李雅普諾夫第二方法簡(jiǎn)介

1、李雅普諾夫第二方法簡(jiǎn)介 為了分析運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性,李雅普諾夫提出了兩種方法: 第一方法包含許多步驟，包括最終用微分方程的顯式解來(lái)對(duì)穩(wěn)定性近行分析，是一個(gè)間接的方法。 第二方法不是求解微分方程組，而是通過(guò)構(gòu)造所謂李雅普諾夫函數(shù)（標(biāo)量函數(shù)）來(lái)直接判斷運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性，因此又稱為直接法。 李雅普諾夫第二方法目前仍是研究非線性、時(shí)變系統(tǒng)最有效的方法，是許多系統(tǒng)控制律設(shè)計(jì)的基本工具。正定函數(shù) V(x) = Ci 0 的等值線示意圖：這是一族閉的、層層相套的、當(dāng)C趨向于零時(shí)向原點(diǎn)退縮的曲線。C1C2C3C4C5C6C7 Lyapunov第二方法的一般理論幾何解釋 由于V(x)正定， V(x)=C是一個(gè)閉的曲面族，

2、層層相套、隨 而向原點(diǎn)退縮。又由 半負(fù)定知V(x)的值沿著運(yùn)動(dòng)軌道只能減小或保持定值而不會(huì)增加，這表明系統(tǒng)關(guān)于原點(diǎn)（零解）是穩(wěn)定的。幾何解釋： 由于v(x)正定， v(x)=C是一個(gè)閉的曲面族，層層相套、隨C 趨向于零而向原點(diǎn)退縮。而dv/dt 負(fù)定則說(shuō)明：在任一點(diǎn)x處，v(x) 的值都是減小的，從而在任一點(diǎn)x 處，運(yùn)動(dòng)的軌線都從v(x)=C的外部穿越v(x)=C 走向內(nèi)部。這表明，limt0 x(t)=0，即原點(diǎn)（零解）是漸近穩(wěn)定的。 x1x2u2u1u3例:考慮如下系統(tǒng)關(guān)于零解的穩(wěn)定性：首先構(gòu)造一個(gè)正定函數(shù)：例：考慮小阻尼線性振動(dòng)系統(tǒng)：易于驗(yàn)證，這是一個(gè)正定函數(shù)。求出 V 沿微分方程解的導(dǎo)

3、數(shù)：因此，系統(tǒng)關(guān)于零解必是漸近穩(wěn)定的。例：考慮系統(tǒng)：例：考慮小阻尼線性振動(dòng)系統(tǒng)：此時(shí)只能判斷系統(tǒng)李氏穩(wěn)定，盡管事實(shí)上該系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。定理5*則（4.20）的零解漸近穩(wěn)定。注：這是充分條件，對(duì)必要條件的研究：Lyapunov逆定理Lyapunov函數(shù)的構(gòu)造問(wèn)題定理7-25 時(shí)不變動(dòng)態(tài)方程 的零解是漸近穩(wěn)定的充分必要條件是對(duì)給定的任一個(gè)正定對(duì)稱陣Q，都存在唯一的正定對(duì)稱陣P，使得（744）三、線性系統(tǒng)二次型 V 函數(shù)證明：充分性：若對(duì)任給正定對(duì)稱陣Q，都存在唯一的正定對(duì)稱陣P，使(7-44)成立，要證明系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。為此，構(gòu)造 Lyapunov 函數(shù)：對(duì)其沿方程的解微分，有由定理7-21*知零

4、解漸近穩(wěn)定。必要性：若dV/dt=Ax漸近穩(wěn)定，要證明對(duì)任意給定的對(duì)稱正定陣Q，有唯一的正定對(duì)稱陣P存在，使得(?)成立。為此，考慮矩陣微分方程不難驗(yàn)證其解為對(duì)積分并注意到系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的假設(shè)， 有P陣的唯一性：為此將方程（7-44）寫成兩式相減得因此，又幾點(diǎn)說(shuō)明：矩陣方程（744）給出了構(gòu)造這個(gè)二次型v函數(shù)的具體途徑，在指定正定對(duì)稱的Q陣后可求解（7-44）所定義的(1/2)n(n+1)個(gè)未知量的代數(shù)方程組。定理的結(jié)論表明A若是漸近穩(wěn)定時(shí)，這個(gè)代數(shù)方程組有唯一解存在;2. 在求解（744）時(shí)比較簡(jiǎn)單的是取Q為單位陣;例7-9 考慮二維系統(tǒng) 求系統(tǒng)漸近穩(wěn)定時(shí)參數(shù)應(yīng)滿足的條件。令Q=I，由（7-4

