列車食品價格方案優(yōu)化

1、列車食品價格方案優(yōu)化摘要本文針對長途列車食品的價格問題，根據(jù)經(jīng)濟學中的有關(guān)規(guī)律，分別討論了 價格與銷售量和減少率的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上再計算收入和成本，進而得到利潤， 由此建立了兩個模型。模型I：首先確定了盒飯和方便面銷售量與價格之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)微分 方程模型，得到了盒飯銷售量與價格的函數(shù)關(guān)系：x(c)= 200ea(Jc)和方便面銷售 量與價格的函數(shù)關(guān)系：y(c ) = 100e&(q)，則總收入為：1W = 200g(E + 100c ep(CD，并在銷售量減少率a和p是固定的情況下可求出 最大利潤。模型II：由于實際情況中銷售量減少率a和p不是固定的，因此我們利用一個 分段函數(shù)表示出價

2、格與銷售量減少率之間的關(guān)系，并以此確定收入與價格的函數(shù) 關(guān)系：W200ce -0.02c 2 + 0.4 c - 2 (10 c 20) _|100ci e -0.06c2 + 0.36 c1 -0.54 (3 c1 20)，2 100c e -0.36g +1.08 c1(c 9)，心收入為：W = W1 + W2。從而得出合適的盒飯價格為12元，方便面價格為4.8元，最大利潤另310.27元關(guān)鍵詞：列車食品價格微分方程銷售量減少率Matlab一、問題重述長途列車由于時間漫長，需要提供車上的一些服務(wù)。提供一天三餐是主要的 服務(wù)。由于火車上各方面的成本高，因此車上食物的價格也略高。以T238次

3、哈爾 濱到廣州的列車為例，每天早餐為一碗粥、一個雞蛋及些許咸菜，價格10元；中 午及晚上為盒飯，價格一律15元。由于價格偏貴，乘客一般自帶食品如方便面、 面包等。列車上也賣方便面及面包等食品，但價格也偏貴。如一般售價3元的方 便面賣5元。當然，由于列車容量有限，因此提供的用餐量及食品是有限的，適 當提高幾個是正常的。但高出的價格應(yīng)有一個限制，不能高的過頭。假如車上有 乘客1000人，其中500人有在車上買飯的要求，但車上盒飯每餐只能供給200人; 另外，車上還可提供每餐100人的方便面。請你根據(jù)實際情況設(shè)計一個價格方案， 使列車在用餐銷售上效益最大。二、問題分析根據(jù)經(jīng)濟學中需求的定義，我們可以

4、知道，商品的價格越低，人們的需求量 自然會越低，因此，我們可以把需求函數(shù)近似的看做隨自變量向右下方漸變的曲 線，也就是價格和需求量之間存在反向變化的關(guān)系，即在其他條件不變的情況下， 需求量隨著價格的上升而減少，隨著價格的下降而增加。火車提供快餐只是火車的次營業(yè)務(wù)，因此火車運行商不可能把精力都投放到 快餐的供給上來，而且火車車廂容量有限，這樣火車快餐供給量基本上是穩(wěn)定的。 但是火車乘客的數(shù)量較大，他們對快餐的需求量大大超過了火車快餐的供給量。 這樣在市場價格情況下，就造成了火車快餐的供不應(yīng)求。人們對火車快餐的需求 量大于其供給量，如果火車快餐保持原價的話，就會出現(xiàn)爭搶的局面，而且不利 于火車運營

5、商獲取超額利潤。在這種情況下，火車運營商一方面為了獲取超額利 潤，另一方面為了火車平安穩(wěn)定的運行，他都要將價格提高。隨著價格的慢慢提 高，從收入低的旅客們開始慢慢地減少對火車快餐的需求?；疖嚳觳蛢r格提的越 高，人們的需求量越小，直到達到供給與需求的均衡點，這樣就造成了火車上快 餐的價格遠遠的高于市場上快餐的價格。而選擇消費火車快餐的群體一般是那些 收入較高或中等收入的群體。三、模型假設(shè)1、列車上每餐只提供盒飯和方便面兩種食物。2、每位乘客每餐只需要一盒盒飯或一袋方便面。3、火車快餐每餐的成本是固定不變的。四、符號說明%:單袋方便面的價格a :盒飯價格上漲時，銷售量減少率P :方便面價格上漲時，

6、銷售量減少率x（c）:盒飯價格為c時，每餐盒飯銷售量y ）:方便面價格為c1時，每餐方便面銷售量w :總收入1W :每餐固定成本五、模型的建立與求解5.1模型I因為在火車上，餐飲量不會受到外界太多影響，所以每餐的餐飲銷售量不會 有太大偏差，所以只考慮一頓飯的總收入；且每餐成本穩(wěn)定為W，這樣要求最大收益只需考慮一頓飯的最大收入即可。5.1.1首先找出銷售量與價格之間的函數(shù)關(guān)系：當盒飯的價格由c上漲到c +Ac時，銷售量的減少量為對上式整理得:x (c + A c )- xA c )-x (c )+a xAc進一步推導得:dxdc當c為盒飯成本價C時，因為此時需求量大于供應(yīng)量，故而所有的盒飯都賣光

