是500臺，即x6 =500，于 是由狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程得6x = 0.7u + 0.9(x - u ) = 500即u6 = 4.5x6 - 250055=max 3u + 5x %55這時允許決策集合，(氣)退化為一個點(diǎn)，第5年度投入高負(fù)荷生產(chǎn)的機(jī)器數(shù)只能由式 (3-29)作出一種決策，所以=max 8u + 5(x - u )0 u5 x5555=3(4.5x -2500)+5x 55利用遞推關(guān)系，k = 4時， f( x)= max 8u40u x=18.5 x -7500 5+ 5(x - u ) + f (x )+ 0.9(x4 -

6、u4) - 7500=max 8u + 5(x - u ) + 1850.7u TOC o 1-5 h z 0u x444顯然有最優(yōu)策略:max421.654x - 0.7u - 7500 0以4 尤444u *=0，f (x )=21.65x -7500 21.7x -7500 44444依次相似可得u * = 0, f (x ) = 24.5x - 7500 33 33u * = 0,f (x ) = 27.1x -7500u * = 0, f (x ) = 29.4x - 7500 1111由此可見為滿足第5年度末完好機(jī)器為500臺的要求，而又要使產(chǎn)品產(chǎn)量最高，則前4年均 應(yīng)全部在低負(fù)荷下生產(chǎn)，而在第5年又將部分機(jī)器投入高負(fù)荷生產(chǎn)。經(jīng)過計(jì)算x =656，u *=45