5、4）式可得 上述方程組的系數(shù)矩陣A1的行列式為 若detA10，方程組就有唯一解，其解為 由P正定的Sylvester 判據(jù)可得 (3)、(4)即系統(tǒng)漸近穩(wěn)定時(shí)參數(shù)應(yīng)滿足的條件。有正定對(duì)稱解的充分必要條件為漸近穩(wěn)定。定理7-26 若定理7-25（7-44）中的N取為半正定對(duì)稱陣，且有xTNx沿 =Ax的任意非零解不恒為零，則矩陣方程ATX+XA=N （7-46）注：關(guān)于定理7-26 “xTNx沿方程的非零解不恒為零”的條件不能少。例1: A漸近穩(wěn)定，N半正定，不能保證M正定這是因?yàn)閤TNx沿方程的非零解恒為零。事實(shí)上，容易算出若將N分解為 N=1 0T1 0:=CTC，則易于驗(yàn)證 (A，C)不

6、可觀測(cè)。例2. N半正定，M正定，不能保證A漸近穩(wěn)定。分析：1. xTNx沿方程的非零解2. 令C=1 0, N=CTC, 可知(A, C)不可觀測(cè)。但 xTNx=x12 ，故xTNx=x12恒為零，即沿非零解恒為零。xTNx沿方程的非零解不恒為零，這時(shí)(A, C)可觀測(cè),定理滿足。例3：結(jié)論： “xTQx沿方程的非零解不恒為零, ”可用(A, C)可觀測(cè)代替，這里Q= CTC。進(jìn)而，我們有： 定理7-26* 時(shí)不變動(dòng)態(tài)方程 的零解漸近穩(wěn)定的充分必要條件是對(duì)應(yīng)的Lyapunov方程（744）在給定（A, Q)為可觀測(cè)的半正定陣Q下，方程(7-44)的解P為正定。關(guān)于定理的證明：因?yàn)镹為半正定矩

7、陣，總可以將其分解為 Q=CTC 的形式。易于證明（例如用反證法），(A, Q)可觀測(cè)可推得(A, C)可觀測(cè)。必要性證明：類似于定理7-25：由系統(tǒng)零解已漸近穩(wěn)定，則任給使(A，Q)可觀測(cè)的半正定陣Q，由積分確定的矩陣P必滿足(7-44)且為正定（可觀測(cè)性Gram矩陣）。充分性證明：若在給定（A, Q)為可觀測(cè)的半正定陣Q下，方程(7-44)的解P為正定，要證此時(shí)系統(tǒng)必定漸近穩(wěn)定。為此，考慮這說(shuō)明使 的x是零解，即沿方程的非零解dV/dt不恒為零。由定理7-21*，系統(tǒng)必漸近穩(wěn)定。 證完。例題7-11： 考慮如下三階多項(xiàng)式：注: 以上證明可以去掉，根據(jù)“(A,C) 可觀測(cè)當(dāng)且僅當(dāng) =0”這一

8、命題就立即可以看出x00。令定義系統(tǒng)如下：假定D0(s)和D1(s)無(wú)公因子。則D(s) 為Hurwitz 多項(xiàng)式當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)g(s)穩(wěn)定。將D0(s)/D1(s)展開(kāi)：試證明勞斯判據(jù)：系統(tǒng)漸近穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng)勞斯表的第一列所有元素大于零。則不難驗(yàn)證，g(s)可由下列系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)：這是一個(gè)最小實(shí)現(xiàn)，系統(tǒng)可控可觀測(cè)?，F(xiàn)用Lyapunov 直接方法研究以上系統(tǒng)零解的漸近穩(wěn)定性。為此定義N為顯然，(A, N)可觀測(cè)。解方程得到欲使M正定，只要10, 2 0, 3 0。一般情形下勞斯判據(jù)的證明完全類似，參見(jiàn)Chi-Tsong Chen, “Linear System Theory and Design ”p.417.四、關(guān)于Lyapunov 函數(shù) 應(yīng)當(dāng)特別注意定理7-20*-7-21*均為充分條件。這意味，即便我們不能構(gòu)造出滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的v函數(shù)，也不能因此斷言系統(tǒng)不穩(wěn)定。要證明系統(tǒng)不穩(wěn)定，須找出滿足不穩(wěn)定定理的v函數(shù)（參見(jiàn)高為炳運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性基礎(chǔ)）；不通過(guò)求解微分方程而能對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性作出結(jié)論的標(biāo)量函數(shù)稱作系統(tǒng)的一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)；如何構(gòu)造v函數(shù)是一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題。即使?jié)M足某系統(tǒng)的 v 函數(shù)理論上存在，要找到其解析的表達(dá)式仍非易事。尋求構(gòu)造 v 函數(shù)的一般方法的企圖是不現(xiàn)實(shí)的。但對(duì)于線性系統(tǒng)，存在一些構(gòu)造 v 函數(shù)的方法。本節(jié)對(duì)線性系統(tǒng)介紹了構(gòu)造二次型李氏函數(shù)的方法，即定理7-25、