7、，此 時x（C）= 200，于是建立方程組：dxx(C ) 200解上述方程組得盒飯銷售量與價格之間的函數(shù)關(guān)系:x (c )= 200ea(C-由以上分析可得x(c)大體圖像如下:圖1盒飯價格與銷售量的關(guān)系y(C1) = 100，于是有:同理，可以求得方便面銷售量與價格之間的關(guān)系: 當匕為方便面成本價C 1時dyr = - y dciy (Ci)= 100整理上述方程組得:上式的圖像大致為:y(c ) = 100e3(c1 -ci) 1圖2方便面價格與銷售量的關(guān)系上述式中的C和C1分別表示盒飯和方便面的成本價，在此假設(shè)C = 10，C1 = 3。 則固定成本W(wǎng)。= 200 x 10 +100

8、x3 = 2300。5.1.2求出銷售量與價格之間的函數(shù)關(guān)系后再求一頓飯的總收入。由數(shù)學關(guān)系式：總收入=價格X銷售量可得：W = cx(c) + c y (c )將盒飯及方便面與價格之間的函數(shù)關(guān)系式分別代入上式得:W = 200cea (J)+ 100c e P (q-)1=200cea(10 - c)+ 100c e P(3 - 31要想求總收入W的最大值可以分別求出盒飯、方便面的收入最大值W1和W2。W = 200cea(10 - c) 1W = 100節(jié) P (3-c1)對上述兩式分別求收入對價格的導數(shù)：W = 200ea(10-c )(1以 c) TOC o 1-5 h z HYPER

9、LINK l bookmark66 o Current Document W = 100e P (3-c1)(1 - pc )2111貝 V 叫=0 時 c = -； W2 = 0 時 c1 =p HYPERLINK l bookmark75 o Current Document 一八 _. 11我們可以知道當c 0 ,則W1單倜遞增；當c 時，W2 20時，a將穩(wěn) 定不再發(fā)生變化，如下圖：圖4盒飯價格與減少率的關(guān)系f Ac + B (10 c 20) a (c)=0.2(20 c)從而得A = 0.02, B = -0.2,所以f0.02c 0.2 (10 c 20)a (c)= 0.2(2

10、0 c)同樣假設(shè)當方便面價格為成本價匕=3時，方便面全部賣出，則方便面的銷售量減少率6=0 ;當方便面價格氣=9時，減少率達到最大&=0.36 ；當氣9時，p將 穩(wěn)定不再發(fā)生變化，如下圖：圖5方便面價格與減少率的關(guān)系Pc + Q (3 c 9)1從而得:P = 0.06， Q = 0.18所以0.06c 0. 1 8 (3 c 9)i整理上述式子得:I 200ce(0.02c-0.2)(1 0-c) w =11200ce 0.2(10-c)(10 c 20)200ce -0.02c 2+0.4c-2200ce -0.2c+2(10 c 20)w =J 100c1 e (0.06c1 -0.18

11、)(3-c1) (3 氣 9)100c e -0.06c2 +0.36-0.54 (3 c 9)對w求導，當W： = 0時c = 5 + 5克取得極值。運用MALAB軟件（程序詳見附錄一）畫出盒飯總收入比與價格曲線:圖6盒飯總收入與價格的關(guān)系26QD2D0D15DD1DDD50011152325303540由圖知c = 5 + 5克時W1取得最大值，即將盒飯價格定為12元時，總收入取得最大 值為2215.5元。同理對W2求導，當W22 = 0時c1 = 9 + ：381取得極值。運用MALAB軟件（程序詳見附錄二）畫出方便面總收入W2與價格曲線：圖7方便面總收入與價格的關(guān)系由圖知匕=時七取得最

12、大值，即將方便面價格定為4.8元時，總收入取得最大值為：395.2 元?？偸杖隬 = W1 + W2 = 2215.5 + 395.2 = 2610.7 ,最大利潤=2610.7 -% = 2610.7 - 2300 = 310.7 元。六、模型的評價與推廣6.1模型的評價模型I是通過建立微分方程得到價格與銷售量之間的關(guān)系，再根據(jù)收入=價格X 銷售量，得到收入與銷售量減少率及價格之間的函數(shù)關(guān)系。該模型的銷售量減少 率假設(shè)為穩(wěn)定值，可以通過市場調(diào)查得出。該模型簡單扼要，容易理解，但沒有 考慮到銷售量減少率可能會隨著價格的變動而改變。模型II考慮了該因素，進而 對模型I進行改進，先求出銷售量減少率

13、與價格的變動關(guān)系，然后將減少率函數(shù)代 回模型I，得出總收入與價格的函數(shù)關(guān)系。模型II較復雜，計算量比較大。整體模 型沒有考慮到對沒有賣出的快餐進行降價銷售的情況，而且也沒考慮到火車上還 提供其他的食物。6.2模型的推廣隨著我國交通的高速發(fā)展，城市之間的往來會越來越頻繁，列車的數(shù)量也會 隨之增加，關(guān)于列車上食品價格的界定也成為了焦點問題。如何平衡消費者的接 受能力與最大利潤之間的關(guān)系尤為重要，本文以此為基點，在消費者可接受的范 圍內(nèi)確定盒飯和方便面的價格，并實現(xiàn)最大利潤。而在本文中除盒飯和方便面之 外的食品也可以參照此方法確定它們的價格，實現(xiàn)最大利潤。七、參考文獻1李德宜，李明.數(shù)學建模M.北京:科學出版社,2009.吳建國.數(shù)學建模案例精編M.北京:中國水利水電出版社,2005.3劉衛(wèi)國.MATLAB程序設(shè)計與應(yīng)用M.北京:高等教育出版社,2006.7.附錄附錄1 c=10:0.1:40;W11=200.*c