微分方程數(shù)值解法4.1

1、第四章拋物型方程的有限差分法三類偏微分方程(在數(shù)學(xué)物理方程中已經(jīng)學(xué)習(xí)過)：1橢圓：兩點(diǎn)邊值問題(1維)、-(pu)+qu+ru=f,xg(a,b)+邊值條件Laplace方程-Au=0,(x,y)gGuR2+邊值條件(三類邊值條件f=0poisson方程(2維)-Au=f,(x,y)gGuR2+邊值條件f豐0,2拋物：1，2維混合初邊值問題、Cauchy問題3雙曲：橢圓問題為定常問題，與時間t無關(guān)u=u(x)或u=u(x,y)拋物問題、雙曲問題都是非定常的，與時間t有關(guān)解u=u(t,x)(發(fā)展方程)模型問題(1)常系數(shù)線性拋物型方程初邊值問題(混合問題)TOC o 1-5 h zdud2u=a

2、+f(x,t),0tT,(1.1)dtdx2vu(x,0)=0(x),0 xl,(1.3)1u(0,t)=u(l,t)=0,0tT,(1.3)2(第一邊值條件)書中，f(x,t):=f(x)即與t無關(guān)。(2)常系數(shù)線性拋物型方程初值問題(Cauchy問題)u(x,0)=0(x),-gxg,(1.2)dud2u二a+f(x,t),sx+8,0tT,dtdx2vu(x,0)二Q(x),下面討論初邊值問題的數(shù)值求解問題。設(shè)問題相容(Q(0)=0=Q(l)、解適定且滿足一定的光滑性。離散格式的建立利用差分方法步驟1求解區(qū)域的離散化做網(wǎng)格剖分，對(x,t)形成2維時空域，在求解域0 xl,0tT長方形)

3、做均勻剖分：(對x:O,l作N等分剖分，對t：0,T作M等分剖分)0=xxx=l,0=ttt=T01N00M其中，x=iht=kti，ki=O,l,，N,k=O,l,，M空間步長，時間步長h=丄t=二N，M矩形ukj表示定義在網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)（xj,tk）處數(shù)值解Uk表示精確解U（Xj,tk）的近似值2在內(nèi)節(jié)點(diǎn)（xj，J）（j=l,2,，N-l,k=l,2,3,M）處，對微分方程離散化。常見方法1）直接方法：數(shù)值微商（差商）近似代替導(dǎo)函數(shù)差商：向前、向后、中心對稱（2）待定系數(shù)法二層格式（與單步法比較）例1向前差分格式網(wǎng)格(xj,tk)處u(x,t)一u(x,t)Ou(x,t)jk+1jkqjktdt

4、u(x,t)一u(x,t)du(x,t)jk+ljkjk+O(T)TO2u(x,t)jkOx2O2u(x,t)jk+O(h2)Ox2u(x,t)-2u(x,t)+u(x,t)j+1kjkj一1k沁h(yuǎn)2u(x,t)一2u(x,t)+u(x,t)j+1kjkj一1kh2用Taylor展開可以求出具體截斷誤差涉及圖中點(diǎn)：(可)(為+l山)記匕qu（xj，tk），f-f（xj，tk），有（f（x，七）已知）Wj+1=十(1-2r)u+ruj-i十rf/k=0,1,M-1,j=1,N-1u0u(x,0)=0(x),uku(0,t)0,uku(l,t)0jjj0kNkr=a稱為網(wǎng)格比兩層顯格式：無需求解線

5、性代數(shù)方程組。例2向后差分格式網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)(J,tk+丿處uk+1一ukdu(x,t)jjUjk+1TOC o 1-5 h ztdtuk+12uk+1+uk+1d2u(x,t)i+1jj-1Ujk+1h2dx2uk+1-ukuk+1-2uk+1+uk+1zi-a也ju+fk+1th2juk+1-2uk+1+uk+1taTOC o 1-5 h zuk+1uktajj一+Tfk+1,r-jjh2jh2o-ruk+1+(1+2r)uk+1-ruk+1uk+Tfk+1j+1jj-1jjj1,2,.,N-10o1+2r一r00、uk+1/uk+Tfk、111一r1+2rr:r1+2rr.00r1+2r丿uk+11丿KT1uk+Tfk丿vATAAT1k=0,1,2隱格式：需求解N-1階線性代數(shù)方程組。系數(shù)矩陣是三對角陣對角占優(yōu)、追趕法例3六點(diǎn)對稱格式（Grank-Nicholson格式）向前、向后差分格式做算術(shù)平均得：uk+1ukuk+12uk+1+uk+1jj二a0j+1jj-1+Th2uk2uk+uk(10)jijj