1.1.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法

1、1.1 兩個基本計數(shù)原理 問題一：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，一天中，火車有3班，汽車有2班那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？解：因為一天中乘火車有3種走法，乘汽車有2種走法，每一種走法都可以從甲地到乙地，所以共有 325 種不同的走法。 分類計數(shù)原理又稱為加法原理。 分類計數(shù)原理 完成一件事，有n類方式，在第1類方式中有m1種不同的方法，在第2類方式中有m2種不同的方法，在第n類方式中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有： 種不同的方法。 問題二：從甲地到乙地，要從甲地選乘火車到丙地，再于次日從丙地乘汽車到乙地。一天中，火車有3班，汽車有2班。那么兩

2、天中，從甲地到乙地共有多少種不同的走法？ 這個問題與前一個問題有什么區(qū)別？ 在前一個問題中，采用乘火車或汽車中的任何一種方式，都可以從甲地到乙地；而在這個問題中，必須經(jīng)過先乘火車、后乘汽車兩個步驟，才能從甲地到乙地 解：因為乘火車有3種走法，乘汽車有2種走法，所以乘一次火車再接乘一次汽車從甲地到乙地，共有 326 種不同的走法。 分步計數(shù)原理 完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2 種不同的方法，做第n步時有mn種不同的方法。那么完成這件事共有 種不同的方法。 分步計數(shù)原理又稱為乘法原理。 分類計數(shù)原理(加法原理)中，“完成一件事，有n類方式”，即每種方式都可

3、以獨立地完成這件事。進(jìn)行分類時，要求各類方式彼此之間是相互排斥的，不論那一類辦法中的哪一種方法，都能獨立完成這件事。只有滿足這個條件，才能直接用加法原理，否則不可以。 分步計數(shù)原理(乘法原理)中，“完成一件事，需要分成n個步驟”，是說每個步驟都不足以完成這件事。如果完成一件事需要分成幾個步驟，各步驟都不可缺少，需要依次完成所有步驟才能完成這件事，而各步要求相互獨立，即相對于前一步的每一種方法，下一步有m種不同的方法，那么完成這件事的方法數(shù)就可以直接用乘法原理。 例1、某班共有男生28名、女生20名，從該班選出學(xué)生代表參加校學(xué)代會。 （1)若學(xué)校分配給該班1名代表，有多少種不同的選法？ （2）若

4、學(xué)校分配給該班2名代表，且男女生代表各1名，有多少種不同的選法？ 應(yīng)用這兩個原理的關(guān)鍵是看完成這件事情是“分類”還是“分步”。 例2、在下面兩個圖中，使電路接通的不同方法各有多少種？（1）AB（2）BA 例3、為了確保電子信箱的安全，在注冊時，通常要設(shè)置電子信箱密碼。在某網(wǎng)站設(shè)置的信箱中， （1）密碼為4位，每位均為0到9這10個數(shù)字中的一個數(shù)字，這樣的密碼共有多少個？（2）密碼為4位，每位均為0到9這10個數(shù)字中的一個，或是從A到Z這26個英文字母中的1個。這樣的密碼共有多少個？ （3）密碼為4到6位，每位均為0到9這10個數(shù)字中的一個。這樣的密碼共有多少個？ 例4、（1）4名同學(xué)選報跑步、

5、跳高、跳遠(yuǎn)三個項目，每人報一項，共有多少種報名方法？ （2）4名同學(xué)爭奪跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個項目的冠軍，共有多少種可能的結(jié)果？ 例5、某中學(xué)的一幢5層教學(xué)樓共有3處樓梯，問從1樓到5樓共有多少種不同的走法？ 例6、要從甲、乙、丙三名工人中選出兩名分別上日班和晚班，有多少種不同的選法？ 例7、某藝術(shù)組有9人，每人至少會鋼琴和小號中的一種樂器，其中7人會鋼琴，3人會小號，從中選出會鋼琴和會小號的各一人，有多少種不同的選法？ 例8、（1）8張卡片上寫著0,1,2,7共8個數(shù)字，取其中的三張卡片排放在一起，可組成多少個不同的三位數(shù)？ （2）4張卡片的正、反面分別寫有0與1、2與3、4與5、6與7，將其中的3張卡片排放在一起，共有多少個不同的三位數(shù)？ 加法原理 乘法原理聯(lián)系區(qū)別一完成一件事情共有n類辦法，關(guān)鍵詞是“分類”完成一件事情,共分n個步驟，關(guān)鍵詞是“分步”區(qū)別二每類辦法都能獨立完成這件事情。每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能能獨立完成這件事情，缺少任何一步也不能完成這件事情，只有每個步驟完成了，才能完成這件事