高三數(shù)學(xué)不等式的證明方法習(xí)題精選精講

1、不等式的證明不等式的證明是高中數(shù)學(xué)的一個難點(diǎn)，證明方法多種多樣，近幾年高考出現(xiàn)較為形式較為活躍，證明中經(jīng)常需與函數(shù)、數(shù)列的知識綜合 應(yīng)用，靈活的掌握運(yùn)用各種方法是學(xué)好這部分知識的一個前提，下面我們將證明中常見的幾種方法作一列舉。注意a2 +b2 之2ab的變式應(yīng)用。常用a2 +b2a + b（其中a,bw R+）來解決有關(guān)根式不等式的問題。1、比較法比較法是證明不等式最基本的方法，有做差比較和作商比較兩種基本途徑。八 1111111已知a,b,c 均為正數(shù)，求證： 十+2a 2b 2c a b b c c a2111 b(a b) a(a b) - 4ab (a_ b) na,b004a 4b

2、 a b4ab(a b)4ab(a b)2(c一a) _04ac(a c)2111 (b-c) 八 111同理十 =-0 0, 十 4b 4c b c 4bc(b c)4c 4a c a三式相加，可得11十2a 2b1111+ 2c a b b c c a,0111111 _ - -2a 2b 2c a b b c c a2、綜合法綜合法是依據(jù)題設(shè)條件與基本不等式的性質(zhì)等，運(yùn)用不等式的變換，從已知條件推出所要證明的結(jié)論。a2 b2 c2 - TOC o 1-5 h z b cw(0, +m), a +b +c=1,求證：3=2a2 2b2 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca222222

3、22222_證：u 3(a2 +b2+c2)21 = (a +b + c)2. 3(a2+b2+c2)-(a+b + c)2=(a-b)2十(b c)2 十(ca)204 4 43設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù)，求證： a +b +c abc(a + b + c)4. 42.2,442 2442 24.442.2,2 22 2證：.a +b 2a b b +c a 2b c c +a 2c a . a +b +c a b +b c +c a2 22 22 22 22. a b +b c 2a b b c =2ab c同理：b2c2 +c2a2 2bc2ac2a2 + a2b2 a 2ca2b2

4、22 22 2a b b c c a abc(a b c)4 知 a,b,c r r ,求證：，a2 +b2+ Vb2 +c2 + vc2+a2 之 “2 (a + b + c)2222222證明：a b -2ab 2(a b) -a 2ab b -(a b)2a +b A、22 (a b)即a2+ b2 -(a 2，兩邊開平方得Va2 + b2 2222 ,、22. 2同理可得；b +q 至一（b+c） %c + a 2一?。╟ + a）三式相加，得2222 一c c a - 2(a b c)11(1)(1) _95 x、yw(0, +g)且 x + y=1,證： x yx y y)(1)

5、=(2 y)(2yxxyx)=5 2(，)yxy_522=96 已知 a,b w R t a + b =1 求證:1.111 .1.a . b 9策略:由于a,b w R+,a + b =1ab2a+b =i 2 Jab E說明a,b w R+a+b =1的背后隱含著一個不等式ab -,1證明：v a,b = R+,a +b =1ab - q4一 f 1 Y 1、1而 1 + ii1 +- i=1 + a人 b； a:1”b ab ab218 = 9. ab3、分析法分析法的思路是“執(zhí)果索因”：從求證的不等式出發(fā)，探索使結(jié)論成立的充分條件，直至已成立的不等式。a b ,、 c,a b c 3

6、,、2( - . ab) 3(- . abc)7已知a、b、c為正數(shù)，求證： 23“abc)只需證：-2JOB c-33,abc2(ab - . ab) 3vc%;ab Tab = 33/abc 成立：原不等式成立8a、b、c(0, +g)且 a+b+c =1 ,求證 F +而+VE E V3。證：Va + Tb+jcWWu (Ta +Vb +Vc)2 3gP: 2v ab + 2Jbc + 2Vac 2.2、 Ea + b2dbc Eb + c2dac Ea+c即2Jab+24bc+2YacE(a+b)+(b+c)+(a+c)=2.原命題成立4、換元法換元法實(shí)質(zhì)上就是變量代換法，即對所證不等

