活用長方體構(gòu)建立體幾何解題思維金鑰匙

1、活用長方體，構(gòu)建立體幾何解題思維金鑰匙楊亮劉春換丁玉軍蕭蘭茁【摘要】本文基于數(shù)學(xué)教學(xué)中如何解決“教師教得很辛苦，學(xué)生學(xué)得 很痛苦，有的學(xué)生課前想自學(xué)，但基礎(chǔ)和自學(xué)能力差學(xué)不了.有的學(xué) 生課上沒聽懂，課后沒人輔導(dǎo)想做題做不了. ”這一難題展開討論， 在設(shè)計數(shù)學(xué)學(xué)案時融入了深度學(xué)習的單元設(shè)計理念及教師微課講解、 動態(tài)演示課件完善學(xué)生自主學(xué)習這一環(huán)節(jié)，旨在給學(xué)生創(chuàng)建一個自主 學(xué)習的平臺.【關(guān)鍵詞】深度學(xué)習；單元設(shè)計;微課講解；自主學(xué)案【基金項目】本文是海南省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“深度學(xué)習 理念下現(xiàn)代教育技術(shù)與學(xué)生自主學(xué)案整合探索（項目編號： QJH202210127）的階段性成果.傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教

2、案或?qū)W案設(shè)計只是文字、圖形、符號語言的整合，有兩 個弊端：一是不能照顧學(xué)生們基礎(chǔ)參差不齊的水平，有的學(xué)生想自學(xué) 但看不懂學(xué)案無從下手.久而久之學(xué)生會失去信心，不利于學(xué)生在課 前自主學(xué)習新知.二是數(shù)學(xué)是一個長期積累的、不斷鞏固提升的過程. 學(xué)生當時沒聽懂或在教師引導(dǎo)下聽會了，但沒真正理解，過后還是不 會應(yīng)用解題，這樣不利于學(xué)生系統(tǒng)復(fù)習、形成知識體系，缺少一個引 導(dǎo)學(xué)生自主復(fù)習的永久平臺.普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）提出：數(shù)學(xué)教學(xué)要使學(xué)生獲 得四基“基礎(chǔ)知識、基本技能、基本數(shù)學(xué)思想、基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗” 的同時，提高四能“能夠發(fā)現(xiàn)、提出問題，分析、解決問題能力， 逐步學(xué)會三會“學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼

3、光觀察世界，學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考 世界，學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表達世界”.發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的重要 載體是數(shù)學(xué)教學(xué)活動，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師利用信息技術(shù)可以創(chuàng) 設(shè)豐富的教學(xué)情境，可以幫助學(xué)生自主探究和解決問題，將一些抽象 的數(shù)學(xué)內(nèi)容通過直觀演示變得直觀可視化，通過網(wǎng)絡(luò)進一步拓展教學(xué) 空間，引導(dǎo)學(xué)生進行自主探索活動.基于以上兩點，我們數(shù)學(xué)名師工作室展開了數(shù)學(xué)與網(wǎng)絡(luò)技術(shù)融合自主 學(xué)習學(xué)案設(shè)計的研究.設(shè)計學(xué)案時融入了教師微課講解與動態(tài)演示課 件的學(xué)生自主學(xué)習環(huán)節(jié).學(xué)生復(fù)習相關(guān)知識、學(xué)習新知、課后復(fù)習或 單元回顧時可隨時回放教師講解與演示動畫.這樣就有效地解決了“教師教得很辛苦，學(xué)生學(xué)得很痛苦，有的學(xué)生

4、課前想自學(xué)，但基礎(chǔ) 和自學(xué)能力差學(xué)不了.有的學(xué)生課上沒聽懂，課后沒人輔導(dǎo)想做題做 不了. ”這一難題.下面以高中新課程數(shù)學(xué)選擇性必修一教材中空間 向量與立體幾何中長方體模型在解題與復(fù)習中應(yīng)用的基礎(chǔ)，并以其中 一節(jié)的單元設(shè)計為例系統(tǒng)說明我們學(xué)案的每一個設(shè)計環(huán)節(jié)與意圖.一、教材與學(xué)情分析高中數(shù)學(xué)新教材選擇性必修一第一章空間向量與立體幾何，是數(shù)學(xué)必 修“平面向量”在空間的推廣，又是必修“立體幾何初步”的延續(xù)、 本章要使學(xué)生體會向量方法在研究幾何圖形中的作用，進一步發(fā)展學(xué) 生的空間想象能力和幾何直觀能力.學(xué)生雖已學(xué)習了向量的基本運算 和立體幾何初步知識，但學(xué)生空間觀念的形成和類比轉(zhuǎn)化能力、邏輯 推理的