7、式的題設(shè)和結(jié)論中的字母作適當(dāng)?shù)淖儞Q，以達(dá)到化難為易的目的。9, b 1 ,求證:ab+v(1 -a2)(1-b2) 1冗2uk二證明：令2 =sin a2 k e Ztynb 二 s葭：二3k .，=sin a sin P +cosot cos P| = sin a sinI-二 cos： cos :ab + 7(1-a2)(1-b2) bc,求證:+ abb -ca - c114證明：: a b0, b c0, a c0 :可設(shè) a b=x, b c=y (x, y0)則 a c= x + y,原不等式轉(zhuǎn)化為證明 一十一 x y x y即證(x + y)(l+ 1)4 ,即證2 +x+ Y4

8、-2 :原不等式成立(當(dāng)僅 x=y當(dāng)“=”成立)x yy x yx12 知 1ax2+y2 2,求證：!x2 -xy+y2 3.2證明：丁 10 x2 +y2 w 2,：可設(shè) x = rcos 6 , y = rsin 9 ,其中 10r2w2, 0wB2n .：x 2一xy + y 2=r2 r2 sin 29 = r2 (1 sin 29 ), 0 1sin 29 , ： r 2 0r2(i 一 一 sin 29 ) _ r2，而一r2一，222222222r2 0 3 w x 2 xy + y 2 w 3.2213 已知 x2 2xy+y 202,求證：| x + y |。彳0 .證明：

9、x 2 2xy + y 2 = (x - y) 2 +y2 , .可設(shè) x - y = rcos 0 , y = rsin 0 ,其中 0& r y2 , 0 0 2n .| x+ y | =| x- y+ 2y | = | rcos 9 + 2rsin 9 | = r| J5 sin( 6 + ractan )| 5 r .1114 解不等式 A 5 -x - Vx +1 一 1 冗解：因?yàn)?J5 _ x)2 +( 所以 J6sin 0 +6Q cos62221由6 G 0,知+ J6 cosB 0,將上式兩邊平方并整理，得 48 cos20 +4 V6 cosQ -23 028262447

10、2447解彳導(dǎo)0cos9 2826所以x=6cos26 -1- 1,故原不等式的解集是 x|-1x447 15: - K 41 -x2 -x 0, ： 1 &xw 1,故可設(shè) x = cos6 ,其中 0w H w n .2,23則 n1 x - x = v1 cos 6 cos = sinB cos = V2 sin(6 一 )，: w 廿一 ,4444:一13c v12 sin( 8 ) V2 ,即10，1 x2 x bc)的不等式，常用增量進(jìn)行代換，代換的目的是減少變量的個數(shù),使要證的結(jié)論更清晰，思路更直觀，這樣可以使問題化難為易，化繁為簡.16a, b W R,且 a+ b = 1,求

11、證：(a+ 2) 2 +(b+ 2) 2 空 .2證明：a, bW R,且 a+ b = 1,:設(shè) a = +t, b= t, (t = R)22 TOC o 1-5 h z 貝 U (ci+ 2) 2 +(b+2)2 =( _ +t+2)2 +(_ 一 t + 2)2 = (t+ )2+。一)2 = 2t 2 +.222222(a+ 2) + (b + 2).2利用“1”的代換型11已知 a, b,cwR+ 且 a+b+c =1,求證：+ _ +_ 之 9.17a b c策略：做“ 1”的代換。1+1=吧C+”空C+15=3+也0+30十佗+之3十2十2+2=9證明：a b c a b c

12、a bJ a c) 0, q0, p 3 + q3 = 2,求證：p + q2,則(p+q)3 8,即 p3 + q3 +3pq (p + q)8, / p3 +q3 = 2, /. pq (p+q)2.故 pq (p + q)2 = p3 + q3 = (p+q)( p2 pq+q2),又 p0, q0 = p+q0,pqp2 -pq + q2即(p q)2 2不成立,p+ q22不正確 ：假設(shè)不成立原命題正確120 已知 a,b,c & (0, 1),求證：(1-a) b, (1 b) c, (1 c) a 不能同時大于 一4證明：假設(shè)三式同時大于 1 -0 a0(1 - a)* b 之

13、J(1 a )b J工=-21 a、b、cWR, a+b+c0, ab+bc+ca0, a b c 0 ,求證：a、b、c 均為正數(shù)證明：反證法：假設(shè)a、b、c不均為正數(shù) 又a b c 0 a、b、c兩負(fù)一正2不妨設(shè) a 0, b 0 c (a b) 0 同乘以(a b) c(a + b) 一(a + b)即ac+bc+ab(a2 +ab+b2)0矛盾;假設(shè)不成立a、b、c均為正數(shù)6、放縮法放縮時常用的方法有：1去或加上一些項(xiàng)2分子或分母放大(或縮小)3用函數(shù)單調(diào)性放縮4用已知不等式放縮,一 bcda一22已知a、b、c、d都是正數(shù)，求證：1 十十十2.a b c b c d c d a da

14、b證明:bb ba b c d a b c a bcc c a b c d b，c，d c ddd da b c d c d a c d將上述四個同向不等式兩邊分別相加，得：aa aa b c d dab a bia0+2.dab2( . n 1 -1) ： 1112.31221222( k - k -1)4 k 1- k)11 一,2證明：. k k ，.k kfk1k k .k kk 1=2 n -1=2( , n 1 -1)+ : 1 +2(石1) +2(73 -12) + +2(7 -Vn1)： n2( . 2 -1) 2( 3 - .2)2(, n 1 -、n)判別式法 TOC o

15、1-5 h z 22224A、b、C 為 AABC 的內(nèi)角，x、y、z 為任意實(shí)數(shù)，求證：x +y +z 占 2yzcosA+2xzcosB + 2xycosC222證明：構(gòu)造函數(shù)，判別式法令 f(x)=x +y +z (2yzcosA + 2xzcosB+2xycosC)222=x _2 x(zcosB+ycosC) + (y +z 2yzcosA)為開口向上的拋物線2“222.22.2,:=4(zcosB ycosC) 一4(yz -2yzcosA) =4( z sin B-y sin C 2yzcosBcosC 2yzcosA)222 2= Yz sin B y sin C -2yzco

16、sBcosC 2yz(cosBcosC - sin BsinC)_ 2. 2 _2.22 一=-4z sin B y sin C -2yzsin BsinC =4(zsin B - ycosC) 0無論y、z為何值，AW0: xW R f(x)2 0:命題真構(gòu)造函數(shù)法構(gòu)造函數(shù)法證明不等式 24設(shè)00a、b、c2ab+ 2bc + 2ca. 2222證明：視 a為自變重，構(gòu)造一次函數(shù) f(a) = 4a+ b +c + abc 2ab 2bc 2ca = (bc 2b 2c+4)a+ (b + c 2bc),由 00aw2,知一一2222222f(a)表示一條線段.又 f(0) = b +c -

17、2bc = (b-c) 0, f (2) = b +c -4b-4c+8 = (b-2) +(c-2) 0,可見上述線段在橫軸及其上方，：f(a)0, W 4a+b2+c2+abc2ab+ 2bc+ 2ca.T T f f構(gòu)造向量法證明不等式根據(jù)已知條件與欲證不等式結(jié)構(gòu)，將其轉(zhuǎn)化為向量形式，利用向量數(shù)量積及不等式關(guān)系 m n |m| |n |,就能避免復(fù)雜的湊配技巧，使解題過程簡化.應(yīng)用這一方法證明一些具有和積結(jié)構(gòu)的代數(shù)不等式，思路清晰，易于掌握.25 設(shè) a、b R *,且 a+ b =1,求證：(a+ 2)2 + (b+ 2) 2252證明：構(gòu)造向量 m = (a+ 2, b+ 2), n= (1 , 1).設(shè) m和n的夾角為a ,其中CK Of & n .|m1 =，(a + 2)2 + (b + 2)2 ,斤| = 2 , m n= | m | pn|cosa -(a + 2)2 + (b + 2)2、/T cosot ；另一方面， m n = (a+ 2) 1 + (b