5、嚴謹性仍有待提高，不能用具體的立體幾何模型來展示及運用 來解題.“空間向量這一工具，能避免較為復(fù)雜的空間想象，為立 體幾何代數(shù)化帶來很大的方便.合理建立空間直角坐標系，使“空間 向量”坐標化，這是解題的關(guān)鍵，也是完成從幾何問題向代數(shù)問題轉(zhuǎn) 化的基礎(chǔ).二、教學(xué)目標與方法知識與技能（三類問題）：讓學(xué)生借助長方體，理解“平行與垂直”相關(guān)核心定理.讓學(xué)生借助長方體，內(nèi)化空間向量應(yīng)用立體幾何的核心解題方法.讓學(xué)生會借助長方體模型靈活建立空間直角坐標系.過程與方法：讓學(xué)生學(xué)會利用長方體模型構(gòu)建高中數(shù)學(xué)立體幾何知識 體系，直觀形象地解決學(xué)生空間觀念差的問題.核心素養(yǎng)及情感態(tài)度與價值觀：讓學(xué)生學(xué)會利用深度學(xué)習

6、理念經(jīng)歷知 識再發(fā)生、再創(chuàng)造的整合過程，構(gòu)建知識體系，學(xué)會把前人留下的知 識內(nèi)化為自己的經(jīng)驗，從而培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模 與數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).教學(xué)方法與手段：本節(jié)課嘗試使用目標教學(xué)法和學(xué)生網(wǎng)絡(luò)線上（手機） 自主學(xué)習法進行教學(xué).通過“微課視頻講解一動態(tài)課件演示一自主學(xué) 案輔學(xué)”三者有機整合，利用信息技術(shù)和移動互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)照顧學(xué)生學(xué)習 基礎(chǔ)的差異.學(xué)生在家利用手機或電腦結(jié)合學(xué)案能學(xué)會自主學(xué)習，從 而獲得舉一反三的學(xué)習效果.三、重難點重點：活用長方體解決高中數(shù)學(xué)立體幾何問題.難點：學(xué)生如何靈活利用長方體建系理念把具體問題轉(zhuǎn)化為向量坐標 運算.四、教學(xué)過程（一）在新教材必修二的立體幾何初步

7、中我們重點學(xué)習了平行與垂直 兩種轉(zhuǎn)化，這也是高中數(shù)學(xué)立體幾何的核心思維.即你能結(jié)合長方體中的線與面關(guān)系來說明一下這10個判定定理、性質(zhì) 定理的內(nèi)容嗎？設(shè)計意圖：學(xué)生先自己用文字語言、圖形語言、符號語言分別寫出這 10個定理.然后試著用長方體中現(xiàn)有的線面關(guān)系寫出這10個定理， 體會長方體模型的巨大作用.最后學(xué)生可以自主上網(wǎng)，觀看教師發(fā)布 的微課查漏補缺，加深對平行與垂直這兩個核心難點的理解.（二）新教材選修一的第一章空間向量與立體幾何核心內(nèi)容是利用空 間向量解決立體幾何問題.實質(zhì)上就是建立空間直角坐標系，利用直 線方向向量與面的法向量把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量的代數(shù)運算來 解決.那么你能否用空間直

8、角坐標系下長方體模型中線面來說明一下 如何用空間向量來求解下面幾個基本問題:直線方向向量、平面法向量的求法?如何用空間向量來證明線線平行、線面平行、面面平行?如何用空間向量來證明三種垂直問題?如何用空間向量來求線與線、線與面、面與面的成角問題？如何用空間向量來求空間兩點、點與線、點與面的距離問題?設(shè)計意圖：空間向量解決立體幾何問題的前提是讓學(xué)生掌握基本問題 的轉(zhuǎn)化方法，借助長方體模型，讓學(xué)生熟記這些方法，這是這一章的 關(guān)鍵.學(xué)生先自行研討，然后教師播放或?qū)W生上網(wǎng)聽教師的微課講解, 從而獲得事半功倍的效果.（三）空間向量解決立體幾何問題難點是如何建立適當?shù)目臻g直角坐 標系求相應(yīng)點的坐標，長方體是

9、最簡單實用的建系模型.教材上3649頁有些題不是長方體模型，我們?nèi)绾无D(zhuǎn)化構(gòu)造放在長方體內(nèi)進行建系解題呢？分下面三類分別討論一下:1 .有3條垂直棱的錐或柱（墻角錐、柱）型: 口高中數(shù)學(xué)人教版選擇性必修一教材41頁3題：如圖，在三棱錐O-ABC中，OA, OB, 0C兩兩垂直，0A二003, 0B=2, 求直線0B與平面ABC所成角的正弦值口高中數(shù)學(xué)人教版選擇性必修一教材47頁3題：如圖，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,ZABC=90 , CB= 1, CA二2, AA1 二6,M是CC1的中點.求證:AM1BA1高中數(shù)學(xué)人教版選擇性必修一教材38頁4題：如圖,AABC和ADBC所在的平面

10、垂直，且AB二BOBD , ZCBA=ZDBC=120 .求:直線AD與直線BC所成角的大小.直線AD與平面BCD所成角的大小.平面ABD和平面BDC的夾角的余弦值高中數(shù)學(xué)人教版選擇性必修一教材48頁4題：如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為a,側(cè)棱長為2a.試建立適當?shù)目臻g直角坐標系，并寫出點A, B, Al, C1的坐標.求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角高中數(shù)學(xué)人教版選擇性必修一教材38頁3題：如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2,求平面AA1B與平面 A1BC1夾角的余弦值高中數(shù)學(xué)人教版選擇性必修一教材48頁7題：正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長為2,底邊長

11、為1, M是BC的中點.在 直線CC1上求一點N,使MN1AB1口高中數(shù)學(xué)人教版選擇性必修一教材44頁18題：在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架ABCD, ABEF的邊長都是 1,且它們所在的平面互相垂直.活動彈子M, N分別在正方形對角線 AC和BF上移動，且CM和BN的長度保持相等，記CM=BN=a, (0a2).求MN的長.a為何值時，MN的長最小.當MN的長最小時，求平面MNA與平面MNB夾角的余弦值高中數(shù)學(xué)人教版選擇性必修一教材49頁13題：如圖，把正方形紙片ABCD沿對角線AC折成直二面角，E, F分別為 AD, BC的中點，。是原正方形ABCD的中心，求折紙后ZEOF的大小

12、有2個面垂直的幾何體：https： /url. cn/6sJ54I0R? sf=uri2.正四面體或?qū)庀嗟鹊乃拿骟w：高中數(shù)學(xué)人教版選擇性必修一教材38頁2題：PA, PB, PC是從點P出發(fā)的三條射線，每兩條射線的夾角均為60 ,那么直線PC與平面PAB所成角的余弦值為多少高中數(shù)學(xué)人教版選擇性必修一教材41頁2題：如圖，在三棱錐 A-BCD 中，AB二AC二BD二CD二3, AD二BC二2, M, N 分別是AD, BC的中點.求異面直線AN, CM所成角的余弦值高中數(shù)學(xué)人教版選擇性必修一教材36頁例7：如圖，在棱長為1的正四面體(四個面都是正三角形)ABCD中，M,N分別為BC, AD的中

13、點，求直線AM和CN夾角的余弦值高中數(shù)學(xué)人教版選擇性必修一教材42頁7題：如圖，四面體0ABC的所有棱長都是1, D, E分別是0A, BC的中點, E為BC的中點，連接DE.計算DE的長.求點0到平面ABC的距離高中數(shù)學(xué)人教版選擇性必修一教材43頁8題：如圖，四面體ABCD的每條棱長都等于a, M, N分別是AB, CD的中點.求證：MNAB, MN1CD正四面體及對棱相等的四面體如何長方ft建系https： /v. youku. com/v_show/id_XNDg20DkzMTY40A=. html設(shè)計意圖：學(xué)生先聽微課視頻，然后從教材中找出類似的習題.這一 過程明確了讓學(xué)生如何利用長方

14、體模型的建系理念來靈活解決問題, 對培養(yǎng)學(xué)生建模思想、類比與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合一與抽象概括能力 有重要意義.變式提升：如何利用長方體建系理念來解決下面問題.(說說 你的建系方案)如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都是4, E是BC的中點， 動點F在側(cè)棱CC1 ,且不與點C重合.當 CF二1 時，求證：EF1A1C.設(shè)二面角C-AF-E的大小為9 ,求tan。的最小值如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，ZDAB=60 , AB=2AD, PD_L 底面 ABCD.證明：PABD；若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值歸納總結(jié)：本節(jié)你有哪些學(xué)習收獲？本節(jié)你認為我們

15、應(yīng)用了哪些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)思想方法？課后延伸：1.(重慶)如圖，四棱錐 P-ABCD 中，PA_L底面 ABCD, BC二CD二2, AC二4, ZACB=ZACD=n 3, F 為 PC 的中點，AF1PB.求PA的長.求二面角B-AF-D的正弦值課后每位學(xué)生在課外輔導(dǎo)書中選一道用本節(jié)思想方法解題的題目，小 組成員合作共同完成.五、學(xué)案設(shè)計優(yōu)點反思學(xué)案設(shè)計得真正做到面向所有學(xué)生，不使每一個學(xué)生掉隊，這對后進 生的轉(zhuǎn)化和整體教學(xué)水平的提高具有重要意義.精心設(shè)計的課前預(yù)習 掃碼微課會讓所有學(xué)生特別是基礎(chǔ)較差學(xué)生樂于在課前及時復(fù)習和 預(yù)習新知，激發(fā)他們的學(xué)習興趣.課堂講解的微課，能夠讓對課堂知 識沒消化好的學(xué)生課后可以隨時重溫課堂重難點，給他們提供了隨時 解惑的平臺，為培養(yǎng)優(yōu)生的數(shù)學(xué)思維和能力提供了空間和時間.微課 的設(shè)計使基礎(chǔ)較差的學(xué)生課前、課后縮小了與優(yōu)生的差距.同時課堂 也有了充分時間給優(yōu)生展示自己思維和